Метод Треффца
В математике метод Треффца — метод численного решения уравнений в частных производных, названный в честь немецкого математика Эриха Треффца . ( из ) (1888–1937). Он относится к классу методов конечных элементов .
Введение
[ редактировать ]Гибридный метод конечных элементов Треффца значительно продвинулся с момента его введения Й. Йироушеком в конце 1970-х годов. [1] Традиционный метод анализа методом конечных элементов включает преобразование дифференциального уравнения , которое определяет задачу, в вариационный функционал , из которого можно найти узловые свойства элемента, известные как переменные поля. Эту проблему можно решить, подставив приближенные решения в дифференциальное уравнение и создав матрицу жесткости конечных элементов , которая объединяется со всеми элементами континуума для получения глобальной матрицы жесткости. [2] Применение соответствующих граничных условий к этой глобальной матрице и последующее решение переменных поля завершают математический процесс, после которого численные вычисления можно использовать для решения реальных инженерных задач. [1] [3]
Важный аспект решения функционала требует от нас нахождения решений, удовлетворяющих заданным граничным условиям и удовлетворяющих межэлементной непрерывности , поскольку мы независимо определяем свойства в каждой области элементов . [1]
Гибридный метод Треффца отличается от традиционного метода конечных элементов предполагаемыми полями перемещений и формулировкой вариационного функционала. В отличие от традиционного метода (основанного на математическом методе Рэлея-Ритца), метод Треффца (основанный на математическом методе Треффца) предполагает, что поле смещений состоит из двух независимых компонентов; поле внутриэлементного смещения, которое удовлетворяет основному дифференциальному уравнению и используется для аппроксимации изменения потенциала внутри области элемента, и соответствующее поле кадра, которое конкретно удовлетворяет условию непрерывности между элементами, определенному на границе элемента. Поле кадра здесь такое же, как и в традиционном методе конечных элементов, но определяется строго на границе элемента – отсюда и использование термина «гибрид» в номенклатуре метода. Таким образом, вариационный функционал должен включать дополнительные члены для учета граничных условий, поскольку предполагаемое поле решений удовлетворяет только основному дифференциальному уравнению. [1] [3]
Преимущества перед традиционным методом конечных элементов
[ редактировать ]Основными преимуществами гибридного метода Треффца по сравнению с традиционным методом являются:
- формулировка требует интегрирования только по границам элемента, что позволяет использовать криволинейные или полиномиальные формы для границ элемента,
- представлены основы расширения для элементов, которые не удовлетворяют межэлементной непрерывности, посредством вариационного функционала, и
- Этот метод позволяет создавать единичные или перфорированные элементы трещин за счет использования функций локализованного решения в качестве пробных функций . [1] [3]
Приложения
[ редактировать ]Этот модифицированный метод конечных элементов становится все более популярным в таких приложениях, как упругость , пластины Кирхгофа, толстые пластины, общая механика трехмерного твердого тела, антисимметричная механика твердого тела, потенциальные проблемы , оболочки, задачи упругости, геометрически нелинейный изгиб пластин и анализ нестационарной теплопроводности. среди различных других. [1] [3] В настоящее время он применяется для создания устойчивых, нетурбулентных, несжимаемых ньютоновских потоков жидкости в рамках продолжающихся исследований на факультете инженерии и информационных технологий (FEIT) Австралийского национального университета (ANU) в Канберре, Австралия. Гибридный метод Треффца также применяется в некоторых областях, например, в компьютерном моделировании гидратированных мягких тканей или водонасыщенных пористых сред, в рамках текущего исследовательского проекта в Техническом университете Лиссабона , Instituto Superior Técnico в Португалии.
Примечания
[ редактировать ]Ссылки
[ редактировать ]- Цинь, QH (2000), Метод конечных и граничных элементов Треффца , Саутгемптон, Англия: WIT Press, стр. 1–55.
- Коннор, Джей-Джей; Бреббиа, Калифорния (1976), Методы конечных элементов для потока жидкости (3-е изд.), Бристоль, Англия: Ньюнс-Баттервортс
- Цинь, QH (2004), «Формулировка гибридного метода конечных элементов Треффца для определения упругопластичности», Applied Mathematical Modeling , 29 (2): 235–252, doi : 10.1016/j.apm.2004.09.004