Jump to content

Отличная теория

Теорема о максимуме обеспечивает условия непрерывности оптимизируемой и функции множества ее максимизаторов по ее параметрам. Это утверждение было впервые доказано Клодом Берже в 1959 году. [1] Теорема в основном используется в математической экономике и оптимальном управлении .

теоремы Формулировка

Максимальная теорема [2] [3] [4] [5] Позволять и быть топологическими пространствами, быть непрерывной функцией продукта , и — компактное соответствие такое, что для всех . Определите предельную функцию (или функцию стоимости ) к

и набор максимизаторов к

.

Если является непрерывным (т.е. как верхним, так и нижним полунепрерывным ) при , то функция значения непрерывно, а множество максимизаторов является полунепрерывным сверху с непустыми и компактными значениями. Как следствие, может быть заменен на .

Варианты [ править ]

Теорему о максимуме можно использовать для минимизации, рассматривая функцию вместо.

Интерпретация [ править ]

Теорему обычно интерпретируют как обеспечивающую условия для того, чтобы задача параметрической оптимизации имела непрерывные решения относительно параметра. В этом случае, пространство параметров, – функция, которую необходимо максимизировать, и дает набор ограничений, который максимизируется более чем. Затем, — максимальное значение функции и это набор точек, которые максимизируют .

В результате, если элементы задачи оптимизации достаточно непрерывны, то некоторая, но не вся эта непрерывность сохраняется в решениях.

Доказательство [ править ]

В этом доказательстве мы будем использовать термин « окрестность» для обозначения открытого множества, содержащего определенную точку. Предваряем предварительную лемму, которая является общим фактом исчисления соответствий. Напомним, что соответствие является замкнутым, если его граф замкнут .

Лемма . [6] [7] [8] Если это переписка, является полунепрерывным сверху и компактным, а закрыто, то определяется является верхнегеминепрерывным.

Доказательство

Let , and suppose is an open set containing . If , then the result follows immediately. Otherwise, observe that for each we have , and since is closed there is a neighborhood of in which whenever . The collection of sets forms an open cover of the compact set , which allows us to extract a finite subcover . By upper hemicontinuity, there is a neighborhood of such that . Then whenever , we have , and so . This completes the proof.

Непрерывность в теореме о максимуме является результатом объединения двух независимых теорем вместе.

Теорема 1 . [9] [10] [11] Если является полунепрерывным сверху и полунепрерывен сверху, непуст и компактен, то является полунепрерывным сверху.

Доказательство теоремы 1.

Fix , and let be arbitrary. For each , there exists a neighborhood of such that whenever , we have . The set of neighborhoods covers , which is compact, so suffice. Furthermore, since is upper hemicontinuous, there exists a neighborhood of such that whenever it follows that . Let . Then for all , we have for each , as for some . It follows that

which was desired.

Теорема 2 . [12] [13] [14] Если является полунепрерывным снизу и является нижним полунепрерывным, то является полунепрерывным снизу.

Доказательство теоремы 2.

Fix , and let be arbitrary. By definition of , there exists such that . Now, since is lower semicontinuous, there exists a neighborhood of such that whenever we have . Observe that (in particular, ). Therefore, since is lower hemicontinuous, there exists a neighborhood such that whenever there exists . Let . Then whenever there exists , which implies

which was desired.

В условиях теоремы о максимуме является непрерывным. Осталось убедиться в том, что является полунепрерывным сверху соответствием с компактными значениями. Позволять . Чтобы увидеть это непусто, заметим, что функция к непрерывен на компакте . Теорема об экстремальном значении означает, что непусто. Кроме того, поскольку непрерывно, то отсюда следует, что замкнутое подмножество компакта , что подразумевает компактен. Наконец, позвольте определяться . С является непрерывной функцией, это закрытая переписка. Более того, поскольку , из предварительной леммы следует, что является верхнегеминепрерывным.

Варианты и обобщения [ править ]

Естественное обобщение приведенных выше результатов дает достаточные локальные условия для быть непрерывным и быть непустой, компактной и полунепрерывной сверху.

Если в дополнение к вышеперечисленным условиям является квазивогнутым по для каждого и выпуклозначен, то также является выпуклозначным. Если является строго квазивогнутым по для каждого и выпуклозначен, то является однозначным и, следовательно, представляет собой непрерывную функцию, а не соответствие.

Если является вогнутым и имеет выпуклый график, то является вогнутым и является выпуклозначным. Аналогично предыдущему, если строго вогнутая, то является непрерывной функцией. [15]

Также возможно обобщить теорему Бержа на некомпактные соответствия , если целевая функция K-inf-компактна. [16]

Примеры [ править ]

Рассмотрим задачу максимизации полезности , когда потребитель делает выбор из своего бюджетного набора. Переводя приведенные выше обозначения в стандартные обозначения теории потребителя,

  • это пространство всех расслоений товары,
  • представляет вектор цен товаров и богатство потребителя ,
  • потребителя – функция полезности , а
  • потребителя – это бюджетный набор .

Затем,

Доказательства в теории общего равновесия часто применяют теоремы Брауэра или Какутани о неподвижной точке к потребительскому спросу, которые требуют компактности и непрерывности, а теорема о максимуме обеспечивает достаточные условия для этого.

См. также [ править ]

Примечания [ править ]

  1. ^ Ок, Эфе (2007). Реальный анализ с экономическими приложениями . Издательство Принстонского университета. п. 306 . ISBN  978-0-691-11768-3 .
  2. ^ Исходная ссылка - максимальная теорема в главе 6, раздел 3. Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. п. 116. Известно или, возможно, печально известно, что Берге рассматривает только топологические пространства Хаусдорфа и допускает только те компакты, которые сами являются пространствами Хаусдорфа. Он также требует, чтобы полунепрерывные сверху соответствия были компактнозначными. Эти свойства были уточнены и детализированы в более поздней литературе.
  3. ^ Сравните с теоремой 17.31 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 570 . ISBN  9783540295860 . Это дано для произвольных топологических пространств. Они также рассматривают возможность того, что можно определить только на графике .
  4. ^ Сравните с теоремой 3.5 в Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV с. 84. Они считают, что и являются хаусдорфовыми пространствами.
  5. ^ Теорема 3.6 в Бивис, Брайан; Доббс, Ян (1990). Теория оптимизации и устойчивости для экономического анализа . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. стр. 83–84. ISBN  0-521-33605-8 .
  6. ^ Сравните с теоремой 7 в главе 6, раздел 1 Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. п. 112. Берге предполагает, что лежащие в основе пространства хаусдорфовы, и использует это свойство для (но не для ) в его доказательстве.
  7. ^ Сравните с предложением 2.46 в Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV с. 53. Они косвенно предполагают, что и являются хаусдорфовыми пространствами, но их доказательство общее.
  8. ^ Сравните со следствием 17.18 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 564 . ISBN  9783540295860 . Это дано для произвольных топологических пространств, но доказательство опирается на аппарат топологических сетей.
  9. ^ Сравните с теоремой 2 главы 6, раздел 3 Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. п. 116. Аргумент Берге по существу аналогичен представленному здесь, но он снова использует вспомогательные результаты, доказанные в предположении, что лежащие в основе пространства хаусдорфовы.
  10. ^ Сравните с предложением 3.1 в Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV с. 82. Они работают исключительно с хаусдорфовыми пространствами, и их доказательство снова опирается на топологические сети. Их результат также позволяет принять ценности .
  11. ^ Сравните с леммой 17.30 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 569 . ISBN  9783540295860 . Они рассматривают произвольные топологические пространства и используют аргументы, основанные на топологических сетях.
  12. ^ Сравните с теоремой 1 в главе 6, раздел 3 Клод Берже (1963). Топологические пространства . Оливер и Бойд. п. 115. Представленный здесь аргумент, по сути, принадлежит ему.
  13. ^ Сравните с предложением 3.3 в Шучуань Ху; Николас С. Папагеоргиу (1997). Справочник по многозначному анализу . Том. 1: Теория. Springer-Science + Business Media, BV с. 83. Они работают исключительно с хаусдорфовыми пространствами, и их доказательство снова опирается на топологические сети. Их результат также позволяет принять ценности .
  14. ^ Сравните с леммой 17.29 в Хараламбос Д. Алипрантис; Ким С. Бордер (2006). Бесконечномерный анализ: Путеводитель для путешественника . Спрингер. стр. 569 . ISBN  9783540295860 . Они рассматривают произвольные топологические пространства и используют аргумент, включающий топологические сети.
  15. ^ Сундарам, Рангараджан К. (1996). Первый курс теории оптимизации . Издательство Кембриджского университета. п. 239 . ISBN  0-521-49770-1 .
  16. ^ Теорема 1.2 в Фейнберг, Юджин А .; Касьянов Павел О.; Задоянчук Нина В. (январь 2013 г.). «Теорема Бержа для некомпактных множеств изображений». Журнал математического анализа и приложений . 397 (1): 255–259. arXiv : 1203.1340 . дои : 10.1016/j.jmaa.2012.07.051 . S2CID   8603060 .

Ссылки [ править ]

Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: feaafa258c9e9cd53be93229e36c9c06__1717096320
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/fe/06/feaafa258c9e9cd53be93229e36c9c06.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Maximum theorem - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)