Теорема измеримого выбора Куратовского и Рилла-Нардзевского

В математике теорема об измеримом выборе Куратовского-Рилла-Нардзевского является результатом теории меры , которая дает достаточное условие для того, чтобы многозначная функция имела измеримую функцию выбора . Он назван в честь польских математиков Казимира Куратовского и Чеслава Рылля-Нардзевского .

Из этой теоремы следуют многие классические результаты выбора. и он широко используется в математической экономике и оптимальном управлении .

Формулировка теоремы

Позволять $X$ быть польским пространством , ${\mathcal {B}}(X)$ борелевская σ - алгебра $X$, $(\Omega ,{\mathcal {F}})$ измеримое пространство и $\psi$ многофункциональный на $\Omega$ принимающие значения из множества непустых замкнутых подмножеств $X$.

Предположим, что $\psi$ является ${\mathcal {F}}$-слабо измеримое, то есть для любого открытого подмножества $U$ из $X$, у нас есть

$\{\omega :\psi (\omega )\cap U\neq \emptyset \}\in {\mathcal {F}}.$

Затем $\psi$ есть выбор , который ${\mathcal {F}}$- ${\mathcal {B}}(X)$-измеримый.

См. также

• Теорема выбора