Граничные условия Неймана

В математике Неймана Карла (или второго типа ) граничное условие — это тип граничного условия , названный в честь Неймана . При наложении на обыкновенное уравнение или уравнение в частных производных условие определяет значения производной , на границе области применяемой .

Можно описать задачу, используя другие граничные условия: граничное условие Дирихле задает значения самого решения (в отличие от его производной) на границе, тогда как граничные условия Коши , смешанные граничные условия и граничные условия Робена различны. виды комбинаций граничных условий Неймана и Дирихле.

Примеры

ODE

Например, для обыкновенного дифференциального уравнения:

$y''+y=0,$

граничные условия Неймана на отрезке [ a , b ] принимают вид

$y'(a)=\alpha ,\quad y'(b)=\beta ,$

где α и β — заданные числа.

ПДЭ

Например, для уравнения в частных производных

$\nabla ^{2}y+y=0,$

где ∇ ² обозначает оператор Лапласа , граничные условия Неймана в области Ω ⊂ R ^н принять форму

${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )\quad \forall \mathbf {x} \in \partial \Omega ,$

где n обозначает (обычно внешнюю) нормаль к границе ∂Ω , а f — заданная скалярная функция .

Нормальная производная , которая отображается слева, определяется как

${\frac {\partial y}{\partial \mathbf {n} }}(\mathbf {x} )=\nabla y(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {\hat {n}} (\mathbf {x} ),$

где ∇ y ( x ) представляет собой градиента вектор y ( x ) , n̂ — единичная нормаль, а ⋅ представляет собой оператор внутреннего произведения .

Становится ясно, что граница должна быть достаточно гладкой, чтобы могла существовать нормальная производная, поскольку, например, в угловых точках границы вектор нормали не определен четко.

Приложения

Следующие приложения включают использование граничных условий Неймана:

• В термодинамике заданный тепловой поток от поверхности будет служить граничным условием. Например, идеальный изолятор не будет иметь магнитного потока, в то время как электрический компонент может рассеивать энергию с известной мощностью.
• В магнитостатике напряженность магнитного поля может быть задана как граничное условие, чтобы найти распределение плотности магнитного потока в массиве магнитов в пространстве, например, в двигателе с постоянными магнитами. Поскольку задачи магнитостатики включают решение уравнения Лапласа или уравнения Пуассона для магнитного скалярного потенциала , граничное условие является условием Неймана.
• В пространственной экологии граничные условия Неймана в системе реакция-диффузия , такие как уравнение Фишера , можно интерпретировать как отражающую границу, так что все люди, сталкивающиеся с ∂Ω, отражаются обратно на Ω .

См. также

• Граничные условия в гидродинамике
• Граничное условие Дирихле
• Граничные условия Робина