Метод фиктивной области

В математике метод фиктивной области — это метод поиска решения уравнений в частных производных в сложной области. $D$, подставив заданную задачуразмещен на домене $D$, с новой задачей, поставленной в простой области $\Omega$ содержащий $D$.

Общая формулировка

Предположим, в какой-то области $D\subset \mathbb {R} ^{n}$ мы хотим найти решение $u(x)$ уравнения ​ :

$Lu=-\phi (x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in D$

с граничными условиями :

$lu=g(x),x\in \partial D$

Основная идея метода фиктивных областей заключается в замене заданной задачиразмещен на домене $D$, с новой задачей, поставленной в области простой формы $\Omega$ содержащий $D$ ( $D\subset \Omega$). Например, мы можем выбрать n -мерный параллелоэдр как $\Omega$.

Проблема в расширенном домене $\Omega$ за новое решение $u_{\epsilon }(x)$:

$L_{\epsilon }u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),x=(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})\in \Omega$

$l_{\epsilon }u_{\epsilon }=g^{\epsilon }(x),x\in \partial \Omega$

Необходимо поставить задачу в расширенной области так, чтобы выполнялось следующее условие:

$u_{\epsilon }(x){\xrightarrow[{\epsilon \rightarrow 0}]{}}u(x),x\in D$

Простой пример, одномерная задача

${\frac {d^{2}u}{dx^{2}}}=-2,\quad 0<x<1\quad (1)$

$u(0)=0,u(1)=0$

Продолжение старшими коэффициентами

$u_{\epsilon }(x)$ решение проблемы:

${\frac {d}{dx}}k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}=-\phi ^{\epsilon }(x),0<x<2\quad (2)$

Разрывной коэффициент $k^{\epsilon }(x)$ и правую часть уравнения предыдущего уравнения получаем из выражений:

$k^{\epsilon }(x)={\begin{cases}1,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2\end{cases}}$

$\phi ^{\epsilon }(x)={\begin{cases}2,&0<x<1\\2c_{0},&1<x<2\end{cases}}\quad (3)$

Граничные условия:

$u_{\epsilon }(0)=0,u_{\epsilon }(2)=0$

Условия подключения в точке $x=1$:

$[u_{\epsilon }]=0,\ \left[k^{\epsilon }(x){\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0$

где $[\cdot ]$ означает:

$[p(x)]=p(x+0)-p(x-0)$

Уравнение (1) имеет аналитическое решение , поэтому легко получить погрешность:

$u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ^{2}),\quad 0<x<1$

Продолжение коэффициентами младшего порядка

$u_{\epsilon }(x)$ решение проблемы:

${\frac {d^{2}u_{\epsilon }}{dx^{2}}}-c^{\epsilon }(x)u_{\epsilon }=-\phi ^{\epsilon }(x),\quad 0<x<2\quad (4)$

Где $\phi ^{\epsilon }(x)$ возьмем то же, что и в (3), и выражение для $c^{\epsilon }(x)$

$c^{\epsilon }(x)={\begin{cases}0,&0<x<1\\{\frac {1}{\epsilon ^{2}}},&1<x<2.\end{cases}}$

Граничные условия для уравнения (4) такие же, как для (2).

Условия подключения в точке $x=1$:

$[u_{\epsilon }(0)]=0,\ \left[{\frac {du_{\epsilon }}{dx}}\right]=0$

Ошибка:

$u(x)-u_{\epsilon }(x)=O(\epsilon ),\quad 0<x<1$

Литература

• P.N. Vabishchevich, The Method of Fictitious Domains in Problems of Mathematical Physics, Izdatelstvo Moskovskogo Universiteta, Moskva, 1991.
• Смагулов С. Метод фиктивных областей для уравнения Навье–Стокса, Препринт ВЦ СА СССР, 68, 1979.
• Бугров А.Н., Смагулов С.М. Метод фиктивных областей для уравнения Навье–Стокса, Математическая модель течения жидкости, Новосибирск, 1978, с. 79–90