Функция индикатора

Эта статья об индикаторной функции 0-1. Об индикаторной функции 0-бесконечность см. характеристическую функцию (выпуклый анализ) .

Трехмерный график индикаторной функции, показанный на квадратной двумерной области (множество X ): «выступающая» часть перекрывает те двумерные точки, которые являются членами «указанного» подмножества ( A ).

В математике индикаторная функция или характеристическая функция подмножества . множества , — это функция которая отображает элементы подмножества в единицу, а все остальные элементы — в ноль То есть, если A является подмножеством некоторого множества X , то $\mathbf {1} _{A}(x)=1$ если $x\in A,$ и $\mathbf {1} _{A}(x)=0$ иначе, где $\mathbf {1} _{A}$ — общепринятое обозначение индикаторной функции. Другие распространенные обозначения: $I_{A},$ и $\chi _{A}.$

Индикаторной функцией A является скобка Айверсона свойства принадлежности A ; то есть,

$$\mathbf {1} _{A}(x)=[x\in A].$$

Например, функция Дирихле является индикаторной функцией рациональных чисел как подмножества действительных чисел .

Определение

Индикаторной функцией подмножества А множества X является функция

$$\mathbf {1} _{A}\colon X\to \{0,1\}$$

определяется как

$$\mathbf {1} _{A}(x):={\begin{cases}1~&{\text{ if }}~x\in A~,\\0~&{\text{ if }}~x\notin A~.\end{cases}}$$

Скобка Айверсона обеспечивает эквивалентное обозначение: $[x\in A]$ или ⟦ x ∈ A ⟧ , который будет использоваться вместо $\mathbf {1} _{A}(x)\,.$

Функция $\mathbf {1} _{A}$ иногда обозначается I _A , χ _A , KA _или даже просто A .

Обозначения и терминология

Обозначения $\chi _{A}$ также используется для обозначения характеристической функции в выпуклом анализе , которая определяется как если бы использовалась обратная величина стандартного определения индикаторной функции.

Связанное с этим понятие в статистике — это фиктивная переменная . (Это не следует путать с «фиктивными переменными», поскольку этот термин обычно используется в математике и также называется связанной переменной .)

Термин « характеристическая функция » имеет несвязанное с ним значение в классической теории вероятностей . По этой причине традиционные вероятностные специалисты почти исключительно используют термин «индикаторная функция» для обозначения функции, определенной здесь, в то время как математики в других областях чаще используют термин « характеристическая функция». для описания функции, указывающей членство в наборе.

В нечеткой логике и современной многозначной логике предикаты являются характеристическими функциями распределения вероятностей . То есть строгая истинная/ложная оценка предиката заменяется величиной, интерпретируемой как степень истинности.

Основные свойства

Индикаторная A или характеристическая функция подмножества X некоторого множества отображает элементы X в диапазон $\{0,1\}$.

Это отображение только тогда, когда A является непустым собственным подмножеством X сюръективно . Если $A\equiv X,$ затем $\mathbf {1} _{A}=1.$ По аналогичному рассуждению, если $A\equiv \emptyset$ затем $\mathbf {1} _{A}=0.$

Если $A$ и $B$ представляют собой два подмножества $X,$ затем $${\begin{aligned}\mathbf {1} _{A\cap B}&=\min\{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}\}=\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\\\mathbf {1} _{A\cup B}&=\max\{{\mathbf {1} _{A},\mathbf {1} _{B}}\}=\mathbf {1} _{A}+\mathbf {1} _{B}-\mathbf {1} _{A}\cdot \mathbf {1} _{B},\end{aligned}}$$

и индикаторная дополнения функция $A$ т.е. $A^{C}$ является: $$\mathbf {1} _{A^{\complement }}=1-\mathbf {1} _{A}.$$

В более общем плане, предположим $A_{1},\dotsc ,A_{n}$ представляет собой набор подмножеств X . Для любого $x\in X:$

$$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}}(x))$$

очевидно, является произведением 0 с и 1 с. Этот продукт имеет значение 1 именно при тех $x\in X$ которые не принадлежат ни одному из множеств $A_{k}$ и равно 0 в противном случае. То есть

$$\prod _{k\in I}(1-\mathbf {1} _{A_{k}})=\mathbf {1} _{X-\bigcup _{k}A_{k}}=1-\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}.$$

Развертывание продукта с левой стороны,

$$\mathbf {1} _{\bigcup _{k}A_{k}}=1-\sum _{F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}=\sum _{\emptyset \neq F\subseteq \{1,2,\dotsc ,n\}}(-1)^{|F|+1}\mathbf {1} _{\bigcap _{F}A_{k}}$$

где $|F|$ — мощность F ​ . Это одна из форм принципа включения-исключения .

Как следует из предыдущего примера, индикаторная функция — полезное средство обозначения в комбинаторике . Эти обозначения используются и в других местах, например, в теории вероятностей : если X — вероятностное пространство с вероятностной мерой $\operatorname {P}$ и A — измеримое множество , то $\mathbf {1} _{A}$ становится случайной величиной, которой ожидаемое значение равно вероятности A :

$$\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A})=\int _{X}\mathbf {1} _{A}(x)\,d\operatorname {P} =\int _{A}d\operatorname {P} =\operatorname {P} (A).$$

Это тождество используется в простом доказательстве неравенства Маркова .

Во многих случаях, например, в теории порядка , может быть определена обратная индикаторная функция. Это обычно называют обобщенной функцией Мёбиуса , как обобщение обратной индикаторной функции в элементарной теории чисел , функции Мёбиуса . (См. параграф ниже об использовании обратного в классической теории рекурсии.)

Среднее значение, дисперсия и ковариация

Учитывая вероятностное пространство $\textstyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )$ с $A\in {\mathcal {F}},$ индикаторная случайная величина $\mathbf {1} _{A}\colon \Omega \rightarrow \mathbb {R}$ определяется $\mathbf {1} _{A}(\omega )=1$ если $\omega \in A,$ в противном случае $\mathbf {1} _{A}(\omega )=0.$

Иметь в виду

$\operatorname {E} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)$ (также называемый «Фундаментальный мост»).

Дисперсия

$\operatorname {Var} (\mathbf {1} _{A}(\omega ))=\operatorname {P} (A)(1-\operatorname {P} (A))$

Ковариация

$\operatorname {Cov} (\mathbf {1} _{A}(\omega ),\mathbf {1} _{B}(\omega ))=\operatorname {P} (A\cap B)-\operatorname {P} (A)\operatorname {P} (B)$

Характеристическая функция в теории рекурсии, представляющая функция Гёделя и Клини

Курт Гёдель описал представляющую функцию в своей статье 1934 года «О неразрешимых утверждениях формальных математических систем» («¬» указывает на логическую инверсию, т.е. «НЕ»):

должна соответствовать Каждому классу или отношению R представляющая функция $\phi (x_{1},\ldots x_{n})=0$ если $R(x_{1},\ldots x_{n})$ и $\phi (x_{1},\ldots x_{n})=1$ если $\neg R(x_{1},\ldots x_{n}).$

Клини предлагает то же определение в контексте примитивно-рекурсивных функций , поскольку функция φ предиката P принимает значения 0 , если предикат истинен, и 1, если предикат ложен.

Например, поскольку произведение характеристических функций $\phi _{1}*\phi _{2}*\cdots *\phi _{n}=0$ всякий раз, когда какая-либо из функций равна 0 , она играет роль логического ИЛИ: ЕСЛИ $\phi _{1}=0$ ИЛИ $\phi _{2}=0$ ИЛИ... ИЛИ $\phi _{n}=0$ ТОГДА их произведение равно 0 . То, что современному читателю кажется логической инверсией представляющей функции, т.е. представляющая функция равна 0, когда функция R «истинна» или удовлетворена», играет полезную роль в определении Клини логических функций ИЛИ, И и ПОДЛЕЖИТ. ограниченное- и безгранично- операторы mu и функция CASE.

Характеристическая функция в теории нечетких множеств

В классической математике характеристические функции множеств принимают только значения 1 (члены) или 0 (не члены). В теории нечетких множеств характеристические функции обобщаются, чтобы принимать значения в действительном единичном интервале [0, 1] или, в более общем смысле, в некоторой алгебре или структуре (обычно требуется, чтобы они были как минимум частично упорядоченным множеством или решеткой ). Такие обобщенные характеристические функции чаще называют функциями принадлежности , а соответствующие «множества» — нечеткими множествами. Нечеткие множества моделируют постепенное изменение степени принадлежности , наблюдаемое во многих реальных предикатах , таких как «высокий», «теплый» и т. д.

Гладкость

См. Также: Лапласиан индикатора.

В целом индикаторная функция множества не является гладкой; оно непрерывно тогда и только тогда, когда его носитель является компонентой связности . в алгебраической геометрии конечных полей Однако каждое аффинное многообразие допускает непрерывную индикаторную функцию ( Зарисского ). Учитывая конечный набор функций $f_{\alpha }\in \mathbb {F} _{q}[x_{1},\ldots ,x_{n}]$ позволять $V=\left\{x\in \mathbb {F} _{q}^{n}:f_{\alpha }(x)=0\right\}$ быть их исчезающим местом. Тогда функция ${\textstyle P(x)=\prod \left(1-f_{\alpha }(x)^{q-1}\right)}$ действует как индикаторная функция для $V$. Если $x\in V$ затем $P(x)=1$, в противном случае для некоторых $f_{\alpha }$, у нас есть $f_{\alpha }(x)\neq 0$, что означает, что $f_{\alpha }(x)^{q-1}=1$, следовательно $P(x)=0$.

Хотя индикаторные функции не являются гладкими, они допускают слабые производные . Например, рассмотрим ступенчатую функцию Хевисайда. $$H(x):=\mathbf {1} _{x>0}$$ Распределительная производная ступенчатой ​​функции Хевисайда равна дельта-функции Дирака , т.е. $${\frac {dH(x)}{dx}}=\delta (x)$$и аналогично распределительная производная $$G(x):=\mathbf {1} _{x<0}$$ является $${\frac {dG(x)}{dx}}=-\delta (x)$$

Таким образом, производную ступенчатой ​​функции Хевисайда можно рассматривать как внутреннюю нормальную производную на границе области, заданной положительной полупрямой. В более высоких измерениях производная естественным образом обобщается до производной по внутренней нормали, а ступенчатая функция Хевисайда естественным образом обобщается до индикаторной функции некоторой области D . Поверхность D обозначим S. ​Продолжая, можно сделать вывод, что внутренняя нормальная производная индикатора порождает «поверхностную дельта-функцию», которую можно обозначить как $\delta _{S}(\mathbf {x} )$: $$\delta _{S}(\mathbf {x} )=-\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}$$где n внешняя нормаль поверхности S. — Эта «дельта-функция поверхности» имеет следующее свойство: $$-\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(\mathbf {x} )\,\mathbf {n} _{x}\cdot \nabla _{x}\mathbf {1} _{\mathbf {x} \in D}\;d^{n}\mathbf {x} =\oint _{S}\,f(\mathbf {\beta } )\;d^{n-1}\mathbf {\beta } .$$

Принимая функцию f равной единице, следует, что внутренняя нормальная производная показателя интегрируется с числовым значением площади поверхности S .

См. также

• Мера Дирака
• Лапласиан индикатора
• Дельта Дирака
• Расширение (логика предикатов)
• Свободные переменные и связанные переменные
• Ступенчатая функция Хевисайда
• Функция идентификации
• Кронштейн Айверсона
• Дельта Кронекера — функция, которую можно рассматривать как индикатор тождественного отношения.
• Брекеты Маколея
• Мультисет
• Функция членства
• Простая функция
• Фиктивная переменная (статистика)
• Статистическая классификация
• Функция потерь ноль-единица

Источники

• Фолланд, Великобритания (1999). Реальный анализ: современные методы и их применение (второе изд.). Джон Вили и сыновья, Inc. ISBN  978-0-471-31716-6 .
• Кормен, Томас Х .; Лейзерсон, Чарльз Э .; Ривест, Рональд Л .; Штейн, Клиффорд (2001). «Раздел 5.2: Индикаторные случайные величины». Введение в алгоритмы (второе изд.). MIT Press и McGraw-Hill. стр. 94–99 . ISBN  978-0-262-03293-3 .
• Дэвис, Мартин , изд. (1965). Неразрешимое . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Книги Raven Press.
• Клини, Стивен (1971) [1952]. Введение в метаматематику (Шестое переиздание, с исправлениями под ред.). Нидерланды: Wolters-Noordhoff Publishing и North Holland Publishing Company.
• Булос, Джордж ; Берджесс, Джон П .; Джеффри, Ричард С. (2002). Вычислимость и логика . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-00758-0 .
• Заде, Луизиана (июнь 1965 г.). «Нечеткие множества» . Информация и контроль . 8 (3). Сан-Диего: 338–353. дои : 10.1016/S0019-9958(65)90241-X . ISSN   0019-9958 . Збл   0139.24606 . Викиданные   Q25938993 .
• Гоген, Джозеф (1967). « L -нечеткие множества». Журнал математического анализа и приложений . 18 (1): 145–174. дои : 10.1016/0022-247X(67)90189-8 . hdl : 10338.dmlcz/103980 .