Остаток (численный анализ)

Чтобы узнать о других значениях, см. «Остаток» .

Грубо говоря, остаток — это ошибка в результате. Точнее, предположим, что мы хотим найти x такой, что

$f(x)=b.$

Учитывая приближение x ₀ от x , остаток равен

$b-f(x_{0})$

то есть «то, что осталось от правой части» после вычитания f ( x ₀ )» (отсюда и название «остаток»: то, что осталось, остальное). С другой стороны, ошибка

$x-x_{0}$

Если точное значение x неизвестно, остаток можно вычислить, а ошибку — нет.

Остаток аппроксимации функции

Аналогичная терминология используется применительно к дифференциальным , интегральным и функциональным уравнениям . Для приближения $f_{\text{a}}$ решения $f$ уравнения

$T(f)(x)=g(x)\,,$

остаток может быть либо функцией

$~g(x)~-~T(f_{\text{a}})(x)$,

или можно сказать, что это максимум нормы этой разницы

$\max _{x\in {\mathcal {X}}}|g(x)-T(f_{\text{a}})(x)|$

по домену ${\mathcal {X}}$, где функция $f_{\text{a}}$ ожидается, что оно будет аппроксимировать решение $f$,

или некоторый интеграл от функции разности, например:

$\int _{\mathcal {X}}|g(x)-T(f_{\text{a}})(x)|^{2}~\mathrm {d} x.$

Во многих случаях малость невязки означает, что приближение близко к решению, т. е.

$\left|{\frac {f_{\text{a}}(x)-f(x)}{f(x)}}\right|\ll 1.$

В этих случаях исходное уравнение считается корректным ; а невязку можно рассматривать как меру отклонения приближения от точного решения.

Использование остатков

Если точное решение неизвестно, можно искать приближение с малой невязкой.

Остатки появляются во многих областях математики, включая итеративные решатели , такие как обобщенный метод минимальной невязки , который ищет решения уравнений путем систематической минимизации невязки.