Анализ характеристического режима

Характеристические моды (ХМ) образуют набор функций, которые при определенных граничных условиях диагонализуют оператор, связывающий поле и индуцированные источники . При определенных условиях набор КМ уникален и полон (по крайней мере теоретически) и тем самым способен полностью описать поведение изучаемого объекта.

Эта статья посвящена разложению характеристических мод в электромагнетике , области, в которой первоначально была предложена теория CM.

Фон

Разложение СМ изначально было введено как набор мод, диагонализирующих матрицу рассеяния. Впоследствии эта теория была обобщена Харрингтоном и Маутцем для антенн. Харрингтон, Маутц и их ученики также последовательно разработали несколько других расширений теории. Хотя некоторые предшественники были опубликованы еще в конце 1940-х годов, весь потенциал КМ оставался непризнанным еще 40 лет. Возможности CM были пересмотрены в 2007 году, и с тех пор интерес к CM резко возрос. Последующий бум теории КМ отражается в количестве выдающихся публикаций и приложений.

Определение

только исходная форма КМ, сформулированная для с идеальной электропроводностью тел (PEC) в свободном пространстве Для простоты в этой статье будет рассматриваться . Электромагнитные величины будут представлены исключительно в виде изображений Фурье в частотной области . датчик Лоренца Используется .

Пример рассеивателя $\Omega$ состоит из идеального электрического проводника.

Рассеяние электромагнитной волны на теле ФЭП представляется через граничное условие на теле ФЭП, а именно

${\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }=-{\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} },$

с ${\boldsymbol {\hat {n}}}$ представляющий унитарную нормаль к поверхности ФЭК, ${\boldsymbol {E}}^{\mathrm {i} }$ представляющее интенсивность падающего электрического поля, и ${\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }$ представляющая напряженность рассеянного электрического поля, определяемую как

${\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }=-\mathrm {j} \omega {\boldsymbol {A}}-\nabla \varphi ,$

с $\mathrm {j}$ будучи мнимой единицей , $\omega$ угловая частота , ${\boldsymbol {A}}$ векторный потенциал

${\boldsymbol {A}}\left({\boldsymbol {r}}\right)=\mu _{0}\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,$

$\mu _{0}$ будучи вакуумной проницаемостью , $\varphi$ скалярный потенциал

$\varphi \left({\boldsymbol {r}}\right)=-{\frac {1}{\mathrm {j} \omega \epsilon _{0}}}\int \limits _{\Omega }\nabla \cdot {\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}'\right)G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)\,\mathrm {d} S,$

$\epsilon _{0}$ будучи вакуумной диэлектрической проницаемостью , $G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)$ скалярная функция Грина

$G\left({\boldsymbol {r}},{\boldsymbol {r}}'\right)={\frac {\mathrm {e} ^{-\mathrm {j} k\left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}{4\pi \left|{\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {r}}'\right|}}$

и $k$ являющийся волновым числом . Интегро-дифференциальный оператор ${\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right)$ – это тот, который подлежит диагонализации посредством характеристических мод.

Основное уравнение разложения CM:

${\mathcal {X}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)=\lambda _{n}{\mathcal {R}}\left({\boldsymbol {J}}_{n}\right)\qquad \mathrm {(1)}$

с ${\mathcal {R}}$ и ${\mathcal {X}}$ действительная и мнимая части оператора импеданса соответственно: ${\mathcal {Z}}(\cdot )={\mathcal {R}}(\cdot )+\mathrm {j} {\mathcal {X}}(\cdot )\,.$ Оператор, ${\mathcal {Z}}$ определяется

${\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {J}}\right)={\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {\hat {n}}}\times {\boldsymbol {E}}^{\mathrm {s} }\left({\boldsymbol {J}}\right).\qquad \mathrm {(2)}$

Результатом (1) является набор характеристических режимов $\left\{{\boldsymbol {J}}_{n}\right\}$, $n\in \left\{1,2,\dots \right\}$, сопровождаемый соответствующими характеристическими числами $\left\{\lambda _{n}\right\}$. Ясно, что (1) представляет собой обобщенную задачу на собственные значения , которая, однако, не может быть решена аналитически (за исключением нескольких канонических тел ). Поэтому обычно используется численное решение, описанное в следующем параграфе.

Формулировка матрицы

Дискретизация ${\mathcal {D}}$ тела рассеивателя $\Omega$ в $M$ субдомены как $\Omega ^{M}={\mathcal {D}}\left(\Omega \right)$ и используя набор линейно независимых кусочно-непрерывных функций $\left\{{\boldsymbol {\psi }}_{n}\right\}$, $n\in \left\{1,\dots ,N\right\}$, допускает плотность тока ${\boldsymbol {J}}$ быть представленным как

Пример треугольной (Делоне) дискретизации рассеивателя $\Omega ^{M}$.

${\boldsymbol {J}}\left({\boldsymbol {r}}\right)\approx \sum \limits _{n=1}^{N}I_{n}{\boldsymbol {\psi }}_{n}\left({\boldsymbol {r}}\right)$

и применяя метод Галеркина , оператор импеданса (2)

$\mathbf {Z} =\mathbf {R} +\mathrm {j} \mathbf {X} =\left[Z_{uv}\right]=\left[\,\int \limits _{\Omega }{\boldsymbol {\psi }}_{u}^{\ast }\cdot {\mathcal {Z}}\left({\boldsymbol {\psi }}_{v}\right)\,\mathrm {d} S\right].$

Затем задача на собственные значения (1) преобразуется в матричную форму

$\mathbf {X} \mathbf {I} _{n}=\lambda _{n}\mathbf {R} \mathbf {I} _{n},$

который можно легко решить, используя, например, обобщенное разложение Шура или неявно перезапущенный метод Арнольди, дающий конечный набор коэффициентов разложения $\left\{\mathbf {I} _{n}\right\}$ и соответствующие характеристические числа $\left\{\lambda _{n}\right\}$. Свойства разложения CM исследованы ниже.

Первый (доминирующий) характерный модус формы. $\Omega ^{M}$.

Второй характерный режим формы $\Omega ^{M}$.

Характеристики

Свойства разложения КМ продемонстрированы в его матричной форме.

Сначала напомним, что билинейные формы

$P_{\mathrm {r} }\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} \geq 0$

и

$2\omega \left(W_{\mathrm {m} }-W_{\mathrm {e} }\right)\approx {\frac {1}{2}}\mathbf {I} ^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} ,$

где верхний индекс $^{\mathrm {H} }$ обозначает эрмитово транспонирование и где $\mathbf {I}$ представляет собой произвольное распределение поверхностного тока, соответствует излучаемой мощности и полезной реактивной мощности, соответственно. Затем можно легко выделить следующие свойства:

• Весовая матрица $\mathbf {R}$ теоретически положительно определен и $\mathbf {X}$ является неопределенным. Фактор Рэлея

$\lambda _{n}\approx {\frac {\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {X} \mathbf {I} _{n}}{\mathbf {I} _{n}^{\mathrm {H} }\mathbf {R} \mathbf {I} _{n}}}$

затем диапазон охватывает $-\infty \leq \lambda _{n}\leq \infty$ и указывает, является ли характерный режим емкостным ( $\lambda _{n}<0$), индуктивный ( $\lambda _{n}>0$), или в резонансе ( $\lambda _{n}=0$). В действительности коэффициент Рэлея ограничен численной динамикой используемой точности машины , а количество правильно найденных режимов ограничено.

• Характеристические числа изменяются с частотой, т. е. $\lambda _{n}=\lambda _{n}\left(\omega \right)$, они могут пересекаться, а могут быть одинаковыми (в случае вырождений ). По этой причине для получения плавных кривых часто применяется отслеживание мод. $\lambda _{n}\left(\omega \right)$. К сожалению, этот процесс частично эвристический и алгоритмы отслеживания еще далеки от совершенства.
• Характеристические моды могут быть выбраны как вещественные функции, $\mathbf {I} _{n}\in \mathbb {R} ^{N\times 1}$. Другими словами, характеристические моды образуют совокупность равнофазных токов.
• Разложение СМ инвариантно относительно амплитуды характеристических мод. Этот факт используется для нормализации тока так, чтобы они излучали единичную излучаемую мощность.

${\frac {1}{2}}\mathbf {I} _{m}^{\mathrm {H} }\mathbf {Z} \mathbf {I} _{n}\approx \left(1+\mathrm {j} \lambda _{n}\right)\delta _{mn}.$

Это последнее соотношение демонстрирует способность характеристических мод диагонализировать оператор импеданса (2) и демонстрирует ортогональность в дальнем поле , т. е.

${\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\varepsilon _{0}}{\mu _{0}}}}\int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }{\boldsymbol {F}}_{m}^{\ast }\cdot {\boldsymbol {F}}_{n}\sin \vartheta \,\mathrm {d} \vartheta \,\mathrm {d} \varphi =\delta _{mn}.$

Модальные величины

Модальные токи можно использовать для оценки параметров антенны в их модальной форме, например:

• модальное дальнее поле ${\boldsymbol {F}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)$ ( ${\boldsymbol {\hat {e}}}$ — поляризация , ${\boldsymbol {\hat {r}}}$ - направление),
• модальная направленность ${\boldsymbol {D}}_{n}\left({\boldsymbol {\hat {e}}},{\boldsymbol {\hat {r}}}\right)$,
• модальная эффективность излучения $\eta _{n}$,
• модальная добротность $Q_{n}$,
• модальный импеданс $Z_{n}$.

Эти величины можно использовать для анализа, синтеза питания, оптимизации формы излучателя или определения характеристик антенны.

Приложения и дальнейшее развитие

Число потенциальных приложений огромно и продолжает расти:

• антенный анализ и синтез,
• конструкция антенн MIMO ,
• компактная конструкция антенны ( RFID , Wi-Fi ),
• антенны БПЛА ,
• избирательное возбуждение шасси и платформ,
• уменьшение порядка модели,
• увеличение пропускной способности,
• нанотрубки и метаматериалы,
• валидация кодов вычислительной электромагнетики.

В число перспективных тем входят

• электрически большие структуры, рассчитанные с помощью MLFMA,
• диэлектрики,
• использование интегрального уравнения комбинированного поля,
• периодические структуры,
• формулировка для массивов.

Программное обеспечение

Разложение КМ в последнее время реализовано в крупных электромагнитных симуляторах, а именно в FEKO, ЦСТ-МВС, и ВИПЛ-Д. Другие пакеты скоро будут поддерживать его, например HFSS. и CEM One. Кроме того, существует множество собственных и академических пакетов, которые способны оценивать CM и многие связанные с ним параметры.

Альтернативные базы

CM полезны для лучшего понимания работы радиатора. Они с большим успехом использовались для многих практических целей. Однако важно подчеркнуть, что они не идеальны и часто лучше использовать другие формулировки, такие как энергетические режимы, режимы излучения, режимы накопленной энергии или режимы эффективности излучения.