Теорема выбора

В функциональном анализе , разделе математики, теорема выбора — это теорема, гарантирующая существование однозначной функции выбора из заданного многозначного отображения . Существуют различные теоремы выбора, и они важны в теориях дифференциальных включений , оптимального управления и математической экономики . ^[1]

Предварительные сведения

Для данных двух множеств X и Y пусть F — многозначная из X и Y. функция Эквивалентно, $F:X\rightarrow {\mathcal {P}}(Y)$ является функцией от X до степеней Y набора .

Функция $f:X\rightarrow Y$ называется выбором F , если

\forall x\in X:\,\,\,f(x)\in F(x)\,.

Другими словами, для входных данных x , для которых исходная функция F возвращает несколько значений, новая функция f возвращает одно значение. Это частный случай функции выбора .

Аксиома выбора подразумевает, что функция выбора всегда существует; однако часто важно, чтобы выборка имела некоторые «приятные» свойства, такие как непрерывность или измеримость . Именно здесь вступают в действие теоремы выбора: они гарантируют, что если F удовлетворяет определенным свойствам, то выборка f является непрерывной или имеет другие желаемые свойства.

Теоремы выбора для многозначных функций

Теорема выбора Майкла ^[2] выборки достаточны следующие условия говорит, что для существования непрерывной :

X — паракомпактное пространство;
Y — банахово пространство ;
F — полунепрерывный снизу ;
для всех x в X множество F ( x ) непусто, выпукло и замкнуто .

Приближенная теорема выбора ^[3] заявляет следующее:

Предположим, что X — компактное метрическое пространство, Y — непустой компакт , выпуклое подмножество нормированного векторного пространства и Φ: X → ${\mathcal {P}}(Y)$ многофункциональная функция, все значения которой компактны и выпуклы. Если граф(Φ) замкнут, то для любого ε > 0 существует непрерывная функция f : X → Y такая, что граф( f ) ⊂ [graph(Φ)] _ε .

Здесь, $[S]_{\varepsilon }$ обозначает $\varepsilon$ -расширение $S$ , то есть объединение радиусов- $\varepsilon$ открытые шары с центром в точках $S$ . Из теоремы следует существование непрерывного приближенного выбора.

Другой набор достаточных условий существования непрерывной аппроксимированной выборки дается теоремой Дойча–Кендерова : ^[4] чьи условия являются более общими, чем условия теоремы Майкла (и, следовательно, выбор является лишь приблизительным):

X — паракомпактное пространство;
Y — нормированное векторное пространство ;
F почти полунепрерывен снизу , т. е. при каждом $x\in X$ , для каждого района $V$ из $0$ существует район $U$ из $x$ такой, что ${\textstyle \bigcap _{u\in U}\{F(u)+V\}\neq \emptyset }$ ;
для всех x из X множество F ( x ) непусто и выпукло .

В более поздней заметке Сюй доказал, что теорема Дойча – Кендерова справедлива также, если $Y$ — локально выпуклое топологическое векторное пространство . ^[5]

Теорема выбора Яннелиса -Прабхакара ^[6] выборки достаточны следующие условия говорит, что для существования непрерывной :

X — паракомпактное хаусдорфово пространство ;
Y — линейное топологическое пространство ;
для всех x из X множество F ( x ) непусто и выпукло ;
для всех y из Y обратное множество F ⁻¹( y ) — множество в X. открытое

Теорема об измеримом выборе Куратовского и Рилла-Нардзевского гласит, что если X — польское пространство и ${\mathcal {B}}$ ее борелевская σ-алгебра , $\mathrm {Cl} (X)$ — множество непустых замкнутых подмножеств X , $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ является измеримым пространством и $F:\Omega \to \mathrm {Cl} (X)$ это ${\mathcal {F}}$ -слабо измеримое отображение (т.е. для каждого открытого подмножества $U\subseteq X$ у нас есть $\{\omega \in \Omega :F(\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}$ ), затем $F$ есть выбор , который $({\mathcal {F}},{\mathcal {B}})$ - измеримый . ^[7]

Другие теоремы выбора для многозначных функций включают:

Теоремы выбора для многозначных последовательностей

Ссылки

^ Бордер, Ким К. (1989). Теоремы о неподвижной точке с приложениями к экономике и теории игр . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-26564-9 .
^ Майкл, Эрнест (1956). «Непрерывные выделения. I». Анналы математики . Вторая серия. 63 (2): 361–382. дои : 10.2307/1969615 . hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR 1969615 . МР 0077107 .
^ Шапиро, Джоэл Х. (2016). Фарраго с фиксированной точкой . Международное издательство Спрингер. стр. 68–70. ISBN 978-3-319-27978-7 . OCLC 984777840 .
^ Дойч, Франк; Кендеров, Петар (январь 1983 г.). «Непрерывный выбор и приблизительный выбор для множественных отображений и приложений к метрическим проекциям». SIAM Journal по математическому анализу . 14 (1): 185–194. дои : 10.1137/0514015 .
^ Сюй, Югуан (декабрь 2001 г.). «Заметки о непрерывной приближенной теореме выбора» . Журнал теории приближения . 113 (2): 324–325. дои : 10.1006/jath.2001.3622 .
^ Яннелис, Николас К.; Прабхакар, Северная Дакота (1 декабря 1983 г.). «Существование максимальных элементов и равновесий в линейных топологических пространствах». Журнал математической экономики . 12 (3): 233–245. CiteSeerX 10.1.1.702.2938 . дои : 10.1016/0304-4068(83)90041-1 . ISSN 0304-4068 .
^ В. И. Богачев, «Теория меры», том II, стр. 36.

[1] Бордер, Ким К. (1989). Теоремы о неподвижной точке с приложениями к экономике и теории игр . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-26564-9 .

[2] Майкл, Эрнест (1956). «Непрерывные выделения. I». Анналы математики . Вторая серия. 63 (2): 361–382. дои : 10.2307/1969615 . hdl : 10338.dmlcz/119700 . JSTOR 1969615 . МР 0077107 .

[3] Шапиро, Джоэл Х. (2016). Фарраго с фиксированной точкой . Международное издательство Спрингер. стр. 68–70. ISBN 978-3-319-27978-7 . OCLC 984777840 .

[:0-4] Дойч, Франк; Кендеров, Петар (январь 1983 г.). «Непрерывный выбор и приблизительный выбор для множественных отображений и приложений к метрическим проекциям». SIAM Journal по математическому анализу . 14 (1): 185–194. дои : 10.1137/0514015 .

[5] Сюй, Югуан (декабрь 2001 г.). «Заметки о непрерывной приближенной теореме выбора» . Журнал теории приближения . 113 (2): 324–325. дои : 10.1006/jath.2001.3622 .

[6] Яннелис, Николас К.; Прабхакар, Северная Дакота (1 декабря 1983 г.). «Существование максимальных элементов и равновесий в линейных топологических пространствах». Журнал математической экономики . 12 (3): 233–245. CiteSeerX 10.1.1.702.2938 . дои : 10.1016/0304-4068(83)90041-1 . ISSN 0304-4068 .

[7] В. И. Богачев, «Теория меры», том II, стр. 36.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]