Полуэкспоненциальная функция

В математике полуэкспоненциальная функция представляет собой функциональный квадратный корень из показательной функции . То есть функция $f$ такой, что $f$ составленный сам с собой, приводит к показательной функции: ^[1]^[2]

f{\bigl (}f(x){\bigr )}=ab^{x},

для некоторых констант

a

и

b

.

Невозможность формулы в закрытой форме [ править ]

Если функция $f$ определяется с использованием стандартных арифметических операций, экспонент, логарифмов и вещественных констант, тогда $f{\bigl (}f(x){\bigr )}$ является либо субэкспоненциальным, либо суперэкспоненциальным. ^[3] Таким образом, Харди $L$ -функция не может быть полуэкспоненциальной.

Строительство [ править ]

Любую показательную функцию можно записать в виде самокомпозиции $f(f(x))$ для бесконечного множества возможных вариантов $f$ . В частности, для каждого $A$ в открытом интервале $(0,1)$ и для каждой непрерывной строго возрастающей функции $g$ от $[0,A]$ на $[A,1]$ , существует продолжение этой функции до непрерывной строго возрастающей функции $f$ на действительных числах таких, что $f{\bigl (}f(x){\bigr )}=\exp x$ . ^[4] Функция $f$ является единственным решением функционального уравнения

f(x)={\begin{cases}g(x)&{\mbox{if }}x\in [0,A],\\\exp g^{-1}(x)&{\mbox{if }}x\in (A,1],\\\exp f(\ln x)&{\mbox{if }}x\in (1,\infty ),\\\ln f(\exp x)&{\mbox{if }}x\in (-\infty ,0).\\\end{cases}}

Простой пример, который приводит к $f$ иметь всюду непрерывную первую производную, значит взять $A={\tfrac {1}{2}}$ и $g(x)=x+{\tfrac {1}{2}}$ , давая

f(x)={\begin{cases}\log _{e}\left(e^{x}+{\tfrac {1}{2}}\right)&{\mbox{if }}x\leq -\log _{e}2,\\e^{x}-{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}{-\log _{e}2}\leq x\leq 0,\\x+{\tfrac {1}{2}}&{\mbox{if }}0\leq x\leq {\tfrac {1}{2}},\\e^{x-1/2}&{\mbox{if }}{\tfrac {1}{2}}\leq x\leq 1,\\x{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}1\leq x\leq {\sqrt {e}},\\e^{x/{\sqrt {e}}}&{\mbox{if }}{\sqrt {e}}\leq x\leq e,\\x^{\sqrt {e}}&{\mbox{if }}e\leq x\leq e^{\sqrt {e}},\\e^{x^{1/{\sqrt {e}}}}&{\mbox{if }}e^{\sqrt {e}}\leq x\leq e^{e},\ldots \\\end{cases}}

Приложение [ править ]

Полуэкспоненциальные функции используются в теории сложности вычислений для скорости роста, «промежуточной» между полиномиальной и экспоненциальной. ^[2] Функция $f$ растет по крайней мере так же быстро, как некоторая полуэкспоненциальная функция (ее композиция с самой собой растет экспоненциально), если она не убывает и $f^{-1}(x^{C})=o(\log x)$ , для каждого $C>0$ . ^[5]

См. также [ править ]

Итерированная функция — результат многократного применения математической функции.
Уравнение Шредера - Уравнение неподвижной точки функциональной композиции
Уравнение Абеля – уравнение для функции, которая вычисляет повторяющиеся значения.

Ссылки [ править ]

^ Кнезер, Х. (1950). «Вещественные аналитические решения уравнения $φ (φ (x) = e х$ и родственные им функциональные уравнения» . Журнал чистой и прикладной математики . 187 : 56–67. doi : 10.1515/crll.1950.187.56 . MR 0035385 .
^ Jump up to: ^а ^б Милтерсен, Питер Бро; Винодчандран, Невада; Ватанабэ, Осаму (1999). «Суперполиномиальный размер схемы по сравнению с полуэкспоненциальным в экспоненциальной иерархии». В Асано, Такао; Имаи, Хироши; Ли, DT; Накано, Синъити; Токуяма, Такеши (ред.). Вычисления и комбинаторика, 5-я ежегодная международная конференция, COCOON '99, Токио, Япония, 26–28 июля 1999 г., Материалы . Конспекты лекций по информатике. Том. 1627. Спрингер. стр. 210–220. дои : 10.1007/3-540-48686-0_21 . ISBN 978-3-540-66200-6 . МР 1730337 .
^ ван дер Хувен, Дж. (2006). Транссерии и действительная дифференциальная алгебра . Конспект лекций по математике. Том. 1888. Шпрингер-Верлаг, Берлин. дои : 10.1007/3-540-35590-1 . ISBN 978-3-540-35590-8 . МР 2262194 . См. упражнение 4.10, с. 91, согласно которому каждая такая функция имеет скорость роста, сравнимую со скоростью роста экспоненциальной или логарифмической функции, повторяемой целое число раз, а не полуцелое число , которое требовалось бы для полуэкспоненциальной функции.
^ Кроун, Лоуренс Дж.; Нойендорфер, Артур К. (1988). «Функциональные полномочия вблизи фиксированной точки». Журнал математического анализа и приложений . 132 (2): 520–529. дои : 10.1016/0022-247X(88)90080-7 . МР 0943525 .
^ Разборов Александр Александрович ; Рудич, Стивен (1997). «Естественные доказательства» . Журнал компьютерных и системных наук . 55 (1): 24–35. дои : 10.1006/jcss.1997.1494 . МР 1473047 .

Внешние ссылки [ править ]

[sqrtexp-1] Кнезер, Х. (1950). «Вещественные аналитические решения уравнения $φ (φ (x) = e х$ и родственные им функциональные уравнения» . Журнал чистой и прикладной математики . 187 : 56–67. doi : 10.1515/crll.1950.187.56 . MR 0035385 .

[miltersen-2] Jump up to: ^а ^б Милтерсен, Питер Бро; Винодчандран, Невада; Ватанабэ, Осаму (1999). «Суперполиномиальный размер схемы по сравнению с полуэкспоненциальным в экспоненциальной иерархии». В Асано, Такао; Имаи, Хироши; Ли, DT; Накано, Синъити; Токуяма, Такеши (ред.). Вычисления и комбинаторика, 5-я ежегодная международная конференция, COCOON '99, Токио, Япония, 26–28 июля 1999 г., Материалы . Конспекты лекций по информатике. Том. 1627. Спрингер. стр. 210–220. дои : 10.1007/3-540-48686-0_21 . ISBN 978-3-540-66200-6 . МР 1730337 .

[transseries-3] ван дер Хувен, Дж. (2006). Транссерии и действительная дифференциальная алгебра . Конспект лекций по математике. Том. 1888. Шпрингер-Верлаг, Берлин. дои : 10.1007/3-540-35590-1 . ISBN 978-3-540-35590-8 . МР 2262194 . См. упражнение 4.10, с. 91, согласно которому каждая такая функция имеет скорость роста, сравнимую со скоростью роста экспоненциальной или логарифмической функции, повторяемой целое число раз, а не полуцелое число , которое требовалось бы для полуэкспоненциальной функции.

[croneu-4] Кроун, Лоуренс Дж.; Нойендорфер, Артур К. (1988). «Функциональные полномочия вблизи фиксированной точки». Журнал математического анализа и приложений . 132 (2): 520–529. дои : 10.1016/0022-247X(88)90080-7 . МР 0943525 .

[razrud-5] Разборов Александр Александрович ; Рудич, Стивен (1997). «Естественные доказательства» . Журнал компьютерных и системных наук . 55 (1): 24–35. дои : 10.1006/jcss.1997.1494 . МР 1473047 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]