Гиперболический сектор

Гиперболический сектор — это область декартовой плоскости, ограниченная гиперболой и двумя лучами , идущими от начала координат до нее. Например, две точки $(a, 1/ a)$ и $(b, 1/ b)$ на прямоугольной гиперболе $xy = 1$ или соответствующая область, когда эта гипербола повторно масштабируется и ее ориентация изменяется вращением , оставляющим центр в начале координат, как в случае с единичной гиперболой . Гиперболический сектор в стандартной позиции имеет $a = 1$ и $b > 1$ .

Гиперболические сектора являются основой гиперболических функций .

Область

Площадь натуральному гиперболического сектора в стандартном положении равна логарифму числа b .

Доказательство: проинтегрируйте по 1/ x от 1 до b , добавьте треугольник {(0, 0), (1, 0), (1, 1)} и вычтите треугольник {(0, 0), ( b , 0), ( b , 1/ b )} (оба треугольника которого имеют одинаковую площадь). ^[1]

В стандартном положении гиперболический сектор соответствует положительному гиперболическому углу в начале координат, причем мера последнего определяется как площадь первого.

Гиперболический треугольник

В стандартном положении гиперболический сектор определяет гиперболический треугольник , прямоугольный треугольник с одной вершиной в начале координат, основанием на диагональном луче y = x и третьей вершиной на гиперболе.

xy=1,\,

гипотенузой является отрезок от начала координат до точки ( x, y ) гиперболы. Длина основания этого треугольника равна

{\sqrt {2}}\cosh u,\,

и высота

{\sqrt {2}}\sinh u,\,

где u — соответствующий гиперболический угол .

Аналогия между круговыми и гиперболическими функциями была описана Огастесом Де Морганом в его «Тригонометрии и двойной алгебре» (1849). ^[2] Уильям Бернсайд использовал такие треугольники, проецируя точку гиперболы xy = 1 на главную диагональ, в своей статье «Замечание к теореме сложения для гиперболических функций». ^[3]

Гиперболический логарифм

Известно, что f( x ) = x ^п имеет алгебраическую первообразную, за исключением случая p = –1, соответствующего квадратуре гиперболы . Остальные случаи даются квадратурной формулой Кавальери . В то время как квадратура параболы была получена Архимедом в третьем веке до нашей эры (в «Квадратуре параболы »), гиперболическая квадратура потребовала изобретения в 1647 году новой функции: Грегуар де Сен-Винсент обратился к проблеме вычисления площадей, ограниченных по гиперболе. Его открытия привели к созданию функции натурального логарифма, которую когда-то называли гиперболическим логарифмом, поскольку она получается путем интегрирования или нахождения площади под гиперболой. ^[4]

До 1748 года и публикации « Введения в анализ бесконечного » натуральный логарифм был известен как площадь гиперболического сектора. Леонард Эйлер изменил это положение, введя трансцендентные функции , такие как 10 ^х. Эйлер определил e как значение b, производящее единицу площади (под гиперболой или в гиперболическом секторе в стандартном положении). Тогда натуральный логарифм можно было бы признать функцией, обратной трансцендентной функции e ^х.

Чтобы учесть случай отрицательных логарифмов и соответствующих отрицательных гиперболических углов, строятся разные гиперболические сектора в зависимости от того, x больше или меньше единицы . Переменный прямоугольный треугольник площадью 1/2 – это $V=\{(x,1/x),\ (x,0),\ (0,0)\}.$ Равнобедренный случай $T=\{(1,1),\ (1,0),\ (0,0)\}.$ Натуральный логарифм известен как площадь под y = 1/ x между единицей и x . Положительный гиперболический угол определяется площадью $\int _{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+T-V.$ Отрицательный гиперболический угол определяется отрицательным значением площади $\int _{x}^{1}{\frac {dt}{t}}+V-T.$ Это соглашение соответствует отрицательному натуральному логарифму для x в (0,1).

Гиперболическая геометрия

Когда Феликса Кляйна в 1928 году была опубликована книга по неевклидовой геометрии , она заложила основу для этого предмета со ссылкой на проективную геометрию . Кляйн отметил, что для установления гиперболической меры на линии площадь гиперболического сектора служит наглядной иллюстрацией этой концепции. ^[5]

Гиперболические сектора также можно нарисовать к гиперболе $y={\sqrt {1+x^{2}}}$ . Площадь таких гиперболических секторов использовалась для определения гиперболического расстояния в учебнике геометрии. ^[6]

См. также

Сжатие карт

Ссылки

^ В. Г. Ашкинусе и Исаак Яглом (1962) Идеи и методы аффинной и проективной геометрии (на русском языке ), стр. 151, Министерство образования, Москва
^ Огастес Де Морган (1849) Тригонометрия и двойная алгебра , Глава VI: «О связи общей и гиперболической тригонометрии»
^ Уильям Бернсайд (1890) Вестник математики 20: 145–8, см. диаграмму на стр. 146.
^ Мартин Флэшман «История логарифмов» из Государственного университета Гумбольдта.
^ Феликс Кляйн (1928) Лекции по неевклидовой геометрии , с. 173, рисунок 113, Юлиус Шпрингер , Берлин
^ Юрген Рихтер-Геберт (2011) Перспективы проективной геометрии , с. 385, ISBN 9783642172854 МР 2791970

Меллен В. Хаскелл (1895) О введении понятия гиперболических функций. Бюллетень Американского математического общества 1 (6): 155–9.

[1] В. Г. Ашкинусе и Исаак Яглом (1962) Идеи и методы аффинной и проективной геометрии (на русском языке ), стр. 151, Министерство образования, Москва

[2] Огастес Де Морган (1849) Тригонометрия и двойная алгебра , Глава VI: «О связи общей и гиперболической тригонометрии»

[3] Уильям Бернсайд (1890) Вестник математики 20: 145–8, см. диаграмму на стр. 146.

[4] Мартин Флэшман «История логарифмов» из Государственного университета Гумбольдта.

[5] Феликс Кляйн (1928) Лекции по неевклидовой геометрии , с. 173, рисунок 113, Юлиус Шпрингер , Берлин

[6] Юрген Рихтер-Геберт (2011) Перспективы проективной геометрии , с. 385, ISBN 9783642172854 МР 2791970

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]