Гамма-функция Адамара

В математике , гамма-функция Адамара названная в честь Жака Адамара , представляет собой расширение факториальной функции , отличное от классической гамма-функции (это экземпляр псевдогамма-функции ). Эта функция со смещенным вниз на 1 аргументом интерполирует факториал и расширяет его до действительных и комплексных чисел другим способом, чем гамма-функция Эйлера. Он определяется как:

H(x)={\frac {1}{\Gamma (1-x)}}\,{\dfrac {d}{dx}}\left\{\ln \left({\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}})}{\Gamma (1-{\frac {x}{2}})}}\right)\right\},

где $Γ(x)$ обозначает классическую гамма-функцию. Если $n$ — целое положительное число, то:

H(n)=\Gamma (n)=(n-1)!

Характеристики

В отличие от классической гамма-функции, гамма-функция Адамара $H (x)$ является целой функцией , т.е. не имеет полюсов в своей области определения. Он удовлетворяет функциональному уравнению

H(x+1)=xH(x)+{\frac {1}{\Gamma (1-x)}},

с пониманием того, что ${\tfrac {1}{\Gamma (1-x)}}$ принимается равным $0$ для положительных целочисленных значений $x$ .

Гамму Адамара можно также выразить как

H(x)={\frac {\psi \left(1-{\frac {x}{2}}\right)-\psi \left({\frac {1}{2}}-{\frac {x}{2}}\right)}{2\Gamma (1-x)}}={\frac {\Phi \left(-1,1,-x\right)}{\Gamma (-x)}}

где $\Phi$ – дзета -функция Лерха , а так как

H(x)=\Gamma (x)\left[1+{\frac {\sin(\pi x)}{2\pi }}\left\{\psi \left({\dfrac {x}{2}}\right)-\psi \left({\dfrac {x+1}{2}}\right)\right\}\right],

где $ψ (x)$ обозначает дигамма-функцию .

Адамар, MJ (1894), О выражении продукта 1·2·3· · · · (n-1) с помощью целочисленной функции (PDF) (на французском языке), Работы Жака Адамара, ученых Национального исследовательского центра, Париж, 1968 год.
Шривастава, HM; Джунесанг, Чой (2012). Дзета- и Q-дзета-функции и связанные с ними ряды и интегралы . Идеи Elsevier. п. 124. ИСБН 978-0-12-385218-2 .
«Введение в гамма-функцию» . Сайт функций Wolfram . Вольфрам Рисерч, Инк . Проверено 27 февраля 2016 г.