Суперфункция

Основная статья: Итерированная функция

Основная статья: Бесконечные композиции аналитических функций

В математике — суперфункция это нестандартное название повторяемой функции для комплексного индекса непрерывной итерации. Грубо говоря, для некоторой функции f и некоторой переменной x суперфункция может быть определена выражением

$S(z;x)=\underbrace {f{\Big (}f{\big (}\dots f(x)\dots {\big )}{\Big )}} _{z{\text{ evaluations of the function}}\,f}.$

Тогда S ( z ; x ) можно интерпретировать как суперфункцию функции f ( x ).Такое определение справедливо только для положительного целого индекса z . Переменная x часто опускается. Во многих исследованиях и во многих приложениях суперфункций используются различные расширения этих суперфункций до комплексных и непрерывных индексов ; и анализ существования, уникальности и их оценка. Функции Аккермана и тетрацию можно интерпретировать в терминах суперфункций.

История

Анализ суперфункций возник в результате применения оценки дробных итераций функций. Суперфункции и их обратные позволяют оценивать не только первую отрицательную степень функции ( обратную функцию ), но также любую реальную и даже сложную итерацию этой функции. Исторически одной из первых рассматриваемых функций такого рода была ${\sqrt {\exp }}$; функция ${\sqrt {\,!\;}}$ затем был использован в качестве логотипа физического факультета МГУ .

В то время у этих исследователей не было вычислительного доступа для оценки таких функций, но функция ${\sqrt {\exp }}$ повезло больше, чем ${\sqrt {\,!\;}}$: по крайней мере, существование голоморфной функции $\varphi$ такой, что $\varphi (\varphi (u))=\exp(u)$ был продемонстрирован в 1950 году Хельмутом Кнезером .

Опираясь на элегантную функциональную теорию сопряжения уравнения Шрёдера , для своего доказательства Кнезер построил «суперфункцию» экспоненциального отображения через соответствующую функцию Абеля. ${\mathcal {X}}$, удовлетворяющее родственному уравнению Абеля

${\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\$

так что ${\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z\$. Обратная функция Кнезер нашла:

$S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u))$

представляет собой целую суперэкспоненту, хотя на действительной оси она недействительна; его нельзя интерпретировать как тетрационный , поскольку условие $S(0;x)=x$ не может быть реализовано для всей суперэкспоненты. Настоящий ​ ${\sqrt {\exp }}$ можно построить с помощью тетрационала (который также является суперэкспонентой); в то время как настоящий ${\sqrt {\,!\;}}$ можно построить с помощью суперфакториала .

Есть книга, посвящённая суперфункциям.

Расширения

Рекуррентную формулу приведенной выше преамбулы можно записать как

$S(z+1;x)=f(S(z;x))~~~~~~~~\forall z\in \mathbb {N} :z>0$

$S(1)=f(x).$

Вместо последнего уравнения можно было бы написать тождественную функцию:

$S(0)=x~,$

и расширим область определения суперфункции S до неотрицательных целых чисел. Тогда можно положить

$S(-1)=f^{-1}(x),$

и расширить диапазон действия до целочисленных значений, больших -2.

Например, следующее расширение:

$S(-2)=f^{-2}(x)$

нетривиально, поскольку обратная функция может оказаться неопределенной для некоторых значений $x$.В частности, тетрацию можно интерпретировать как суперфункцию возведения в степень для некоторого реального основания. $b$; в этом случае,

$f=\exp _{b}.$

Тогда при х = 1

$S(-1)=\log _{b}1=0,$

но

$S(-2)=\log _{b}0$

не определяется.

Для расширения до нецелых значений аргумента суперфункция должна быть определена другим способом.

Для комплексных чисел $a$ и $b$ такой, что $a$ принадлежит некоторому подключенному домену $D\subseteq \mathbb {C}$,суперфункция (от $a$ к $b$) голоморфной функции f в области $D$ являетсяфункция $S$, голоморфный в области $D$, такой, что

$S(z\!+\!1)=f(S(z))~\forall z\in D:z\!+\!1\in D\$

$S(a)=b.\$

Уникальность

В общем случае суперфункция не уникальна.Для заданной базовой функции $f$, из заданного $(a\mapsto d)$ суперфункция $S$, другой $(a\mapsto d)$ суперфункция $G$ может быть построен как

$G(z)=S(z+\mu (z))\$

где $\mu$ — любая 1- периодическая функция, голоморфная хотя бы в некоторой окрестности вещественной оси, такая, что $\mu (a)=0$.

Модифицированная суперфункция может иметь более узкую область голоморфности.Разнообразие возможных суперфункций особенно велико в предельном случае, когда ширина области голоморфности становится равной нулю; в этом случае речь идет о вещественно-аналитических суперфункциях.

Если требуемый диапазон голоморфности достаточно велик, то ожидается, что суперфункция будет уникальной:по крайней мере, в некоторых конкретных базовых функциях $H$. В частности, $(C,0\mapsto 1)$ суперфункция $\exp _{b}$, для $b>1$, называется тетрацией и считается уникальным, по крайней мере, для $C=\{z\in \mathbb {C} ~:~\Re (z)>-2\}$; для дела $b>\exp(1/\mathrm {e} )$, но до 2009 года уникальность была гипотезой , а не теоремой с формальным математическим доказательством .

Примеры

Этот краткий сборник элементарных суперфункций проиллюстрирован на рис. Некоторые суперфункции можно выразить через элементарные функции ;они используются без упоминания о том, что они являются суперфункциями.Например, для передаточной функции «++», что означает приращение единицы,суперфункция — это просто добавление константы.

Добавление

Выберите комплексное число $c$ и определим функцию $\mathrm {add} _{c}$ к $\mathrm {add} _{c}(x)=c+x$ для всех $x\in \mathbb {C}$. Далее определим функцию $\mathrm {mul_{c}}$ к $\mathrm {mul_{c}} (x)=c\cdot x$ для всех $x\in \mathbb {C}$.

Тогда функция $S(z;x)=x+\mathrm {mul_{c}} (z)$ это суперфункция (от 0 до c )функции $\mathrm {add_{c}}$ на С. ​

Умножение

Возведение в степень $\exp _{c}$ является суперфункцией (от 1 до $c$) функции $\mathrm {mul} _{c}$.

Квадратичные полиномы

Примеры, за исключением последнего, приведенного ниже, по сути взяты из новаторской статьи Шредера 1870 года.

Позволять $f(x)=2x^{2}-1$.Затем,

$S(z;x)=\cos(2^{z}\arccos(x))$

это $(\mathbb {C} ,~0\!\rightarrow \!1)$ суперфункция (итерационная орбита) f .

Действительно,

$S(z+1;x)=\cos(2\cdot 2^{z}\arccos(x))=2\cos(2^{z}\arccos(x))^{2}-1=f(S(z;x))\$

и $S(0;x)=x.$

В этом случае суперфункция $S$ является периодическим, с периодом $T={\frac {2\pi }{\ln(2)}}i\approx 9.0647202836543876194\!~i$;а суперфункция приближается к единице в отрицательном направлении на вещественной оси:

$\lim _{z\rightarrow -\infty }S(z)=1.\$

Алгебраическая функция

Сходным образом,

$f(x)=2x{\sqrt {1-x^{2}}}$

имеет итерационную орбиту

$S(z;x)=\sin(2^{z}\arcsin(x)).$

Рациональная функция

В общем, передаточная (ступенчатая) функция f ( x ) не обязательно должна быть целой функцией . Пример, включающий мероморфную функцию f , гласит:

$f(x)={\frac {2x}{1-x^{2}}}~~~~~\forall x\in D$; $~D=\mathbb {C} \setminus \{-1,1\}.$

Его итерационная орбита (суперфункция) равна

$S(z;x)=\tan(2^{z}\arctan(x))$

на C за исключением особенностей функции S. — множество комплексных чисел , Чтобы убедиться в этом, вспомним тригонометрическую формулу двойного угла

$\tan(2\alpha )={\frac {2\tan(\alpha )}{1-\tan(\alpha )^{2}}}~~\forall \alpha \in \mathbb {C} \setminus \{\alpha \in \mathbb {C} :\cos(\alpha )=0{\text{ or }}\sin(\alpha )=\pm \cos(\alpha )\}.$

Возведение в степень

Позволять $b>1$, $f(u)=\exp _{b}(u)$, $C=\{z\in \mathbb {C} :\Re (u)>-2\}$.Тетрация ​ $\mathrm {tet} _{b}$ тогда это $(C,~0\!\rightarrow \!1)$ суперфункция $\exp _{b}$.

Функция Абеля

Основная статья: уравнение Абеля

Обратная суперфункция для подходящего аргумента x может быть интерпретирована как функция Абеля , решение уравнения Абеля ,

${\mathcal {X}}(\exp(u))={\mathcal {X}}(u)+1.\$

и, следовательно,

${\mathcal {X}}(S(z;u))={\mathcal {X}}(u)+z.\$

Обратная функция, если она определена, равна

$S(z;u)={\mathcal {X}}^{-1}(z+{\mathcal {X}}(u)),$

для подходящих доменов и диапазонов, если они существуют. Тогда рекурсивное свойство S становится самоочевидным.

На рисунке слева показан пример перехода от $\exp ^{1}\!=\!\exp$ к $\exp ^{\!-1}\!=\!\ln$.Итерированная функция $\exp ^{z}$ по сравнению с реальным аргументом построен график для $z=2,1,0.9,0.5,0.1,-0.1,-0.5,-0.9,-1,-2$. Тетрационал . и ArcTetrational использовались как суперфункции $S$ и функция Абеля $A$ экспоненты.На рисунке справа показаны эти функции в комплексной плоскости.При неотрицательном целом числе итераций итерированная экспонента представляет собой целую функцию ; при нецелых значениях он имеет две точки ветвления , которые соответствуют фиксированной точке $L$ и $L^{*}$ натурального логарифма . В $z\!\geq \!0$, функция $\exp ^{z}(x)$ остается голоморфным по крайней мере в полосе $|\Im (z)|<\Im (L)\approx 1.3$ вдоль действительной оси.

Приложения суперфункций и функций Абеля.

Суперфункции, обычно суперэкспоненты , предлагаются как быстрорастущая функция длямодернизация представления чисел с плавающей запятой в компьютерах. Такое обновление значительно расширитдиапазон огромных чисел, которые еще отличимы от бесконечности.

Другие приложения включают вычисление дробных итераций (или дробных степеней) функции. Любую голоморфную функцию можно отождествить с передаточной функцией, а затем рассмотреть ее суперфункции и соответствующие функции Абеля.

Нелинейная оптика

При исследовании нелинейного отклика оптических материалов предполагается, что образец должен быть оптически тонким, чтобы интенсивность света не сильно менялась при прохождении через него. Тогда можно рассмотреть, например, поглощение как функцию интенсивности. Однако при небольших изменениях интенсивности в образце точность измерения зависимости поглощения от интенсивности не является хорошей. Восстановление суперфункции по передаточной функции позволяет работать с относительно толстыми образцами, повышая точность измерений. В частности, передаточную функцию аналогичного образца, который наполовину тоньше, можно интерпретировать как квадратный корень (т.е. полуитерацию) из передаточной функции исходного образца.

Аналогичный пример предлагается для нелинейного оптического волокна.

Нелинейная акустика

Возможно, имеет смысл охарактеризовать нелинейности затухания ударных волн в однородной трубе. Это могло бы найти применение в некоторых современных глушителях, использующих нелинейные акустические эффекты для отвода энергии звуковых волн, не нарушая поток газа. Опять же, анализ нелинейного отклика, то есть передаточной функции, можно улучшить с помощью суперфункции.

Испарение и конденсация

При анализе конденсации можно рассматривать рост (или испарение) небольшой капли жидкости.когда он диффундирует вниз через трубку с некоторой однородной концентрацией пара.В первом приближении при фиксированной концентрации парамассу капли на выходе можно интерпретировать как передаточную функцию входной массы.Квадратный корень из этой передаточной функции будет характеризовать трубку половинной длины.

Снежная лавина

Массу снежка, катящегося с холма, можно рассматривать как функцию уже пройденного пути. При фиксированной длине этого пути(которая может быть определена по высоте холма) эту массу можно рассматривать также как передаточную функцию входной массы. Массу снежка можно было измерить на вершине холма и внизу, что дает передаточную функцию; тогда масса снежка как функция длины, которую он прошел, является суперфункцией.

Операционный элемент

Если необходимо построить оперативный элемент с некоторой заданной передаточной функцией $H$,и хочет реализовать это как последовательное соединение пары одинаковых рабочих элементов, то каждый из этих двух элементов должен иметь передаточную функцию $h={\sqrt {H}}$. Такую функцию можно вычислить через суперфункцию и функцию Абеля передаточной функции. $H$.

Операционный элемент может иметь любое происхождение: он может быть реализован в виде электронной микросхемы,или механическая пара криволинейных зерен, или какая-нибудь асимметричная U-образная трубка, наполненная разными жидкостями, и так далее.

Ссылки

Эта статья включает в себя материал из статьи Citizendium « Суперфункция », которая распространяется по лицензии Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported , но не по GFDL .

Внешние ссылки

• Superfunction - TORI - Mizugadro, the research site by Dmitrii Kouznetsov