Квазинепрерывная функция

В математике понятие квазинепрерывной функции аналогично, но более слабое, чем понятие непрерывной функции . Все непрерывные функции квазинепрерывны, но обратное, вообще говоря, неверно.

Определение

Позволять $X$ быть топологическим пространством . Действительнозначная функция $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ квазинепрерывен в точке $x\in X$ если для любого $\epsilon >0$ и любое открытое соседство $U$ из $x$ существует непустое открытое множество $G\subset U$ такой, что

|f(x)-f(y)|<\epsilon \;\;\;\;\forall y\in G

Обратите внимание, что в приведенном выше определении не обязательно, что $x\in G$ .

Характеристики

Если $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ является непрерывным, тогда $f$ является квазинепрерывным
Если $f:X\rightarrow \mathbb {R}$ является непрерывным и $g:X\rightarrow \mathbb {R}$ является квазинепрерывным, то $f+g$ является квазинепрерывным.

Пример

Рассмотрим функцию $f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ определяется $f(x)=0$ в любое время $x\leq 0$ и $f(x)=1$ в любое время $x>0$ . Очевидно, f непрерывна всюду, кроме точки x=0, и, следовательно, квазинепрерывна всюду, кроме (самого большего) точки x=0. При x=0 возьмем любую открытую окрестность U точки x. Тогда существует открытое множество $G\subset U$ такой, что $y<0\;\forall y\in G$ . Очевидно, это дает $|f(0)-f(y)|=0\;\forall y\in G$ таким образом, f квазинепрерывна.

Напротив, функция $g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R}$ определяется $g(x)=0$ в любое время $x$ является рациональным числом и $g(x)=1$ в любое время $x$ — иррациональное число, нигде не квазинепрерывно, поскольку каждое непустое открытое множество $G$ содержит некоторые $y_{1},y_{2}$ с $|g(y_{1})-g(y_{2})|=1$ .