Метод граничных частиц

В прикладной математике метод граничных частиц (BPM) только с границами представляет собой бессеточный (бессеточный) метод коллокации в том смысле, что ни один из внутренних узлов не требуется при численном решении неоднородных уравнений в частных производных . Численные эксперименты показывают, что BPM обладает спектральной сходимостью . Его интерполяционная матрица может быть симметричной.

История и последние события

В последние десятилетия метод двойной взаимности (DRM) ^[1] и метод множественной взаимности (MRM) ^[2] Появляются многообещающие методы оценки частного решения неоднородных уравнений в частных производных в сочетании с методами граничной дискретизации, такими как метод граничных элементов (МГЭ). Например, так называемые DR-BEM и MR-BEM являются популярными методами BEM при численном решении неоднородных задач.

DRM стал распространенным методом оценки конкретного решения. Однако DRM требует наличия внутренних узлов, чтобы гарантировать сходимость и стабильность. MRM имеет преимущество перед DRM в том, что он не требует использования внутренних узлов для решения неоднородных задач. ^{[ нужна ссылка ]} По сравнению с DRM, MRM требует больше вычислительных затрат при построении интерполяционных матриц и имеет ограниченную применимость к общим неоднородным задачам из-за традиционного использования операторов Лапласа высокого порядка в процессе аннигиляции.

Рекурсивный составной метод множественной взаимности (RC-MRM), ^[3]^[4] было предложено преодолеть вышеуказанные проблемы. Ключевая идея RC-MRM заключается в использовании составных дифференциальных операторов высокого порядка вместо операторов Лапласа высокого порядка для устранения ряда неоднородных членов в основном уравнении. RC-MRM использует рекурсивные структуры матрицы интерполяции MRM для снижения вычислительных затрат.

Метод граничных частиц (BPM) представляет собой дискретизацию неоднородного уравнения в частных производных только на границе путем объединения RC-MRM со схемами бессеточной граничной коллокации в сильной форме, такими как метод фундаментального решения (MFS), метод граничных узлов ( БКМ), регуляризованный бессеточный метод (РММ), метод сингулярных границ (SBM) и метод Треффца (TM). BPM применялся к таким проблемам, как неоднородное уравнение Гельмгольца и уравнение конвекции-диффузии . Интерполяционное представление BPM представляет собой серию вейвлетов .

Для применения BPM к Гельмгольцу, ^[3] Пуассон ^[4] и с изгибом пластин , проблемы ^[5] высокого порядка фундаментальное решение или общее решение, гармоническая функция ^[6] или функция Треффца (T-полные функции) ^[7] часто используются, например, уравнения Бергера , Винклера и уравнения колебаний тонкой пластины. ^[8] Метод применен к обратной задаче Коши, связанной с Пуассоном. ^[9] и неоднородные уравнения Гельмгольца. ^[10]

Дальнейшие комментарии

BPM может столкнуться с трудностями при решении задач, имеющих сложные исходные функции, такие как негладкие функции с большим градиентом или набор дискретных измеренных данных. Решение подобных проблем предполагает: ^{[ нужна ссылка ]}

(1) Комплексные функции или набор дискретных измеренных данных могут быть интерполированы суммой полиномиальных или тригонометрических функциональных рядов. Затем RC-MRM может свести неоднородное уравнение к однородному уравнению высокого порядка, а BPM можно реализовать для решения этих проблем с дискретизацией только по границам.

(2) Декомпозиция области может использоваться только для граничного решения BPM задач с функциями источника с большим градиентом.

См. также

Ссылки

^ Партридж П.В., Бреббиа К.А., Вробель Л.К., Метод граничных элементов с двойной взаимностью . Публикации по вычислительной механике, 1992 г.
^ Новак А.Дж., Невес AC, Метод граничных элементов множественной взаимности . Публикация по вычислительной механике, 1994 г.
^ Jump up to: ^а ^б Чен В., «Метод частиц с бессеточной границей, примененный к задачам Гельмгольца». Инженерный анализ с граничными элементами 2002, 26 (7): 577–581.
^ Jump up to: ^а ^б Чен В., Фу З.Дж., Джин Б.Т., «Поистине бессеточный метод решения неоднородных задач, основанный только на границах и основанный на рекурсивном сложном методе множественной взаимности». Инженерный анализ с граничными элементами 2010,34(3): 196–205.
^ Фу З.Дж., Чен В., Ян В., Проблемы изгиба пластин Винклера с помощью метода граничных частиц, использующего только границы. Вычислительная механика 2009, 44 (6): 757–563.
^ Hon YC, Wu ZM, «Численные расчеты для обратной задачи определения границ» Инженерный анализ с граничными элементами 2000, 24 (7–8): 599–606
^ Чен В., Фу ZJ, Цинь QH, «Метод граничных частиц с функциями Треффца высокого порядка». CMC: Компьютеры, материалы и Continua 2010, 13 (3): 201–217.
^ Чен В., Шен З.Дж., Шен Л.Дж., Юань Г.В., «Общие решения и фундаментальные решения различного порядка для вибрационных тонких пластин, пластин Бергера и Винклера» Инженерный анализ с граничными элементами 2005, 29 (7): 699–702
^ Фу З.Дж., Чен В., Чжан К.З., «Метод граничных частиц для решения неоднородных потенциальных задач Коши». Обратные задачи в науке и технике 2012, 20 (2): 189–207.
^ Чен В., Фу З.Дж., "Метод граничных частиц для обратных задач Коши неоднородных уравнений Гельмгольца". Журнал морской науки и технологий – Тайвань, 2009, 17 (3): 157–163.

Внешние ссылки