Бесконечные композиции аналитических функций

В математике бесконечные композиции ( аналитических функций ICAF) предлагают альтернативные формулировки аналитических цепных дробей , рядов , произведений и других бесконечных разложений, а теория, развивающаяся на основе таких композиций, может пролить свет на сходимость/расхождение этих разложений. Некоторые функции могут быть расширены напрямую как бесконечные композиции. Кроме того, можно использовать ICAF для оценки решений уравнений с фиксированной точкой, включающих бесконечные разложения. Сложная динамика предлагает еще одно место для итерации систем функций, а не одной функции. Для бесконечных композиций одной функции см. Итерированную функцию . Чтобы узнать о композициях конечного числа функций, полезных в фракталов теории , см. Итерированную систему функций .

Хотя в названии этой статьи указаны аналитические функции, есть результаты для более общих функций комплексной переменной и .

Обозначения

Существует несколько обозначений, описывающих бесконечные композиции, в том числе следующие:

Форвардные составы: $F_{k,n}(z)=f_{k}\circ f_{k+1}\circ \dots \circ f_{n-1}\circ f_{n}(z).$

Обратные композиции: $G_{k,n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \dots \circ f_{k+1}\circ f_{k}(z).$

В каждом случае сходимость интерпретируется как существование следующих пределов:

$\lim _{n\to \infty }F_{1,n}(z),\qquad \lim _{n\to \infty }G_{1,n}(z).$

Для удобства положим F _n ( z ) = F _{1, n} ( z ) и G _n ( z ) = G _{1, n} ( z ) .

Можно также написать $F_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {R} }}}\,f_{k}(z)=f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}(z)$ и $G_{n}(z)={\underset {k=1}{\overset {n}{\mathop {L} }}}\,g_{k}(z)=g_{n}\circ g_{n-1}\circ \cdots \circ g_{1}(z)$

Теорема

Многие результаты можно рассматривать как расширение следующего результата:

Теорема о сокращении для аналитических функций — Пусть f аналитична в односвязной области S и непрерывна на замыкании S области S . Предположим, f ( S ) — ограниченное множество, содержащееся S. в Тогда для всех z в S существует притягивающая неподвижная точка α функции f в S такая, что:

$$F_{n}(z)=(f\circ f\circ \cdots \circ f)(z)\to \alpha .$$

Бесконечные композиции сократительных функций

Пусть { f _n } — последовательность функций, аналитических в односвязной области S . существует компакт Ω ⊂ S такой, что для каждого fn n ( _{Предположим, что} S ) ⊂ Ω.

Теорема о прямых (внутренних или правых) композициях — { F _n } сходится равномерно на компактных подмножествах S к постоянной функции F ( z ) = λ .

Теорема об обратной (внешней или левой) композиции — { G _n } сходится равномерно на компактных подмножествах S к γ ∈ Ω тогда и только тогда, когда последовательность неподвижных точек { γ _n } из { f _n } сходится к γ .

Дополнительная теория, возникшая в результате исследований, основанных на этих двух теоремах, в частности на теореме о прямой композиции, включает анализ местоположения пределов, полученных в следующей ссылке. Другой подход к теореме об обратных композициях см. в следующей ссылке.

Что касается теоремы об обратных композициях, пример f _{2 n} ( z ) = 1/2 и f _{2 n -1} ( z ) = -1/2 для S = { z : | г | < 1} демонстрирует неадекватность простого требования сжатия в компактное подмножество, как в случае с теоремой о прямых композициях.

Для функций, не обязательно аналитических, достаточно условия Липшица :

Теорема - Предполагать $S$ представляет собой односвязное компактное подмножество $\mathbb {C}$ и пусть $t_{n}:S\to S$ быть семейством функций, которое удовлетворяет

$$\forall n,\forall z_{1},z_{2}\in S,\exists \rho :\quad \left|t_{n}(z_{1})-t_{n}(z_{2})\right|\leq \rho |z_{1}-z_{2}|,\quad \rho <1.$$

Определять:

$${\begin{aligned}G_{n}(z)&=\left(t_{n}\circ t_{n-1}\circ \cdots \circ t_{1}\right)(z)\\F_{n}(z)&=\left(t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}\right)(z)\end{aligned}}$$

Затем $F_{n}(z)\to \beta \in S$ равномерно на $S.$ Если $\alpha _{n}$ является единственной неподвижной точкой $t_{n}$ затем $G_{n}(z)\to \alpha$ равномерно на $S$ тогда и только тогда, когда $|\alpha _{n}-\alpha |=\varepsilon _{n}\to 0$.

Бесконечные композиции других функций

Несжимающие комплексные функции

Результаты, включающие целые функции , в качестве примеров приведены ниже. Набор

${\begin{aligned}f_{n}(z)&=a_{n}z+c_{n,2}z^{2}+c_{n,3}z^{3}+\cdots \\\rho _{n}&=\sup _{r}\left\{\left|c_{n,r}\right|^{\frac {1}{r-1}}\right\}\end{aligned}}$

Тогда справедливы следующие результаты:

Теорема E1 — Если n _≡ 1,

$$\sum _{n=1}^{\infty }\rho _{n}<\infty$$

тогда F _n → F целое.

Теорема Е2 — Установите ε _n = | а _п -1 | предположим, что существуют неотрицательные δ _n , M ₁ , M ₂ , R такие, что выполняется следующее:

$${\begin{aligned}\sum _{n=1}^{\infty }\varepsilon _{n}&<\infty ,\\\sum _{n=1}^{\infty }\delta _{n}&<\infty ,\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\delta _{n})&<M_{1},\\\prod _{n=1}^{\infty }(1+\varepsilon _{n})&<M_{2},\\\rho _{n}&<{\frac {\delta _{n}}{RM_{1}M_{2}}}.\end{aligned}}$$

Тогда G _n ( z ) → G ( z ) аналитично для | г | < Р . Сходимость равномерна на компактных подмножествах { z : | г | < Р }.

Дополнительные элементарные результаты включают в себя:

Теорема GF3 - Предполагать $f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)$ где существуют $R,M>0$ такой, что $|z|<R$ подразумевает $|\varphi _{k}(z)|<M,\forall k,\$ Кроме того, предположим ${\textstyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$ и ${\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}$ Тогда для ${\textstyle R*<R-M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}$

$$G_{n}(z)\equiv \left(f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}\right)(z)\to G(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}$$

Теорема GF4 - Предполагать $f_{k}(z)=z+\rho _{k}\varphi _{k}(z)$ где существуют $R,M>0$ такой, что $|z|<R$ и $|\zeta |<R$ подразумевает $|\varphi _{k}(z)|<M$ и $|\varphi _{k}(z)-\varphi _{k}(\zeta )|\leq r|z-\zeta |,\forall k.\$ Кроме того, предположим ${\textstyle \rho _{k}\geq 0,\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}<\infty }$ и ${\textstyle R>M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}.}$ Тогда для ${\textstyle R*<R-M\sum _{k=1}^{\infty }\rho _{k}}$

$$F_{n}(z)\equiv \left(f_{1}\circ f_{2}\circ \cdots \circ f_{n}\right)(z)\to F(z)\qquad {\text{ for }}\{z:|z|<R*\}$$

Пример GF1 : $F_{40}(x+iy)={\underset {k=1}{\overset {40}{\mathop {R} }}}\left({\frac {x+iy}{1+{\tfrac {1}{4^{k}}}(x\cos(y)+iy\sin(x))}}\right),\qquad [-20,20]$

Пример GF1: Репродуктивная вселенная — топографическое (модульное) изображение бесконечной композиции.

Пример GF2 : $G_{40}(x+iy)={\underset {k=1}{\overset {40}{\mathop {L} }}}\,\left({\frac {x+iy}{1+{\tfrac {1}{2^{k}}}(x\cos(y)+iy\sin(x))}}\right),\ [-20,20]$

Пример GF2: Метрополис при 30K — топографическое (модульное) изображение бесконечной композиции.

Линейные дробные преобразования

Результаты к композициям дробно-линейных преобразований (Мёбиуса) относятся, например, следующие:

Теорема LFT1 . На множестве сходимости последовательности { F _n } неособых LFT предельной функцией является либо:

1. неособый LFT,
2. функция, принимающая два различных значения, или
3. константа.

В (а) последовательность сходится всюду в расширенной плоскости. В (б) последовательность сходится либо везде и к одному и тому же значению везде, кроме одной точки, либо сходится только в двух точках. Случай (c) может иметь место при любом возможном наборе сходимости.

Теорема LFT2 — Если { F _n } сходится к LFT, то f _n сходится к тождественной функции f ( z ) = z .

Теорема LFT3 — Если f _n → f и все функции являются гиперболическими или локсодромными преобразованиями Мёбиуса, то F _n ( z ) → λ , константа, для всех ${\textstyle z\neq \beta =\lim _{n\to \infty }\beta _{n}}$, где { β _n } — отталкивающие неподвижные точки { f _n }.

Теорема LFT4 — Если fn _, → f где f — парабола с неподвижной точкой γ . Пусть неподвижными точками { f _n } будут { γ _n } и { β _n }. Если

$$\sum _{n=1}^{\infty }\left|\gamma _{n}-\beta _{n}\right|<\infty \quad {\text{and}}\quad \sum _{n=1}^{\infty }n\left|\beta _{n+1}-\beta _{n}\right|<\infty$$

тогда F _n ( z ) → λ , константа в расширенной комплексной плоскости, для всех z .

Примеры и приложения

Цепные дроби

Значение бесконечной цепной дроби

${\cfrac {a_{1}}{b_{1}+{\cfrac {a_{2}}{b_{2}+\cdots }}}}$

может быть выражено как предел последовательности { F _n (0)}, где

$f_{n}(z)={\frac {a_{n}}{b_{n}+z}}.$

В качестве простого примера можно привести известный результат (Круг Ворпицкого* ) следует из применения теоремы (А):

Рассмотрим непрерывную дробь

${\cfrac {a_{1}\zeta }{1+{\cfrac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}$

с

$f_{n}(z)={\frac {a_{n}\zeta }{1+z}}.$

Условим, что |ζ| < 1 и | г | < R < 1. Тогда при 0 < r < 1

$|a_{n}|<rR(1-R)\Rightarrow \left|f_{n}(z)\right|<rR<R\Rightarrow {\frac {a_{1}\zeta }{1+{\frac {a_{2}\zeta }{1+\cdots }}}}=F(\zeta )$, аналитический для | г | < 1. Установите R = 1/2.

Пример. $F(z)={\frac {(i-1)z}{1+i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(2-i)z}{1+2i+z{\text{ }}+}}{\text{ }}{\frac {(3-i)z}{1+3i+z{\text{ }}+}}\cdots ,$ $[-15,15]$

Пример: Цепная дробь1 — топографическое (модульное) изображение цепной дроби (по одной для каждой точки) на комплексной плоскости. [−15,15]

Пример. ( Форма цепной дроби с фиксированной точкой одна переменная).

$f_{k,n}(z)={\frac {\alpha _{k,n}\beta _{k,n}}{\alpha _{k,n}+\beta _{k,n}-z}},\alpha _{k,n}=\alpha _{k,n}(z),\beta _{k,n}=\beta _{k,n}(z),F_{n}(z)=\left(f_{1,n}\circ \cdots \circ f_{n,n}\right)(z)$

$\alpha _{k,n}=x\cos(ty)+iy\sin(tx),\beta _{k,n}=\cos(ty)+i\sin(tx),t=k/n$

Пример: Брошь «Бесконечная» — топографическое (модули) изображение формы цепной дроби в комплексной плоскости. (6<х<9,6),(4,8<у<8)

Прямое функциональное расширение

Ниже приведены примеры, иллюстрирующие преобразование функции непосредственно в композицию:

Пример 1. Предполагать $\phi$ является целой функцией, удовлетворяющей следующим условиям:

${\begin{cases}\phi (tz)=t\left(\phi (z)+\phi (z)^{2}\right)&|t|>1\\\phi (0)=0\\\phi '(0)=1\end{cases}}$

Затем

$f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{t^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \phi (z)$.

Пример 2.

$f_{n}(z)=z+{\frac {z^{2}}{2^{n}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to {\frac {1}{2}}\left(e^{2z}-1\right)$

Пример 3.

$f_{n}(z)={\frac {z}{1-{\tfrac {z^{2}}{4^{n}}}}}\Longrightarrow F_{n}(z)\to \tan(z)$

Пример 4.

$g_{n}(z)={\frac {2\cdot 4^{n}}{z}}\left({\sqrt {1+{\frac {z^{2}}{4^{n}}}}}-1\right)\Longrightarrow G_{n}(z)\to \arctan(z)$

Расчет фиксированных точек

Теорему (B) можно применять для определения неподвижных точек функций, определяемых бесконечными разложениями или некоторыми интегралами. Следующие примеры иллюстрируют этот процесс:

Пример ФП1. Для | ζ | ≤ 1 легко

$G(\zeta )={\frac {\tfrac {e^{\zeta }}{4}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{8}}{3+\zeta +{\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{12}}{3+\zeta +\cdots }}}}}}$

Чтобы найти α = G (α), сначала определим:

${\begin{aligned}t_{n}(z)&={\cfrac {\tfrac {e^{\zeta }}{4n}}{3+\zeta +z}}\\f_{n}(\zeta )&=t_{1}\circ t_{2}\circ \cdots \circ t_{n}(0)\end{aligned}}$

Затем рассчитайте $G_{n}(\zeta )=f_{n}\circ \cdots \circ f_{1}(\zeta )$ с ζ = 1, что дает: α = 0,087118118... с точностью до десяти десятичных знаков после десяти итераций.

Теорема ФП2 — Пусть φ ( ζ , t ) аналитична в S = { z : | г | < R } для всех t в [0, 1] и непрерывен по t . Набор

$$f_{n}(\zeta )={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\varphi \left(\zeta ,{\tfrac {k}{n}}\right).$$

Если | φ ( ζ , т ) | ≤ r < R для ζ ∈ S и t ∈ [0, 1], то

$$\zeta =\int _{0}^{1}\varphi (\zeta ,t)\,dt$$

имеет единственное решение α в S , причем $\lim _{n\to \infty }G_{n}(\zeta )=\alpha .$

Функции эволюции

Рассмотрим интервал времени, нормированный на I = [0, 1]. ICAF могут быть построены для описания непрерывного движения точки z на интервале, но таким образом, чтобы в каждый «момент» движение было практически нулевым (см. Стрелку Зенона ): Для интервала, разделенного на n равных подинтервалов, 1 ≤ k ≤ n набор $g_{k,n}(z)=z+\varphi _{k,n}(z)$ аналитический или просто непрерывный – в области S такой, что

$\lim _{n\to \infty }\varphi _{k,n}(z)=0$ для всех k и всех z в S ,

и $g_{k,n}(z)\in S$.

Основной пример

Источник:

${\begin{aligned}g_{k,n}(z)&=z+{\frac {1}{n}}\phi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\\G_{k,n}(z)&=\left(g_{k,n}\circ g_{k-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)\\G_{n}(z)&=G_{n,n}(z)\end{aligned}}$

подразумевает

$\lambda _{n}(z)\doteq G_{n}(z)-z={\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi \left(G_{k-1,n}(z){\tfrac {k}{n}}\right)\doteq {\frac {1}{n}}\sum _{k=1}^{n}\psi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\sim \int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt,$

где интеграл корректно определен, если ${\tfrac {dz}{dt}}=\phi (z,t)$ имеет решение в замкнутой форме z ( t ). Затем

$\lambda _{n}(z_{0})\approx \int _{0}^{1}\phi (z(t),t)\,dt.$

В противном случае подынтегральная функция определена плохо, хотя значение интеграла легко вычислить. В этом случае интеграл можно было бы назвать «виртуальным».

Пример. $\phi (z,t)={\frac {2t-\cos y}{1-\sin x\cos y}}+i{\frac {1-2t\sin x}{1-\sin x\cos y}},\int _{0}^{1}\psi (z,t)\,dt$

Пример 1: Виртуальные туннели – топографическое (модульное) изображение виртуальных интегралов (по одному для каждой точки) на комплексной плоскости. [−10,10]

Два контура, текущие к притягивающей фиксированной точке (красный слева). Белый контур ( c = 2) заканчивается, не достигнув фиксированной точки. Второй контур ( c ( n ) = квадратный корень из n ) заканчивается в фиксированной точке. Для обоих контуров n = 10 000

Пример. Позволять:

$g_{n}(z)=z+{\frac {c_{n}}{n}}\phi (z),\quad {\text{with}}\quad f(z)=z+\phi (z).$

Далее установите $T_{1,n}(z)=g_{n}(z),T_{k,n}(z)=g_{n}(T_{k-1,n}(z)),$ и Т _п ( z ) = Т _{п, п} ( z ). Позволять

$T(z)=\lim _{n\to \infty }T_{n}(z)$

когда этот предел существует. Последовательность { ( _{) ,} z ) } определяет контуры γ = γ( cn _Tn , z которые следуют потоку векторного поля f ( z ). Если существует притягивающая неподвижная точка α, то есть | ж ( z ) - α| ≤ ρ| z − α| для 0 ≤ ρ < 1, то T _n ( z ) → T ( z ) ≡ α вдоль γ = γ( c _n , z ), при условии (например) $c_{n}={\sqrt {n}}$. Если cn _Tn ≡ c > 0, то ( _→ z ) T ( z ) , точка на контуре γ = γ( c , z ). Легко видеть, что

$\oint _{\gamma }\phi (\zeta )\,d\zeta =\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\phi ^{2}\left(T_{k-1,n}(z)\right)$

и

$L(\gamma (z))=\lim _{n\to \infty }{\frac {c}{n}}\sum _{k=1}^{n}\left|\phi \left(T_{k-1,n}(z)\right)\right|,$

когда эти пределы существуют.

Эти концепции незначительно связаны с теорией активных контуров при обработке изображений и представляют собой простые обобщения метода Эйлера.

Самовоспроизводящиеся расширения

Серия

Ряды, определенные рекурсивно как f _n ( z ) = z + g _n ( z ), обладают тем свойством, что n-й член основан на сумме первых n - 1 членов. Чтобы использовать теорему (GF3), необходимо показать ограниченность в следующем смысле: если каждая f _n определена для | г | < М тогда | г _п ( z )| < M должно следовать перед | ж _п ( z ) - z | = | г _п ( z )| ≤ Cβ _n определяется для итеративных целей. Это потому, что $g_{n}(G_{n-1}(z))$ происходит на протяжении всего расширения. Ограничение

$|z|<R=M-C\sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}>0$

служит этой цели. Тогда Gn _{) равномерно в} ( z ) → G ( z ограниченной области.

Пример (S1). Набор

$f_{n}(z)=z+{\frac {1}{\rho n^{2}}}{\sqrt {z}},\qquad \rho >{\sqrt {\frac {\pi }{6}}}$

и М = ρ ² . Тогда R = ρ ² − (π/6) > 0. Тогда, если $S=\left\{z:|z|<R,\operatorname {Re} (z)>0\right\}$, z в S подразумевает | г _п ( z )| < M и применима теорема (GF3), так что

${\begin{aligned}G_{n}(z)&=z+g_{1}(z)+g_{2}(G_{1}(z))+g_{3}(G_{2}(z))+\cdots +g_{n}(G_{n-1}(z))\\&=z+{\frac {1}{\rho \cdot 1^{2}}}{\sqrt {z}}+{\frac {1}{\rho \cdot 2^{2}}}{\sqrt {G_{1}(z)}}+{\frac {1}{\rho \cdot 3^{2}}}{\sqrt {G_{2}(z)}}+\cdots +{\frac {1}{\rho \cdot n^{2}}}{\sqrt {G_{n-1}(z)}}\end{aligned}}$

сходится абсолютно, следовательно, сходится.

Пример (S2) : $f_{n}(z)=z+{\frac {1}{n^{2}}}\cdot \varphi (z),\varphi (z)=2\cos(x/y)+i2\sin(x/y),>G_{n}(z)=f_{n}\circ f_{n-1}\circ \cdots \circ f_{1}(z),\qquad [-10,10],n=50$

Пример (S2) — Топографическое (модули) изображение самопорождающегося ряда.

Продукты

Продукт, определенный рекурсивно

$f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z)),\qquad |z|\leqslant M,$

имеет вид

$G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n}\left(1+g_{k}\left(G_{k-1}(z)\right)\right).$

Для применения теоремы GF3 требуется, чтобы:

$\left|zg_{n}(z)\right|\leq C\beta _{n},\qquad \sum _{k=1}^{\infty }\beta _{k}<\infty .$

Еще раз, условие ограниченности должно поддерживать

$\left|G_{n-1}(z)g_{n}(G_{n-1}(z))\right|\leq C\beta _{n}.$

Если известно Cβ _n заранее, достаточно следующего:

$|z|\leqslant R={\frac {M}{P}}\qquad {\text{where}}\quad P=\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+C\beta _{n}\right).$

Тогда Gn _{) равномерно в} ( z ) → G ( z ограниченной области.

Пример (P1). Предполагать $f_{n}(z)=z(1+g_{n}(z))$ с $g_{n}(z)={\tfrac {z^{2}}{n^{3}}},$ наблюдая после нескольких предварительных вычислений, что | г | ≤ 1/4 подразумевает | г _п ( z )| < 0,27. Затем

$\left|G_{n}(z){\frac {G_{n}(z)^{2}}{n^{3}}}\right|<(0.02){\frac {1}{n^{3}}}=C\beta _{n}$

и

$G_{n}(z)=z\prod _{k=1}^{n-1}\left(1+{\frac {G_{k}(z)^{2}}{n^{3}}}\right)$

сходится равномерно.

Пример (P2).

$g_{k,n}(z)=z\left(1+{\frac {1}{n}}\varphi \left(z,{\tfrac {k}{n}}\right)\right),$

$G_{n,n}(z)=\left(g_{n,n}\circ g_{n-1,n}\circ \cdots \circ g_{1,n}\right)(z)=z\prod _{k=1}^{n}(1+P_{k,n}(z)),$

$P_{k,n}(z)={\frac {1}{n}}\varphi \left(G_{k-1,n}(z),{\tfrac {k}{n}}\right),$

$\prod _{k=1}^{n-1}\left(1+P_{k,n}(z)\right)=1+P_{1,n}(z)+P_{2,n}(z)+\cdots +P_{k-1,n}(z)+R_{n}(z)\sim \int _{0}^{1}\pi (z,t)\,dt+1+R_{n}(z),$

$\varphi (z)=x\cos(y)+iy\sin(x),\int _{0}^{1}(z\pi (z,t)-1)\,dt,\qquad [-15,15]:$

Пример (P2): Вселенная Пикассо – производный виртуальный интеграл от самогенерирующегося бесконечного продукта. Нажмите на изображение для увеличения разрешения.

Цепные дроби

Пример (CF1) : Самогенерирующая цепная дробь.

${\begin{aligned}F_{n}(z)&={\frac {\rho (z)}{\delta _{1}+}}{\frac {\rho (F_{1}(z))}{\delta _{2}+}}{\frac {\rho (F_{2}(z))}{\delta _{3}+}}\cdots {\frac {\rho (F_{n-1}(z))}{\delta _{n}}},\\\rho (z)&={\frac {\cos(y)}{\cos(y)+\sin(x)}}+i{\frac {\sin(x)}{\cos(y)+\sin(x)}},\qquad [0<x<20],[0<y<20],\qquad \delta _{k}\equiv 1\end{aligned}}$

Пример CF1: Убывающая доходность – топографическое (модульное) изображение самогенерирующейся цепной дроби.

Пример (CF2) : Лучше всего описывается как самогенерирующая обратная цепная дробь Эйлера .

$G_{n}(z)={\frac {\rho (G_{n-1}(z))}{1+\rho (G_{n-1}(z))-}}\ {\frac {\rho (G_{n-2}(z))}{1+\rho (G_{n-2}(z))-}}\cdots {\frac {\rho (G_{1}(z))}{1+\rho (G_{1}(z))-}}\ {\frac {\rho (z)}{1+\rho (z)-z}},$

$\rho (z)=\rho (x+iy)=x\cos(y)+iy\sin(x),\qquad [-15,15],n=30$

Пример CF2: Мечта о золоте – топографическое (модульное) изображение самогенерирующейся обратной непрерывной дроби Эйлера.

См. также

• Обобщенная непрерывная дробь