Теорема Аткинсона

В теории операторов теорема Аткинсона (названная в честь Фредерика Валентина Аткинсона ) дает характеристику операторов Фредгольма .

Теорема

Пусть H — гильбертово пространство и L ( H множество ограниченных операторов в H. ) — Ниже приводится классическое определение оператора Фредгольма : оператор T ∈ L ( H ) называется оператором Фредгольма, если ядро ​​Ker( T ) конечномерно, Ker( T* ) конечномерно (где T * обозначает сопряженный к T ), а диапазон Ran( T ) замкнут.

Теорема Аткинсона гласит:

A T ∈ L ( H ) является фредгольмовым оператором тогда и только тогда, когда T является обратимым по модулю компактным возмущением, т.е. TS = I + C ₁ и ST = I + C ₂ для некоторого ограниченного оператора S и компактных операторов C ₁ и C ₂ .

Другими словами, оператор T ∈ L ( H ) является фредгольмовым в классическом смысле тогда и только тогда, когда его проекция в алгебре Калкина обратима.

Эскиз доказательства

Схема доказательства такова. Для импликации ⇒ выразите H как ортогональную прямую сумму

$H=\operatorname {Ker} (T)^{\perp }\oplus \operatorname {Ker} (T).$

Ограничение T : Ker( T ) ^⊥ → Ran( T ) является биекцией и, следовательно, обратимой по теореме об открытом отображении . Расширьте это обратное на 0 на Ran( T ) ^⊥ = Ker( T* ) оператору S, определенному на всем H . Тогда I − TS — проектор конечного ранга на Ker( T* ), а I — ST — проектор на Ker( T ). Это доказывает единственную часть теоремы.

Обратно, предположим теперь, что I + C2 для некоторого ₌ компактного оператора C2 _. ST Если x ∈ Ker( T ), то STx = x + C ₂ x = 0. Таким образом, Ker( T ) содержится в собственном пространстве C ₂ , которое конечномерно (см. спектральную теорию компактных операторов ). Следовательно, Ker( T ) также конечномерна. Тот же аргумент показывает, что Ker( T* ) также конечномерен.

Чтобы доказать замкнутость Ran( T ), мы воспользуемся свойством аппроксимации : пусть F — оператор конечного ранга такой, что || F − С ₂ || < р . Тогда для каждого x в Ker( F )

|| С ||⋅|| Передача || ≥ || STx || = || х + С ₂ х || = || х + Fx + C ₂ x − Fx || ≥ ||х|| − || С ₂ − F ||⋅||x|| ≥ (1 - р )|| х ||.

Таким образом, T ограничено снизу на Ker( F ), откуда следует, что T (Ker( F )) замкнуто. С другой стороны, T (Ker( F ) ^⊥ ) конечномерна, поскольку Ker( F ) ^⊥ = Ran( F* ) конечномерна. Следовательно, Ran( T ) = T (Ker( F )) + T (Ker( F ) ^⊥ ) замкнуто, и это доказывает теорему.

Более полная трактовка теоремы Аткинсона содержится в ссылке Арвесона: она показывает, что если B — банахово пространство, то оператор является фредгольмовым тогда и только тогда, когда он обратим по модулю оператора конечного ранга (и что последний эквивалентен тому, что он обратим по модулю компакта). оператор, что важно ввиду примера Энфло сепарабельного рефлексивного банахова пространства с компактными операторами, которые не являются нормальными пределами операторов конечного ранга). Для банаховых пространств оператор Фредгольма — это оператор с конечномерным ядром и диапазоном конечной коразмерности (что эквивалентно тому, что ядро ​​его сопряженного оператора конечномерно). Обратите внимание, что гипотеза о замкнутости Ran( T ) является избыточной, поскольку пространство конечной коразмерности, которое также является областью видимости ограниченного оператора, всегда замкнуто (см. ссылку на Арвесона ниже); это следствие теоремы об открытом отображении (и оно неверно, если пространство не является областью действия ограниченного оператора, например ядра разрывного линейного функционала).

Ссылки

• Аткинсон, Ф.В. (1951). «Нормальная разрешимость линейных уравнений в нормированных пространствах». Мат. Сб . 28 (70): 3–14. Збл   0042.12001 .
• Арвесон, Уильям Б., Краткий курс спектральной теории, Тексты для выпускников Springer по математике, том 209, 2002 г., ISBN   0387953000