Отличная теория
Теорема о максимуме обеспечивает условия непрерывности оптимизируемой и функции множества ее максимизаторов по ее параметрам. Это утверждение было впервые доказано Клодом Берже в 1959 году. [1] Теорема в основном используется в математической экономике и оптимальном управлении .
теоремы Формулировка
Максимальная теорема [2] [3] [4] [5] Позволять и быть топологическими пространствами, быть непрерывной функцией продукта , и — компактное соответствие такое, что для всех . Определите предельную функцию (или функцию стоимости ) к
и набор максимизаторов к
- .
Если является непрерывным (т.е. как верхним, так и нижним полунепрерывным ) при , то функция значения непрерывно, а множество максимизаторов является полунепрерывным сверху с непустыми и компактными значениями. Как следствие, может быть заменен на .
Варианты [ править ]
Теорему о максимуме можно использовать для минимизации, рассматривая функцию вместо.
Интерпретация [ править ]
Теорему обычно интерпретируют как обеспечивающую условия для того, чтобы задача параметрической оптимизации имела непрерывные решения относительно параметра. В этом случае, пространство параметров, – функция, которую необходимо максимизировать, и дает набор ограничений, который максимизируется более чем. Затем, — максимальное значение функции и это набор точек, которые максимизируют .
В результате, если элементы задачи оптимизации достаточно непрерывны, то некоторая, но не вся эта непрерывность сохраняется в решениях.
Доказательство [ править ]
В этом доказательстве мы будем использовать термин « окрестность» для обозначения открытого множества, содержащего определенную точку. Предваряем предварительную лемму, которая является общим фактом исчисления соответствий. Напомним, что соответствие является замкнутым, если его граф замкнут .
Лемма . [6] [7] [8] Если это переписка, является полунепрерывным сверху и компактным, а закрыто, то определяется является верхнегеминепрерывным.
Доказательство |
---|
Непрерывность в теореме о максимуме является результатом объединения двух независимых теорем вместе.
Теорема 1 . [9] [10] [11] Если является полунепрерывным сверху и полунепрерывен сверху, непуст и компактен, то является полунепрерывным сверху.
Доказательство теоремы 1. |
---|
Теорема 2 . [12] [13] [14] Если является полунепрерывным снизу и является нижним полунепрерывным, то является полунепрерывным снизу.
Доказательство теоремы 2. |
---|
В условиях теоремы о максимуме является непрерывным. Осталось убедиться в том, что является полунепрерывным сверху соответствием с компактными значениями. Позволять . Чтобы увидеть это непусто, заметим, что функция к непрерывен на компакте . Теорема об экстремальном значении означает, что непусто. Кроме того, поскольку непрерывно, то отсюда следует, что замкнутое подмножество компакта , что подразумевает компактен. Наконец, позвольте определяться . С является непрерывной функцией, это закрытая переписка. Более того, поскольку , из предварительной леммы следует, что является верхнегеминепрерывным.
Варианты и обобщения [ править ]
Естественное обобщение приведенных выше результатов дает достаточные локальные условия для быть непрерывным и быть непустой, компактной и полунепрерывной сверху.
Если в дополнение к вышеперечисленным условиям является квазивогнутым по для каждого и выпуклозначен, то также является выпуклозначным. Если является строго квазивогнутым по для каждого и выпуклозначен, то является однозначным и, следовательно, представляет собой непрерывную функцию, а не соответствие.
Если является вогнутым и имеет выпуклый график, то является вогнутым и является выпуклозначным. Аналогично предыдущему, если строго вогнутая, то является непрерывной функцией. [15]
Также возможно обобщить теорему Бержа на некомпактные соответствия , если целевая функция K-inf-компактна. [16]
Примеры [ править ]
Рассмотрим задачу максимизации полезности , когда потребитель делает выбор из своего бюджетного набора. Переводя приведенные выше обозначения в стандартные обозначения теории потребителя,
- это пространство всех расслоений товары,
- представляет вектор цен товаров и богатство потребителя ,
- потребителя – функция полезности , а
- потребителя – это бюджетный набор .
Затем,
Доказательства в теории общего равновесия часто применяют теоремы Брауэра или Какутани о неподвижной точке к потребительскому спросу, которые требуют компактности и непрерывности, а теорема о максимуме обеспечивает достаточные условия для этого.
См. также [ править ]
- Теорема о конверте
- Теорема Брауэра о неподвижной точке
- Теорема Какутани о неподвижной точке для соответствий
- Теорема выбора Майкла
Примечания [ править ]
- ^ Ок, Эфе (2007). Реальный анализ с экономическими приложениями . Издательство Принстонского университета. п. 306 . ISBN 978-0-691-11768-3 .
- ^ Исходная ссылка - максимальная теорема в главе 6, раздел 3. Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. п. 116. Известно или, возможно, печально известно, что Берге рассматривает только топологические пространства Хаусдорфа и допускает только те компакты, которые сами являются пространствами Хаусдорфа. Он также требует, чтобы полунепрерывные сверху соответствия были компактнозначными. Эти свойства были уточнены и детализированы в более поздней литературе.
- ^ Сравните с теоремой 17.31 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 570 . ISBN 9783540295860 . Это дано для произвольных топологических пространств. Они также рассматривают возможность того, что можно определить только на графике .
- ^ Сравните с теоремой 3.5 в Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV с. 84. Они считают, что и являются хаусдорфовыми пространствами.
- ^ Теорема 3.6 в Бивис, Брайан; Доббс, Ян (1990). Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 83–84. ISBN 0-521-33605-8 .
- ^ Сравните с теоремой 7 в главе 6, раздел 1 Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. п. 112. Берге предполагает, что лежащие в основе пространства хаусдорфовы, и использует это свойство для (но не для ) в его доказательстве.
- ^ Сравните с предложением 2.46 в Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV с. 53. Они косвенно предполагают, что и являются хаусдорфовыми пространствами, но их доказательство общее.
- ^ Сравните со следствием 17.18 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 564 . ISBN 9783540295860 . Это дано для произвольных топологических пространств, но доказательство опирается на аппарат топологических сетей.
- ^ Сравните с теоремой 2 главы 6, раздел 3 Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. п. 116. Аргумент Берге по существу аналогичен представленному здесь, но он снова использует вспомогательные результаты, доказанные в предположении, что лежащие в основе пространства хаусдорфовы.
- ^ Сравните с предложением 3.1 в Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV с. 82. Они работают исключительно с хаусдорфовыми пространствами, и их доказательство снова опирается на топологические сети. Их результат также позволяет принять ценности .
- ^ Сравните с леммой 17.30 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 569 . ISBN 9783540295860 . Они рассматривают произвольные топологические пространства и используют аргументы, основанные на топологических сетях.
- ^ Сравните с теоремой 1 в главе 6, раздел 3 Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. п. 115. Представленный здесь аргумент, по сути, принадлежит ему.
- ^ Сравните с предложением 3.3 в Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV с. 83. Они работают исключительно с хаусдорфовыми пространствами, и их доказательство снова опирается на топологические сети. Их результат также позволяет принять ценности .
- ^ Сравните с леммой 17.29 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 569 . ISBN 9783540295860 . Они рассматривают произвольные топологические пространства и используют аргумент, включающий топологические сети.
- ^ Сундарам, Рангараджан К. (1996). Первый курс теории оптимизации . Издательство Кембриджского университета. п. 239 . ISBN 0-521-49770-1 .
- ^ Теорема 1.2 в Фейнберг, Юджин А .; Касьянов Павел О.; Задоянчук Нина В. (январь 2013 г.). «Теорема Бержа для некомпактных множеств изображений». Журнал математического анализа и приложений . 397 (1): 255–259. arXiv : 1203.1340 . дои : 10.1016/j.jmaa.2012.07.051 . S2CID 8603060 .
Ссылки [ править ]
- Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. стр. 115–117.
- Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 569-571 . ISBN 9783540295860 .
- Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV, стр. 82–89.