Смешанное граничное условие

В математике смешанное граничное условие для уравнения в частных производных определяет краевую задачу , в которой решение данного уравнения должно удовлетворять различным граничным условиям на непересекающихся частях границы области , в которой сформулировано условие. А именно, в смешанной краевой задаче требуется, чтобы решение удовлетворяло Дирихле или краевым условиям Неймана взаимоисключающим образом на непересекающихся участках границы.

Например, для данного решения $u$ уравнения в частных производных в области $Ω$ с границей $\partialΩ$ говорят, что оно удовлетворяет смешанному граничному условию, если, состоящее из $\partialΩ$ из двух непересекающихся частей, $Γ 1$ и $Γ 2$ , такой что $\partialΩ = Γ 1 \cup С 2$ , $вы$ проверяете следующие уравнения:

\left.u\right|_{\Gamma _{1}}=u_{0}

и

\left.{\frac {\partial u}{\partial n}}\right|_{\Gamma _{2}}=g,

где $ты 0$ и $g$ — заданные функции, определенные на этих участках границы. ^[1]

Смешанное граничное условие отличается от граничного условия Робина тем, что последнее требует линейной комбинации , возможно, с поточечно переменными коэффициентами, граничных условий Дирихле и Неймана, которые должны выполняться на всей границе данной области.

Историческая справка

Г-н Виртингер в частной беседе обратил мое внимание на следующую задачу: определение функции $u,$ проверяющей уравнение Лапласа в некоторой области ( $D$ ) , заданной на части ( $S$ ) границы значений периферии запрашиваемого функции, а на оставшейся части ( $S'$ ) границы рассматриваемой области - производной, следующей по нормали . Предлагаю обнародовать весьма общее решение этой интересной проблемы. ^[2]
— Станислав Заремба , ( Заремба 1910 , §1, с. 313).

Первую краевую задачу, удовлетворяющую смешанному краевому условию, решила Станислав Заремба для уравнения Лапласа : по его словам, именно Вильгельм Виртингер предложил ему изучить эту задачу. ^[3]

См. также

Примечания

^ Очевидно, совсем не обязательно требовать $от вас 0$ и $g$ являются функциями: они могут быть распределениями или любыми другими обобщенными функциями .
^ (английский перевод) «Г-н Виртингер во время частной беседы привлек мое внимание к следующей проблеме: определить одну функцию $u,$ удовлетворяющую уравнению Лапласа в определенной заданной области ( $D$ ) , на части ( $S$ ) ее границе, периферийных значениях искомой функции, а на оставшейся части ( $S'$ ) рассматриваемой области - ее производной по нормали . Я стремлюсь дать известное очень общее решение этой интересной проблемы».
^ See ( Zaremba 1910 , §1, p. 313).

Ссылки

Фичера, Гаэтано (1949), «Экзистенциальный анализ решений смешанных краевых задач, относящихся к уравнению и системам уравнений второго порядка эллиптического типа, самосопряженных» , Annali della Scuola Normale Superiore , Серия III (в Итальянский), 1 (1947) (1–4): 75–100, MR 0035370 , Zbl 0035.18603 . В статье « Экзистенциальный анализ решений смешанных краевых задач, связанных с эллиптическим уравнением второго порядка и системами самосопряженных уравнений » (английский перевод названия) Гаэтано Фичера дает первые доказательства существования и теорем единственности для смешанных краевых задач. Краевая задача с общим самосопряженным эллиптическим оператором второго порядка в достаточно общих областях .
Гуру, Бхаг С.; Хызыроглу, Хусейн Р. (2004), Основы теории электромагнитного поля (2-е изд.), Кембридж, Великобритания – Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета , стр. 593, ISBN 0-521-83016-8 .
Миранда, Карло (1955), Equazioni alle derivate parziali di typo ellittico , Результаты математики и ее границ - Новая серия (на итальянском языке), том. Выпуск 2 (1-е изд.), Берлин – Геттинген – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. VIII+222, MR 0087853 , Zbl 0065.08503 .
Миранда, Карло (1970) [1955], Уравнения в частных производных эллиптического типа , Результаты математики и ее границы - 2 серии, том. Том 2 (2-е исправленное издание), Берлин – Гейдельберг – Нью-Йорк: Springer Verlag , стр. XII+370, ISBN 978-3-540-04804-6 , MR 0284700 , Zbl 0198.14101 , перевод с итальянского Зейна К. Моттелера.
Заремба, С. (1910), «Об одной смешанной задаче, связанной с уравнением Лапласа», Международный бюллетень Краковской академии наук. Класс математических и естественных наук , Серия А: Математические науки (на французском языке): 313–344, JFM 41.0854.12 , переводится на русский язык как Zaremba, S. (1946), Об одной смешанной задаче, относящейся к уравнению Лапласа , Uspekhi Matematicheskikh Nauk (in Russian), 1 (3-4(13-14)): 125–146, MR 0025032 , Zbl 0061.23010 .

Эта математическому анализу, статья, посвященная незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее .

[1] Очевидно, совсем не обязательно требовать $от вас 0$ и $g$ являются функциями: они могут быть распределениями или любыми другими обобщенными функциями .

[2] (английский перевод) «Г-н Виртингер во время частной беседы привлек мое внимание к следующей проблеме: определить одну функцию $u,$ удовлетворяющую уравнению Лапласа в определенной заданной области ( $D$ ) , на части ( $S$ ) ее границе, периферийных значениях искомой функции, а на оставшейся части ( $S'$ ) рассматриваемой области - ее производной по нормали . Я стремлюсь дать известное очень общее решение этой интересной проблемы».

[3] See ( Zaremba 1910 , §1, p. 313).

[1]

[2]

[3]