Двустороннее преобразование Лапласа

В математике или двустороннее преобразование Лапласа двустороннее преобразование Лапласа является интегральным преобразованием, эквивалентным вероятности момент функции, порождающей . Двусторонние преобразования Лапласа тесно связаны с преобразованием Фурье , преобразованием Меллина , Z-преобразованием и обычным или односторонним преобразованием Лапласа . Если f ( t ) — действительная или комплексная функция действительной переменной t, определенная для всех действительных чисел, то двустороннее преобразование Лапласа определяется интегралом

${\mathcal {B}}\{f\}(s)=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

Под интегралом чаще всего понимают несобственный интеграл , который сходится тогда и только тогда, когда оба интеграла

$\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt,\quad \int _{-\infty }^{0}e^{-st}f(t)\,dt$

существовать. Кажется, не существует общепринятого обозначения двустороннего преобразования; тот ${\mathcal {B}}$ использованное здесь напоминает слово «двусторонний». Двустороннее преобразованиенекоторые авторы используют

${\mathcal {T}}\{f\}(s)=s{\mathcal {B}}\{f\}(s)=sF(s)=s\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.$

В чистой математике аргументом t может быть любая переменная, а преобразования Лапласа используются для изучения того, как дифференциальные операторы преобразуют функцию.

В научных и инженерных приложениях аргумент t часто представляет время (в секундах), а функция f ( t ) часто представляет сигнал или форму волны, которая меняется со временем. В этих случаях сигналы преобразуются фильтрами , работающими как математический оператор, но с ограничением. Они должны быть причинными, что означает, что результат в данный момент времени t не может зависеть от результата, который имеет более высокое значение t .В популяционной экологии аргумент t часто представляет собой пространственное смещение в ядре расселения.

При работе с функциями времени f ( t ) называется во временной области представлением сигнала , а F ( s ) называется представлением s-области (или области Лапласа ). Тогда обратное преобразование представляет собой синтез сигнала как суммы его частотных компонентов, взятых по всем частотам, тогда как прямое преобразование представляет собой анализ сигнала на его частотные компоненты.

Связь с преобразованием Фурье

Преобразование Фурье можно определить с помощью двустороннего преобразования Лапласа:

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )=F(\omega ).$

Обратите внимание, что определения преобразования Фурье различаются, в частности

${\mathcal {F}}\{f(t)\}=F(s=i\omega )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}{\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)$

вместо этого часто используется. Используя преобразование Фурье, мы также можем получить двустороннее преобразование Лапласа, как

${\mathcal {B}}\{f(t)\}(s)={\mathcal {F}}\{f(t)\}(-is).$

Преобразование Фурье обычно определяется так, что оно существует для действительных значений; приведенное выше определение определяет изображение в полосе $a<\Im (s)<b$ которая может не включать действительную ось, к которой должно сходиться преобразование Фурье.

Именно поэтому преобразования Лапласа сохраняют свою ценность в теории управления и обработке сигналов: сходимость интеграла преобразования Фурье в его области определения означает только то, что линейная, инвариантная к сдвигу система, описываемая им, стабильна или критична. С другой стороны, уравнение Лапласа где-то сходится для каждой импульсной характеристики, которая растет не более чем экспоненциально, потому что она включает дополнительный член, который можно рассматривать как экспоненциальный регулятор. Поскольку не существует суперэкспоненциально растущих линейных сетей обратной связи, анализ и решение линейных, инвариантных к сдвигу систем на основе преобразования Лапласа принимает наиболее общую форму в контексте преобразований Лапласа, а не преобразований Фурье.

В то же время в настоящее время теория преобразований Лапласа попадает в сферу более общих интегральных преобразований или даже общего гармонического анализа . В этой структуре и номенклатуре преобразования Лапласа являются просто еще одной формой анализа Фурье, даже если оглядываться назад и быть более общими.

Связь с другими интегральными преобразованиями

Если u — ступенчатая функция Хевисайда , равная нулю, когда ее аргумент меньше нуля, половине, когда ее аргумент равен нулю, и единице, когда ее аргумент больше нуля, то преобразование Лапласа ${\mathcal {L}}$ может быть определен в терминах двустороннего преобразования Лапласа формулой

${\mathcal {L}}\{f\}={\mathcal {B}}\{fu\}.$

С другой стороны, у нас также есть

${\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {L}}\{f\}+{\mathcal {L}}\{f\circ m\}\circ m,$

где $m:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ это функция, которая умножается на минус один ( $m(x)=-x$), поэтому любая версия преобразования Лапласа может быть определена через другую.

Преобразование Меллина можно определить в терминах двустороннего преобразования Лапласа следующим образом:

${\mathcal {M}}\{f\}={\mathcal {B}}\{f\circ {\exp }\circ m\},$

с $m$ как указано выше, и наоборот, мы можем получить двустороннее преобразование из преобразования Меллина с помощью

${\mathcal {B}}\{f\}={\mathcal {M}}\{f\circ m\circ \log \}.$

непрерывной Создающая момент функция функции плотности вероятности ƒ ( x ) может быть выражена как ${\mathcal {B}}\{f\}(-s)$.

Характеристики

Следующие объекты можно найти в работах Брейсуэлл (2000) и Оппенгейм и Уиллски (1997).

Свойства двустороннего преобразования Лапласа

Свойство	Временной интервал	s домен	Полоса схождения	Комментарий
Определение	$f(t)$	$F(s)={\mathcal {B}}\{f\}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }f(t)\,e^{-st}\,dt$	$\alpha <\Re s<\beta$
Масштабирование времени	$f(at)$	${\frac {1}{|a|}}F\left({s \over a}\right)$	$\alpha <a^{-1}\,\Re s<\beta$	$a\in \mathbb {R}$
Разворот	$f(-t)$	$F(-s)$	$-\beta <\Re s<-\alpha$
Производная в частотной области	$tf(t)$	$-F'(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
Общая производная в частотной области	$t^{n}f(t)$	$(-1)^{n}\,F^{(n)}(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
Производная	$f'(t)$	$sF(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
Общая производная	$f^{(n)}(t)$	$s^{n}\,F(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$
Интеграция в частотной области	${\frac {1}{t}}\,f(t)$	$\int _{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma$		справедливо только в том случае, если интеграл существует
Интеграл во временной области	$\int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau$	${1 \over s}F(s)$	$\max(\alpha ,0)<\Re s<\beta$
Интеграл во временной области	$\int _{t}^{\infty }f(\tau )\,d\tau$	${1 \over s}F(s)$	$\alpha <\Re s<\min(\beta ,0)$
Сдвиг частоты	$e^{at}\,f(t)$	$F(s-a)$	$\alpha +\Re a<\Re s<\beta +\Re a$
Сдвиг времени	$f(t-a)$	$e^{-as}\,F(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$	$a\in \mathbb {R}$
Модуляция	$\cos(at)\,f(t)$	${\tfrac {1}{2}}F(s-ia)+{\tfrac {1}{2}}F(s+ia)$	$\alpha <\Re s<\beta$	$a\in \mathbb {R}$
Конечная разница	$f(t+{\tfrac {1}{2}}a)-f(t-{\tfrac {1}{2}}a)$	$2\sinh({\tfrac {1}{2}}as)\,F(s)$	$\alpha <\Re s<\beta$	$a\in \mathbb {R}$
Умножение	$f(t)\,g(t)$	${\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \$	$\alpha _{f}+\alpha _{g}<\Re s<\beta _{f}+\beta _{g}$	$\alpha _{f}<c<\beta _{f}$. Интегрирование производится по вертикали Re( σ ) = c внутри области сходимости.
Комплексное сопряжение	${\overline {f(t)}}$	${\overline {F({\overline {s}})}}$	$\alpha <\Re s<\beta$
Свертка	$(f*g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau$	$F(s)\cdot G(s)\$	$\max(\alpha _{f},\alpha _{g})<\Re s<\min(\beta _{f},\beta _{g})$
Взаимная корреляция	$(f\star g)(t)=\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f(\tau )}}\,g(t+\tau )\,d\tau$	${\overline {F(-{\overline {s}})}}\cdot G(s)$	$\max(-\beta _{f},\alpha _{g})<\Re s<\min(-\alpha _{f},\beta _{g})$

Большинство свойств двустороннего преобразования Лапласа очень похожи на свойства одностороннего преобразования Лапласа.но есть несколько важных отличий:

Свойства одностороннего преобразования и свойства двустороннего преобразования

	односторонний временной интервал	двусторонняя временная область	односторонний домен	двусторонний домен
Дифференциация	$f'(t)\$	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
второго порядка Дифференциация	$f''(t)\$	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(s)\$
Свертка	$\int _{0}^{t}f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau \$	$\int _{-\infty }^{\infty }f(\tau )\,g(t-\tau )\,d\tau \$	$F(s)\cdot G(s)\$	$F(s)\cdot G(s)\$

Теорема Парсеваля и теорема Планшереля.

Позволять $f_{1}(t)$ и $f_{2}(t)$ быть функциями с двусторонними преобразованиями Лапласа $F_{1}(s)$ и $F_{2}(s)$ в полосах схождения $\alpha _{1,2}<\Re s<\beta _{1,2}$. Позволять $c\in \mathbb {R}$ с $\max(-\beta _{1},\alpha _{2})<c<\min(-\alpha _{1},\beta _{2})$.Тогда справедлива теорема Парсеваля :

$\int _{-\infty }^{\infty }{\overline {f_{1}(t)}}\,f_{2}(t)\,dt={\frac {1}{2\pi i}}\int _{c-i\infty }^{c+i\infty }{\overline {F_{1}(-{\overline {s}})}}\,F_{2}(s)\,ds$

Эта теорема доказывается применением обратного преобразования Лапласа к теореме о свертке в форме взаимной корреляции.

Позволять $f(t)$ быть функцией с двусторонним преобразованием Лапласа $F(s)$в полосе схождения $\alpha <\Re s<\beta$.Позволять $c\in \mathbb {R}$ с $\alpha <c<\beta$.Тогда справедлива теорема Планшереля :

$\int _{-\infty }^{\infty }e^{-2c\,t}\,|f(t)|^{2}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }|F(c+ir)|^{2}\,dr$

Уникальность

Для любых двух функций ${\textstyle f,g}$ для которого двустороннее преобразование Лапласа ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\},{\mathcal {T}}\{g\}}$ существовать, если ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}={\mathcal {T}}\{g\},}$ т.е. ${\textstyle {\mathcal {T}}\{f\}(s)={\mathcal {T}}\{g\}(s)}$ для каждого значения ${\textstyle s\in \mathbb {R} ,}$ затем ${\textstyle f=g}$ почти везде .

Область конвергенции

Требования к двустороннему преобразованию для сходимости более сложны, чем для одностороннего преобразования. Область конвергенции обычно будет меньше.

Если f — локально интегрируемая функция (или, в более общем смысле, борелевская мера локально ограниченной вариации), то преобразование Лапласа F ( s ) функции f сходится при условии, что предел

$\lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt$

существует. Преобразование Лапласа сходится абсолютно, если интеграл

$\int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt$

существует (как собственный интеграл Лебега ). Преобразование Лапласа обычно понимают как условно сходящееся, то есть оно сходится в первом, а не во втором смысле.

Набор значений, для которых F ( s ) сходится абсолютно, имеет либо форму Re( s ) > a , либо Re( s ) ≥ a , где a — расширенная действительная константа , −∞ ≤ a ≤ ∞. (Это следует из теоремы о доминируемой сходимости .) Константа a известна как абсцисса абсолютной сходимости и зависит от характера роста f ( t ). Аналогично двустороннее преобразование абсолютно сходится в полосе вида a < Re( s ) < b и, возможно, включая прямые Re( s ) = a или Re( s ) = b . Подмножество значений s , для которых преобразование Лапласа сходится абсолютно, называется областью абсолютной сходимости или областью абсолютной сходимости. В двустороннем случае ее иногда называют полосой абсолютной сходимости. Преобразование Лапласа аналитично в области абсолютной сходимости.

Аналогично, набор значений, для которых F ( s ) сходится (условно или абсолютно), известен как область условной сходимости или просто область сходимости (ROC). Если преобразование Лапласа сходится (условно) при s = s ₀ , то оно автоматически сходится для всех s с Re( s ) > Re( s ₀ ). Следовательно, область сходимости представляет собой полуплоскость вида Re( s ) > a , возможно, включающую некоторые точки граничной линии Re( s ) = a . В области сходимости Re( s ) > Re( s0 _f ) преобразование Лапласа функции можно выразить интегрированием по частям как интеграл

$F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.$

То есть в области сходимости F ( s ) может быть эффективно выражена как абсолютно сходящееся преобразование Лапласа какой-либо другой функции. В частности, оно аналитическое.

Существует несколько теорем Пэли – Винера, касающихся связи между свойствами затухания f и свойствами преобразования Лапласа в области сходимости.

В инженерных приложениях функция, соответствующая линейной инвариантной во времени (LTI) системе, является стабильной , если каждый ограниченный вход дает ограниченный выход.

Причинность

Двусторонние преобразования не учитывают причинность . Они имеют смысл при применении к общим функциям, но при работе с функциями времени (сигналами) односторонние преобразования являются предпочтительными.

Таблица избранных двусторонних преобразований Лапласа

Следующий список интересных примеров двустороннего преобразования Лапласа можно вывести из соответствующего преобразования Фурье или односторонние преобразования Лапласа(см. также Брейсуэлл (2000) ):

Избранные двусторонние преобразования Лапласа

Функция	Временной интервал $f(t)={\mathcal {B}}^{-1}\{F\}(t)$	Лапласа -домен ​ $F(s)={\mathcal {B}}\{f\}(s)$	Область конвергенции	Комментарий
Прямоугольный импульс	$f(t)=\left\{{\begin{aligned}1&\quad {\text{if}}\;|t|<{\tfrac {1}{2}}\\{\tfrac {1}{2}}&\quad {\text{if}}\;|t|={\tfrac {1}{2}}\\0&\quad {\text{if}}\;|t|>{\tfrac {1}{2}}\end{aligned}}\right.$	$2s^{-1}\,\sinh {\frac {s}{2}}$	$-\infty <\Re s<\infty$
Треугольный импульс	$f(t)=\left\{{\begin{aligned}1-|t|&\quad {\text{if}}\;|t|\leq 1\\0&\quad {\text{if}}\;|t|>1\end{aligned}}\right.$	$\left(2s^{-1}\,\sinh {\frac {s}{2}}\right)^{2}$	$-\infty <\Re s<\infty$
Гауссов импульс	$\exp \left(-a^{2}\,t^{2}-b\,t\right)$	${\frac {\sqrt {\pi }}{a}}\,\exp {\frac {(s+b)^{2}}{4\,a^{2}}}$	$-\infty <\Re s<\infty$	$\Re (a^{2})>0$
Экспоненциальный распад	$e^{-at}\,u(t)=\left\{{\begin{aligned}&0&&\;{\text{if}}\;t<0&\\&e^{-at}&&\;{\text{if}}\;0<t&\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{s+a}}$	$-\Re a<\Re s<\infty$	$u(t)$ это ступенчатая функция Хевисайда
Экспоненциальный рост	$-e^{-at}\,u(-t)=\left\{{\begin{aligned}&-e^{-at}&&\;{\text{if}}\;t<0&\\&0&&\;{\text{if}}\;0<t&\end{aligned}}\right.$	${\frac {1}{s+a}}$	$-\infty <\Re s<-\Re a$
	$e^{-|t|}$	${\frac {2}{1-s^{2}}}$	$-1<\Re s<1$
	$e^{-a|t|}$	${\frac {2a}{a^{2}-s^{2}}}$	$-\Re a<\Re s<\Re a$	$\Re a>0$
	${\frac {1}{\cosh t}}$	${\frac {\pi }{\cos(\pi s/2)}}$	$-1<\Re s<1$
	${\frac {1}{1+e^{-t}}}$	${\frac {\pi }{\sin(\pi s)}}$	$0<\Re s<1$

См. также

• Причинный фильтр
• Акаузальная система
• Причинная система
• Sinc-фильтр – идеальный sinc-фильтр (он же прямоугольный фильтр) является акаузальным и имеет бесконечную задержку.

Ссылки

• ЛеПейдж, Уилбур Р. (1980). Комплексные переменные и преобразование Лапласа для инженеров . Дуврские публикации.
• Ван дер Поль, Бальтазар и Бреммер Х., Операционное исчисление на основе двустороннего интеграла Лапласа , Chelsea Pub. Co., 3-е изд., 1987.
• Виддер, Дэвид Вернон (1941), Преобразование Лапласа , Princeton Mathematical Series, т. 6, Princeton University Press , MR   0005923 .
• Брейсвелл, Рональд Н. (2000). Преобразование Фурье и его приложения (3-е изд.).
• Оппенгейм, Алан В.; Уиллски, Алан С. (1997). Сигналы и системы (2-е изд.).