Отличная теория

Теорема о максимуме обеспечивает условия непрерывности оптимизируемой и функции множества ее максимизаторов по ее параметрам. Это утверждение было впервые доказано Клодом Берже в 1959 году. Теорема в основном используется в математической экономике и оптимальном управлении .

теоремы

Максимальная теорема Позволять $X$ и $\Theta$ быть топологическими пространствами, $f:X\times \Theta \to \mathbb {R}$ быть непрерывной функцией продукта $X\times \Theta$, и $C:\Theta \rightrightarrows X$ — компактное соответствие такое, что $C(\theta )\neq \emptyset$ для всех $\theta \in \Theta$. Определите предельную функцию (или функцию стоимости ) $f^{*}:\Theta \to \mathbb {R}$ к

$f^{*}(\theta )=\sup\{f(x,\theta ):x\in C(\theta )\}$

и набор максимизаторов $C^{*}:\Theta \rightrightarrows X$ к

$C^{*}(\theta )=\mathrm {arg} \max\{f(x,\theta ):x\in C(\theta )\}=\{x\in C(\theta ):f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}$.

Если $C$ является непрерывным (т.е. как верхним, так и нижним полунепрерывным ) при $\theta$, то функция значения $f^{*}$ непрерывно, а множество максимизаторов $C^{*}$является полунепрерывным сверху с непустыми и компактными значениями. Как следствие, $\sup$ может быть заменен на $\max$.

Варианты

Теорему о максимуме можно использовать для минимизации, рассматривая функцию $-f$ вместо.

Интерпретация

Теорему обычно интерпретируют как обеспечивающую условия для того, чтобы задача параметрической оптимизации имела непрерывные решения относительно параметра. В этом случае, $\Theta$ пространство параметров, $f(x,\theta )$ – функция, которую необходимо максимизировать, и $C(\theta )$ дает набор ограничений, который $f$ максимизируется более чем. Затем, $f^{*}(\theta )$ — максимальное значение функции и $C^{*}$ это набор точек, которые максимизируют $f$.

В результате, если элементы задачи оптимизации достаточно непрерывны, то некоторая, но не вся эта непрерывность сохраняется в решениях.

Доказательство

В этом доказательстве мы будем использовать термин « окрестность» для обозначения открытого множества, содержащего определенную точку. Предваряем предварительную лемму, которая является общим фактом исчисления соответствий. Напомним, что соответствие является замкнутым, если его граф замкнут .

Лемма . Если $A,B:\Theta \rightrightarrows X$ это переписка, $A$ является полунепрерывным сверху и компактным, а $B$ закрыто, то $A\cap B:\Theta \rightrightarrows X$ определяется $(A\cap B)(\theta )=A(\theta )\cap B(\theta )$ является верхнегеминепрерывным.

show Доказательство

Let $\theta \in \Theta$, and suppose $G$ is an open set containing $(A\cap B)(\theta )$. If $A(\theta )\subseteq G$, then the result follows immediately. Otherwise, observe that for each $x\in A(\theta )\setminus G$ we have $x\notin B(\theta )$, and since $B$ is closed there is a neighborhood $U_{x}\times V_{x}$ of $(\theta ,x)$ in which $x'\notin B(\theta ')$ whenever $(\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}$. The collection of sets $\{G\}\cup \{V_{x}:x\in A(\theta )\setminus G\}$ forms an open cover of the compact set $A(\theta )$, which allows us to extract a finite subcover $G,V_{x_{1}},\dots ,V_{x_{n}}$. By upper hemicontinuity, there is a neighborhood $U_{\theta }$ of $\theta$ such that $A(U_{\theta })\subseteq G\cup V_{x_{1}}\cup \dots \cup V_{x_{n}}$. Then whenever $\theta '\in U_{\theta }\cap U_{x_{1}}\cap \dots \cap U_{x_{n}}$, we have $A(\theta ')\subseteq G\cup V_{x_{1}}\cup \dots \cup V_{x_{n}}$, and so $(A\cap B)(\theta ')\subseteq G$. This completes the proof. $\square$

Непрерывность $f^{*}$ в теореме о максимуме является результатом объединения двух независимых теорем вместе.

Теорема 1 . Если $f$ является полунепрерывным сверху и $C$ полунепрерывен сверху, непуст и компактен, то $f^{*}$ является полунепрерывным сверху.

show Доказательство теоремы 1.

Fix $\theta \in \Theta$, and let $\varepsilon >0$ be arbitrary. For each $x\in C(\theta )$, there exists a neighborhood $U_{x}\times V_{x}$ of $(\theta ,x)$ such that whenever $(\theta ',x')\in U_{x}\times V_{x}$, we have $f(x',\theta ')<f(x,\theta )+\varepsilon$. The set of neighborhoods $\{V_{x}:x\in C(\theta )\}$ covers $C(\theta )$, which is compact, so $V_{x_{1}},\dots ,V_{x_{n}}$ suffice. Furthermore, since $C$ is upper hemicontinuous, there exists a neighborhood $U'$ of $\theta$ such that whenever $\theta '\in U'$ it follows that $C(\theta ')\subseteq \bigcup _{k=1}^{n}V_{x_{k}}$. Let $U=U'\cap U_{x_{1}}\cap \dots \cap U_{x_{n}}$. Then for all $\theta '\in U$, we have $f(x',\theta ')<f(x_{k},\theta )+\varepsilon$ for each $x'\in C(\theta ')$, as $x'\in V_{x_{k}}$ for some $k$. It follows that $f^{*}(\theta ')=\sup _{x'\in C(\theta ')}f(x',\theta ')<\max _{k=1,\dots ,n}f(x_{k},\theta )+\varepsilon \leq f^{*}(\theta )+\varepsilon ,$ which was desired. $\square$

Теорема 2 . Если $f$ является полунепрерывным снизу и $C$ является нижним полунепрерывным, то $f^{*}$ является полунепрерывным снизу.

show Доказательство теоремы 2.

Fix $\theta \in \Theta$, and let $\varepsilon >0$ be arbitrary. By definition of $f^{*}$, there exists $x\in C(\theta )$ such that $f^{*}(\theta )<f(x,\theta )+{\frac {\varepsilon }{2}}$. Now, since $f$ is lower semicontinuous, there exists a neighborhood $U_{1}\times V$ of $(\theta ,x)$ such that whenever $(\theta ',x')\in U_{1}\times V$ we have $f(x,\theta )<f(x',\theta ')+{\frac {\varepsilon }{2}}$. Observe that $C(\theta )\cap V\neq \emptyset$ (in particular, $x\in C(\theta )\cap V$). Therefore, since $C$ is lower hemicontinuous, there exists a neighborhood $U_{2}$ such that whenever $\theta '\in U_{2}$ there exists $x'\in C(\theta ')\cap V$. Let $U=U_{1}\cap U_{2}$. Then whenever $\theta '\in U$ there exists $x'\in C(\theta ')\cap V$, which implies $f^{*}(\theta )<f(x,\theta )+{\frac {\varepsilon }{2}}<f(x',\theta ')+\varepsilon \leq f^{*}(\theta ')+\varepsilon$ which was desired. $\square$

В условиях теоремы о максимуме $f^{*}$ является непрерывным. Осталось убедиться в том, что $C^{*}$ является полунепрерывным сверху соответствием с компактными значениями. Позволять $\theta \in \Theta$. Чтобы увидеть это $C^{*}(\theta )$ непусто, заметим, что функция $f_{\theta }:C(\theta )\to \mathbb {R}$ к $f_{\theta }(x)=f(x,\theta )$ непрерывен на компакте $C(\theta )$. Теорема об экстремальном значении означает, что $C^{*}(\theta )$ непусто. Кроме того, поскольку $f_{\theta }$ непрерывно, то отсюда следует, что $C^{*}(\theta )$ замкнутое подмножество компакта $C(\theta )$, что подразумевает $C^{*}(\theta )$ компактен. Наконец, позвольте $D:\Theta \rightrightarrows X$ определяться ${\textstyle D(\theta )=\{x\in X:f(x,\theta )=f^{*}(\theta )\}}$. С $f$ является непрерывной функцией, $D$ это закрытая переписка. Более того, поскольку $C^{*}(\theta )=C(\theta )\cap D(\theta )$, из предварительной леммы следует, что $C^{*}$ является верхнегеминепрерывным. $\square$

Варианты и обобщения

Естественное обобщение приведенных выше результатов дает достаточные локальные условия для $f^{*}$быть непрерывным и $C^{*}$быть непустой, компактной и полунепрерывной сверху.

Если в дополнение к вышеперечисленным условиям $f$ является квазивогнутым по $x$ для каждого $\theta$ и $C$ выпуклозначен, то $C^{*}$ также является выпуклозначным. Если $f$ является строго квазивогнутым по $x$ для каждого $\theta$ и $C$ выпуклозначен, то $C^{*}$ является однозначным и, следовательно, представляет собой непрерывную функцию, а не соответствие.

Если $f$ является вогнутым и $C$ имеет выпуклый график, то $f^{*}$ является вогнутым и $C^{*}$ является выпуклозначным. Аналогично предыдущему, если $f$ строго вогнутая, то $C^{*}$ является непрерывной функцией.

Также возможно обобщить теорему Бержа на некомпактные соответствия , если целевая функция K-inf-компактна.

Примеры

Рассмотрим задачу максимизации полезности , когда потребитель делает выбор из своего бюджетного набора. Переводя приведенные выше обозначения в стандартные обозначения теории потребителя,

• $X=\mathbb {R} _{+}^{l}$ это пространство всех расслоений $l$ товары,
• $\Theta =\mathbb {R} _{++}^{l}\times \mathbb {R} _{++}$ представляет вектор цен товаров $p$ и богатство потребителя $w$,
• $f(x,\theta )=u(x)$ потребителя – функция полезности , а
• $C(\theta )=B(p,w)=\{x\,|\,px\leq w\}$ потребителя – это бюджетный набор .

Затем,

• $f^{*}(\theta )=v(p,w)$ – косвенная функция полезности и
• $C^{*}(\theta )=x(p,w)$ это требование Маршалла .

Доказательства в теории общего равновесия часто применяют теоремы Брауэра или Какутани о неподвижной точке к потребительскому спросу, которые требуют компактности и непрерывности, а теорема о максимуме обеспечивает достаточные условия для этого.

См. также

• Теорема о конверте
• Теорема Брауэра о неподвижной точке
• Теорема Какутани о неподвижной точке для соответствий
• Теорема выбора Майкла

Ссылки

• Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. стр. 115–117.
• Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 569-571 . ISBN  9783540295860 .
• Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV, стр. 82–89.