Дзета-функция Лерха

В математике дзета Лерха -функция , иногда называемая дзета-функцией Гурвица–Лерха , представляет собой специальную функцию , которая обобщает дзета-функцию Гурвица и полилогарифм . Она названа в честь чешского математика Матиаса Лерха , опубликовавшего статью об этой функции в 1887 году.

Определение

Дзета-функция Лерха определяется выражением

$L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}.$

Родственная функция, трансцендент Лерха , определяется выражением

$\Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}$.

Трансцендентное сходится только для любого действительного числа. $\alpha >0$, где:

$|z|<1$, или

${\mathfrak {R}}(s)>1$, и $|z|=1$.

Эти два понятия связаны, так как

$\,\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )=L(\lambda ,s,\alpha ).$

Интегральные представления

Трансцендент Лерха имеет интегральное представление:

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt$

Доказательство основано на использовании интегрального определения гамма-функции для записи

$\Phi (z,s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }t^{s}z^{n}e^{-(n+a)t}{\frac {dt}{t}}$

а затем поменять местами сумму и интеграл. Полученное интегральное представление сходится при $z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),$ Re( s ) > 0 и Re( a ) > 0. Аналитически это продолжается $\Phi (z,s,a)$ до z за пределами единичного диска. Интегральная формула справедлива также, если z = 1, Re( s ) > 1 и Re( a ) > 0; см. дзета -функцию Гурвица .

Контурное интегральное представление имеет вид

$\Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt$

где C — контур Ганкеля против часовой стрелки вокруг положительной вещественной оси, не охватывающий ни одной из точек $t=\log(z)+2k\pi i$ (для целого числа k ), которые являются полюсами подынтегральной функции. Интеграл предполагает Re( a ) > 0.

Другие интегральные представления

Интегральное представление типа Эрмита имеет вид

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt$

для

$\Re (a)>0\wedge |z|<1$

и

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt$

для

$\Re (a)>0.$

Подобные представления включают

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt,$

и

$\Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt,$

справедливо для положительного z (и, в более общем смысле, везде, где сходятся интегралы). Более того,

$\Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},s,a{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,$

Последняя формула также известна как формула Липшица .

Особые случаи

Дзета-функция Лерха и трансцендентная Лерха обобщают различные специальные функции.

Дзета- функция Гурвица является частным случаем.

$\zeta (s,\alpha )=L(0,s,\alpha )=\Phi (1,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}.$

Полилогарифм является еще одним частным случаем :

${\textrm {Li}}_{s}(z)=z\Phi (z,s,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}.$

Дзета- функция Римана является частным случаем обоих вышеперечисленных:

$\zeta (s)=\Phi (1,s,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}$

Другие особые случаи включают в себя:

• Дирихле Эта-функция :

$\eta (s)=\Phi (-1,s,1)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}$

• Дирихле Бета-функция :

$\beta (s)=2^{-s}\Phi (-1,s,1/2)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{s}}}$

• Функция Чи Лежандра :

$\chi _{s}(z)=2^{-s}z\Phi (z^{2},s,1/2)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}$

• Полигамма -функция :

$\psi ^{(n)}(\alpha )=(-1)^{n+1}n!\Phi (1,n+1,\alpha )$

Личности

Для рационального λ слагаемое является корнем из единицы , и, таким образом, $L(\lambda ,s,\alpha )$ может быть выражена как конечная сумма по дзета-функции Гурвица. Предполагать ${\textstyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$ с $p,q\in \mathbb {Z}$ и $q>0$. Затем $z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}$ и $\omega ^{q}=1$.

$\Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta \left(s,{\frac {m+\alpha }{q}}\right)$

Различные личности включают в себя:

$\Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}$

и

$\Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)$

и

$\Phi (z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).$

Представления серий

Серийное представление трансцендента Лерха имеет вид

$\Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.$

(Обратите внимание, что ${\tbinom {n}{k}}$ является биномиальным коэффициентом .)

Ряд справедлив для всех s и для комплексного z с Re( z )<1/2. Обратите внимание на общее сходство с аналогичным представлением в виде ряда для дзета-функции Гурвица.

Ряд Тейлора по первому параметру дал Артур Эрдейи . Его можно записать в виде следующего ряда, который справедлив для

$\left|\log(z)\right|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots$

$\Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]$

Если n — целое положительное число, то

$\Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},$

где $\psi (n)$ это дигамма-функция .

Ряд Тейлора по третьей переменной имеет вид

$\Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),$

где $(s)_{k}$ — символ Поххаммера .

Ряд при a = − n имеет вид

$\Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n$

Частный случай при n = 0 имеет следующий ряд

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,$

где $\operatorname {Li} _{s}(z)$ это полилогарифм .

Асимптотический ряд для $s\rightarrow -\infty$

$\Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}$

для $|a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)$и

$\Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}$

для $|a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).$

Асимптотический ряд по неполной гамма-функции

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}$

для $|a|<1;\Re (s)<0.$

Представление в виде обобщенной гипергеометрической функции имеет вид

$\Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right).$

Асимптотическое расширение

Функция полилогарифма $\mathrm {Li} _{n}(z)$ определяется как

$\mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).$

Позволять

$\Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}$

Для $|\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C}$ и $z\in \Omega _{a}$, асимптотическое разложение $\Phi (z,s,a)$ для больших $a$ и исправлено $s$ и $z$ дается

$\Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})$

для $N\in \mathbb {N}$, где $(s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)$ — символ Поххаммера .

Позволять

$f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.$

Позволять $C_{n}(z,a)$ быть его коэффициентами Тейлора при $x=0$. Тогда для фиксированного $N\in \mathbb {N} ,\Re a>1$ и $\Re s>0$,

$\Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),$

как $\Re a\to \infty$.

Программное обеспечение

Трансцендент Lerch реализован как LerchPhi в Maple и Mathematica и как lerchphi в mpmath и SymPy .

Ссылки

• Апостол, ТМ (2010), «Трансцендентное Лерха» , в Олвере, Фрэнк У.Дж .; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 ..
• Бейтман, Х .; Эрдели, А. (1953), Высшие трансцендентные функции, Vol. Я (PDF) , Нью-Йорк: McGraw-Hill . (См. § 1.11, «Функция Ψ( z , s , v )», стр. 27)
• Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «9.55.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Академическая пресса. ISBN  978-0-12-384933-5 . LCCN   2014010276 .
• Гильера, Хесус; Сондоу, Джонатан (2008), «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант через аналитические продолжения трансцендента Лерха», The Ramanujan Journal , 16 (3): 247–270, arXiv : math.NT/0506319 , doi : 10.1007/ s11139-007-9102-0 , MR   2429900 , S2CID   119131640 . (Во введение включены различные основные личности.)
• Джексон, М. (1950), «О трансцендентном Лерхе и основном двустороннем гипергеометрическом ряде ₂ ψ ₂ », J. London Math. Соц. , 25 (3): 189–196, doi : 10.1112/jlms/s1-25.3.189 , MR   0036882 .
• Йоханссон, Ф.; Благоушин, Я. (2019), «Вычисление констант Стилтьеса с использованием комплексной интеграции», Mathematics of Computation , 88 (318): 1829–1850, arXiv : 1804.01679 , doi : 10.1090/mcom/3401 , MR   3925487 , S2CID   4619883 .
• Лауринчикас, Антанас; Гарункштис, Рамунас (2002), Дзета-функция Лерха , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, ISBN  978-1-4020-1014-9 , МР   1979048 .

Внешние ссылки

• Аксенов Сергей В.; Йентшура, Ульрих Д. (2002), Программы C и Mathematica для расчета трансцендента Лерха .
• Рамунас Гарункстис, Домашняя страница (2005 г.) (Содержит многочисленные ссылки и препринты).
• Гарункстис, Рамунас (2004). «Приближение дзета-функции Лерха» (PDF) . Литовский математический журнал . 44 (2): 140–144. дои : 10.1023/B:LIMA.0000033779.41365.a5 . S2CID   123059665 .
• Канемицу, С.; Танигава, Ю.; Цукада, Х. (2015). «Обобщение формулы Бохнера» . Канемицу, С.; Танигава, Ю.; Цукада, Х. (2004). «Обобщение формулы Бохнера» . Журнал Харди-Рамануджана . 27 . дои : 10.46298/hrj.2004.150 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентный Лерх» . Математический мир .
• Олвер, Фрэнк WJ ; Лозье, Дэниел М.; Буасверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз В., ред. (2010), «Трансцендент Лерха» , Справочник NIST по математическим функциям , издательство Кембриджского университета, ISBN  978-0-521-19225-5 , МР   2723248 .