Гипертрансцендентальная функция

Гипертрансцендентная функция или трансцендентно-трансцендентная функция — это трансцендентная аналитическая функция , которая не является решением алгебраического дифференциального уравнения с коэффициентами из $\mathbb {Z}$ ( целые числа ) и с алгебраическими начальными условиями .

История

Термин «трансцендентально трансцендентальный» был введен Э. Х. Муром в 1896 году; Термин «гипертрансцендентальное» был введен Д. Д. Мордухаем-Болтовской в ​​1914 году.

Определение

Одно стандартное определение (есть небольшие варианты) определяет решения дифференциальных уравнений вида

$F\left(x,y,y',\cdots ,y^{(n)}\right)=0$,

где $F$ — многочлен с постоянными коэффициентами, как алгебраически трансцендентный или дифференциально-алгебраический . Трансцендентные функции, не являющиеся алгебраически трансцендентными, являются трансцендентно-трансцендентными . Теорема Гёльдера показывает, что гамма-функция относится к этой категории.

Гипертрансцендентные функции обычно возникают как решения функциональных уравнений , например гамма-функция .

Примеры

Гипертрансцендентные функции

• Дзета-функции полей алгебраических чисел , в частности, дзета-функция Римана
• Гамма -функция ( см. теорему Гёльдера )

Трансцендентальные, но не гипертрансцендентальные функции

• Показательная функция , логарифм , тригонометрическая и гиперболическая функции.
• Обобщенные гипергеометрические функции , включая специальные случаи, такие как функции Бесселя (за исключением некоторых частных случаев, которые являются алгебраическими).

Нетрансцендентные (алгебраические) функции

• Все алгебраические функции , в частности многочлены .

См. также

• Гипертрансцендентное число

Ссылки

• Локстон, Дж. Х., Поортен, А. Дж. ван дер, « Класс гипертрансцендентных функций », Математические уравнения , Периодический том 16
• Малер, К. , «Арифметические свойства класса трансцендентно-трансцендентных функций», Math. 32 (1930) 545-585.
• Мордухай-Болтовской, Д. (1949), "О гипертрансцендентных функциях и гипертрансцендентных числах", Доклады Академии наук СССР , Новая серия (на русском языке), 64 : 21–24, MR   0028347