Регуляризованный бессеточный метод

В числовой математике регуляризованный бессеточный метод (RMM) , также известный как сингулярный бессеточный метод или десингуляризованный бессеточный метод , представляет собой бессеточный метод граничной коллокации, предназначенный для решения определенных уравнений в частных производных которых , фундаментальное решение явно известно. RMM — это метод коллокации строгой формы , достоинствами которого являются отсутствие сетки, отсутствие интеграции, простота реализации и высокая стабильность. До сих пор этот метод успешно применялся к некоторым типичным задачам, таким как потенциал, акустика, волнение на воде и обратные задачи ограниченных и неограниченных областей.

Описание

РММ использует потенциалы двойного слоя из теории потенциалов в качестве базисных/ядерных функций. Подобно методу фундаментальных решений (МФС), ^[1]^[2] численное решение аппроксимируется линейной комбинацией ядерных функций двойного слоя относительно различных точек источника. Однако, в отличие от MFS, точки коллокации и источника RMM совпадают и располагаются на физической границе без необходимости использования фиктивной границы в MFS. Таким образом, RMM преодолевает основное узкое место в приложениях MFS для решения реальных проблем.

При совпадении точек коллокации и источника функции ядра двойного слоя будут представлять различные порядки сингулярности. Таким образом, метод регуляризации вычитания и сложения ^[3] вводится и, следовательно, устраняет или уничтожает такие особенности.

История и новейшее развитие

В настоящее время метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (FDM), метод конечных объемов (FVM) и метод граничных элементов (МГЭ) являются доминирующими численными методами численного моделирования во многих областях техники и науки. Создание сетки — это утомительная и даже очень сложная задача при решении многомерных движущихся или граничных задач сложной формы, а также дорогостоящая с точки зрения вычислений и часто математически трудная задача.

Уже давно утверждается, что БЭМ устраняет такие недостатки благодаря дискретизации только границ и его полуаналитическому характеру. Несмотря на эти достоинства, БЭМ, однако, включает в себя довольно сложную математику и некоторые сложные сингулярные интегралы. Более того, построение сетки поверхностей в трехмерной области остается нетривиальной задачей. За последние десятилетия значительные усилия были направлены на облегчение или устранение этих трудностей, что привело к разработке бессеточных/бессеточных методов коллокации границ, которые не требуют ни доменной, ни граничной сетки. Среди этих методов MFS является наиболее популярным благодаря простоте программирования, математической простоте, высокой точности и быстрой сходимости.

В МФС необходима фиктивная граница вне проблемной области, чтобы избежать сингулярности фундаментального решения. Однако определение оптимального положения фиктивной границы представляет собой нетривиальную задачу, требующую изучения. С тех пор были предприняты значительные усилия, чтобы решить эту давнюю запутанную проблему. Последние достижения включают, например, метод граничных узлов (БКМ), ^[4]^[5] регуляризованный бессеточный метод (РММ), ^[3] модифицированная МФС (ММФС), ^[6] и метод сингулярной границы (SBM) ^[7]

Методология RMM была впервые предложена Янгом и его сотрудниками в 2005 году. Основная идея состоит в том, чтобы ввести метод регуляризации с вычитанием и добавлением для устранения сингулярности функции ядра двойного слоя в начале координат, чтобы исходные точки могли располагаться непосредственно на реальной границе. До сих пор РММ успешно применялась для решения множества физических задач, таких как потенциал, ^[3] внешняя акустика ^[8] антиплоское пьезоэлектричество, ^[9] акустическая собственная задача с многосвязной областью, ^[10] обратная задача, ^[11] уравнение возможности ^[12] и проблемы с водными волнами. ^[13] Кроме того, были созданы некоторые улучшенные формулировки с целью дальнейшего улучшения осуществимости и эффективности этого метода, см., например, взвешенный RMM для задач нерегулярной области. ^[14] и аналитическая РММ для двумерных задач Лапласа. ^[15]

См. также

Ссылки

^ AKG Fairweather, Метод фундаментальных решений эллиптических краевых задач, Достижения в области вычислительной математики . 9 (1998) 69–95.
^ М. А. Гольберг, К. С. Чен, Теория радиальных базисных функций, примененная к БЭМ для неоднородных уравнений в частных производных, Связь с граничными элементами . 5 (1994) 57–61.
^ Jump up to: ^а ^б ^с Д.Л. Янг, К.Х. Чен, К.В. Ли. Новый бессеточный метод решения потенциальных задач с произвольными областями. Журнал вычислительной физики , 2005 г.; 209 (1): 290–321.
^ В. Чен и М. Танака, « Техника RBF без сетки, экспоненциальной сходимости, без интеграции и только с границами. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine », Компьютеры и математика с приложениями , 43, 379–391, 2002.
^ В. Чен и Ю. К. Хон, « Численная сходимость метода граничных узлов в анализе задач Гельмгольца, модифицированных Гельмгольца и задач конвекции-диффузии. Архивировано 20 июня 2015 г. в Wayback Machine », Компьютерные методы в прикладной механике и инженерии , 192. , 1859–1875, 2003.
^ Б. Сарлер, «Решение потенциальных задач потока модифицированным методом фундаментальных решений: формулировки с однослойными и двухслойными фундаментальными решениями», Eng Anal Bound Elem 2009;33(12): 1374–82.
^ В. Чен, Ф. З. Ван, « Метод фундаментальных решений без фиктивных границ. Архивировано 6 июня 2015 г. в Wayback Machine », Eng Anal Bound Elem 2010; 34 (5): 530–32.
^ DL Young, KH Chen, CW Lee. Сингулярный бессеточный метод с использованием потенциалов двойного слоя для внешней акустики. Журнал Акустического общества Америки 2006; 119 (1): 96–107.
^ К. Х. Чен, Дж. Х. Као, Дж. Т. Чен. Регуляризованный бессеточный метод решения антиплоских задач пьезоэлектричества с множественными включениями. Компьютеры, материалы и континуа 2009;9(3):253–79.
^ К. Х. Чен, Дж. Т. Чен, Дж. Х. Као. Регуляризованный бессеточный метод решения собственной акустической задачи с многосвязной областью. Компьютерное моделирование в технике и науках 2006;16(1):27–39.
^ К. Х. Чен, Дж. Х. Као, Дж. Т. Чен, К. Л. Ву. Десингуляризованный бессеточный метод решения уравнения Лапласа с переопределенными граничными условиями с использованием методов регуляризации. Вычислительная механика 2009;43:827–37.
^ В. Чен, Дж. Линь, Ф. З. Ван, « Регуляризованный бессеточный метод для неоднородных задач. Архивировано 6 июня 2015 г. в Wayback Machine », англ. Анальный. Граница. Элем. 35 (2011) 253–257.
^ К. Х. Чен, М. К. Лу, Х. М. Сюй, Анализ регуляризованного бессеточного метода проблемы наклонно падающей водяной волны, англ. Анальный. Граница. Элем . 35 (2011) 355–362.
^ RC Song, W. Chen, « Исследование регуляризованного бессеточного метода для задач нерегулярных областей », CMES-Comput. Модель. англ. Наука . 42 (2009) 59–70.
^ В. Чен, Р. К. Сонг, Аналитические диагональные элементы регуляризованного бессеточного метода для регулярных областей двумерных задач Дирихле Лапласа, англ. Анальный. Граница. Элем. 34 (2010) 2–8.

[1] AKG Fairweather, Метод фундаментальных решений эллиптических краевых задач, Достижения в области вычислительной математики . 9 (1998) 69–95.

[2] М. А. Гольберг, К. С. Чен, Теория радиальных базисных функций, примененная к БЭМ для неоднородных уравнений в частных производных, Связь с граничными элементами . 5 (1994) 57–61.

[RMM-3] Jump up to: ^а ^б ^с Д.Л. Янг, К.Х. Чен, К.В. Ли. Новый бессеточный метод решения потенциальных задач с произвольными областями. Журнал вычислительной физики , 2005 г.; 209 (1): 290–321.

[4] В. Чен и М. Танака, « Техника RBF без сетки, экспоненциальной сходимости, без интеграции и только с границами. Архивировано 4 марта 2016 г. в Wayback Machine », Компьютеры и математика с приложениями , 43, 379–391, 2002.

[5] В. Чен и Ю. К. Хон, « Численная сходимость метода граничных узлов в анализе задач Гельмгольца, модифицированных Гельмгольца и задач конвекции-диффузии. Архивировано 20 июня 2015 г. в Wayback Machine », Компьютерные методы в прикладной механике и инженерии , 192. , 1859–1875, 2003.

[6] Б. Сарлер, «Решение потенциальных задач потока модифицированным методом фундаментальных решений: формулировки с однослойными и двухслойными фундаментальными решениями», Eng Anal Bound Elem 2009;33(12): 1374–82.

[7] В. Чен, Ф. З. Ван, « Метод фундаментальных решений без фиктивных границ. Архивировано 6 июня 2015 г. в Wayback Machine », Eng Anal Bound Elem 2010; 34 (5): 530–32.

[8] DL Young, KH Chen, CW Lee. Сингулярный бессеточный метод с использованием потенциалов двойного слоя для внешней акустики. Журнал Акустического общества Америки 2006; 119 (1): 96–107.

[9] К. Х. Чен, Дж. Х. Као, Дж. Т. Чен. Регуляризованный бессеточный метод решения антиплоских задач пьезоэлектричества с множественными включениями. Компьютеры, материалы и континуа 2009;9(3):253–79.

[10] К. Х. Чен, Дж. Т. Чен, Дж. Х. Као. Регуляризованный бессеточный метод решения собственной акустической задачи с многосвязной областью. Компьютерное моделирование в технике и науках 2006;16(1):27–39.

[11] К. Х. Чен, Дж. Х. Као, Дж. Т. Чен, К. Л. Ву. Десингуляризованный бессеточный метод решения уравнения Лапласа с переопределенными граничными условиями с использованием методов регуляризации. Вычислительная механика 2009;43:827–37.

[12] В. Чен, Дж. Линь, Ф. З. Ван, « Регуляризованный бессеточный метод для неоднородных задач. Архивировано 6 июня 2015 г. в Wayback Machine », англ. Анальный. Граница. Элем. 35 (2011) 253–257.

[13] К. Х. Чен, М. К. Лу, Х. М. Сюй, Анализ регуляризованного бессеточного метода проблемы наклонно падающей водяной волны, англ. Анальный. Граница. Элем . 35 (2011) 355–362.

[14] RC Song, W. Chen, « Исследование регуляризованного бессеточного метода для задач нерегулярных областей », CMES-Comput. Модель. англ. Наука . 42 (2009) 59–70.

[15] В. Чен, Р. К. Сонг, Аналитические диагональные элементы регуляризованного бессеточного метода для регулярных областей двумерных задач Дирихле Лапласа, англ. Анальный. Граница. Элем. 34 (2010) 2–8.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]