Теорема Гёльдера

В математике гамма теорема Гельдера утверждает, что -функция не удовлетворяет ни одному алгебраическому дифференциальному уравнению , коэффициенты которого являются рациональными функциями . Этот результат был впервые доказан Отто Гёльдером в 1887 году; Впоследствии было найдено несколько альтернативных доказательств.

Теорема также обобщается на случай $q$-гамма-функция .

Формулировка теоремы

Для каждого $n\in \mathbb {N} _{0},$ не существует ненулевого полинома $P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ такой, что $$\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\right)=0,$$ где $\Gamma$ это гамма-функция .

Например, определите $P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},Y_{2}]$ к $$P~{\stackrel {\text{df}}{=}}~X^{2}Y_{2}+XY_{1}+(X^{2}-\nu ^{2})Y_{0}.$$

Тогда уравнение $$P\left(z;f(z),f'(z),f''(z)\right)=z^{2}f''(z)+zf'(z)+\left(z^{2}-\nu ^{2}\right)f(z)\equiv 0$$ называется алгебраическим дифференциальным уравнением , которое в этом случае имеет решения $f=J_{\nu }$ и $f=Y_{\nu }$ — функции Бесселя первого и второго рода соответственно. Следовательно, мы говорим, что $J_{\nu }$ и $Y_{\nu }$ дифференциально -алгебраичны (также алгебраически трансцендентны ). Большинство известных специальных функций математической физики являются дифференциально-алгебраическими. Все алгебраические комбинации дифференциально-алгебраических функций являются дифференциально-алгебраическими. Более того, все композиции дифференциально-алгебраических функций дифференциально-алгебраичны. Теорема Гёльдера просто утверждает, что гамма-функция $\Gamma$, не является дифференциально-алгебраическим и, следовательно, трансцендентно-трансцендентным .

Доказательство

Позволять $n\in \mathbb {N} _{0},$ и предположим, что ненулевой полином $P\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ существует такое, что $$\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad P\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\right)=0.$$

В качестве ненулевого полинома в $\mathbb {C} [X]$ никогда не может порождать нулевую функцию в любой непустой открытой области $\mathbb {C}$ (по основной теореме алгебры ), мы можем предположить, не ограничивая общности, что $P$ содержит одночлен, имеющий ненулевую степень одной из неопределенных величин $Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}$.

Предположим также, что $P$ имеет минимально возможную общую степень по отношению к лексикографическому упорядочению $Y_{0}<Y_{1}<\cdots <Y_{n}<X.$ Например, $$\deg \left(-3X^{10}Y_{0}^{2}Y_{1}^{4}+iX^{2}Y_{2}\right)<\deg \left(2XY_{0}^{3}-Y_{1}^{4}\right)$$ потому что высшая сила $Y_{0}$ в любом мономе первого многочлена меньше, чем у второго многочлена.

Далее заметим, что для всех $z\in \mathbb {C} \smallsetminus \mathbb {Z} _{\leq 0}$ у нас есть: $${\begin{aligned}&P\left(z+1;\Gamma (z+1),\Gamma '(z+1),\Gamma ''(z+1),\ldots ,\Gamma ^{(n)}(z+1)\right)\\[1ex]&=P\left(z+1;z\Gamma (z),[z\Gamma (z)]',[z\Gamma (z)]'',\ldots ,[z\Gamma (z)]^{(n)}\right)\\[1ex]&=P\left(z+1;z\Gamma (z),z\Gamma '(z)+\Gamma (z),z\Gamma ''(z)+2\Gamma '(z),\ldots ,z{\Gamma ^{(n)}}(z)+n{\Gamma ^{(n-1)}}(z)\right).\end{aligned}}$$

Если мы определим второй полином $Q\in \mathbb {C} [X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]$ путем преобразования $$Q~{\stackrel {\text{df}}{=}}~P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1}),$$ то мы получим следующее алгебраическое дифференциальное уравнение для $\Gamma$: $$\forall z\in \mathbb {C} \setminus \mathbb {Z} _{\leq 0}:\qquad Q\left(z;\Gamma (z),\Gamma '(z),\ldots ,{\Gamma ^{(n)}}(z)\right)\equiv 0.$$

Кроме того, если $X^{h}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}$ является мономом высшей степени в $P$, то мономиальный член высшей степени в $Q$ является $$X^{h+h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}Y_{0}^{h_{0}}Y_{1}^{h_{1}}\cdots Y_{n}^{h_{n}}.$$

Следовательно, полином $$Q-X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}}P$$ имеет меньшую общую степень, чем $P$, и поскольку оно явно приводит к алгебраическому дифференциальному уравнению для $\Gamma$, это должен быть нулевой полином по предположению минимальности на $P$. Следовательно, определяя $R\in \mathbb {C} [X]$ к $$R~{\stackrel {\text{df}}{=}}~X^{h_{0}+h_{1}+\cdots +h_{n}},$$ мы получаем $$Q=P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}).$$

Теперь позвольте $X=0$ в $Q$ чтобы получить $$Q(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=P(1;0,Y_{0},2Y_{1},\ldots ,nY_{n-1})=R(0)\cdot P(0;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.$$

Тогда замена переменных дает $$P(1;0,Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]},$$ и применение математической индукции (наряду с заменой переменных на каждом шаге индукции) к предыдущему выражению $$P(X+1;XY_{0},XY_{1}+Y_{0},XY_{2}+2Y_{1},\ldots ,XY_{n}+nY_{n-1})=R(X)\cdot P(X;Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n})$$ показывает, что $$\forall m\in \mathbb {N} :\qquad P(m;0,Y_{1},Y_{2},\ldots ,Y_{n})=0_{\mathbb {C} [Y_{0},Y_{1},\ldots ,Y_{n}]}.$$

Это возможно только в том случае, если $P$ делится на $Y_{0}$, что противоречит предположению минимальности $P$. Поэтому нет такого $P$ существует, и поэтому $\Gamma$ не является дифференциально-алгебраическим. КЭД