Наблюдаемость Грамиана

В теории управления нам может потребоваться выяснить, является ли такая система, как

${\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=Ax}}(t)+{\boldsymbol {Bu}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {Cx}}(t)+{\boldsymbol {Du}}(t)\end{array}}$

наблюдаем, где ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$, ${\boldsymbol {C}}$ и ${\boldsymbol {D}}$ являются, соответственно, $n\times n$, $n\times p$, $q\times n$ и $q\times p$ матрицы.

Одним из многих способов достижения этой цели является использование Грамиана наблюдаемости.

Наблюдаемость в системах LTI

Линейные инвариантные во времени системы (LTI) — это те системы, в которых параметры ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$, ${\boldsymbol {C}}$ и ${\boldsymbol {D}}$ инвариантны относительно времени.

Можно определить, является ли система LTI наблюдаемой или нет, просто взглянув на пару $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})$. Тогда можно сказать, что следующие утверждения эквивалентны:

1. Пара $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})$ является наблюдаемым.

2. $n\times n$ матрица

${\boldsymbol {W_{o}}}(t)=\int _{0}^{t}e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau$

неособа ни для какого $t>0$.

3. $nq\times n$ матрица наблюдаемости

$\left[{\begin{array}{c}{\boldsymbol {C}}\\{\boldsymbol {CA}}\\{\boldsymbol {CA}}^{2}\\\vdots \\{\boldsymbol {CA}}^{n-1}\end{array}}\right]$

имеет ранг n.

4. $(n+q)\times n$ матрица

$\left[{\begin{array}{c}{\boldsymbol {A}}{\boldsymbol {-\lambda }}{\boldsymbol {I}}\\{\boldsymbol {C}}\end{array}}\right]$

имеет полный ранг столбца для каждого собственного значения $\lambda$ из ${\boldsymbol {A}}$.

Если, кроме того, все собственные значения ${\boldsymbol {A}}$ имеют отрицательные действительные части ( ${\boldsymbol {A}}$ устойчиво) и единственное решение

${\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}$

положительно определена, то система наблюдаема. Решение называется Грамианом наблюдаемости и может быть выражено как

${\boldsymbol {W_{o}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A}}^{T}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau$

В следующем разделе мы более подробно рассмотрим Грамиан наблюдаемости.

Наблюдаемость Грамиана

Грамиан наблюдаемости можно найти как решение уравнения Ляпунова, заданного формулой

${\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}$

Фактически, мы можем увидеть это, если возьмем

${\boldsymbol {W_{o}}}=\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau$

в качестве решения мы найдем следующее:

${\begin{array}{ccccc}{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}&=&\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {A^{T}}}e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }d\tau &+&\int _{0}^{\infty }e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau }{\boldsymbol {A}}d\tau \\&=&\int _{0}^{\infty }{\frac {d}{d\tau }}(e^{{\boldsymbol {A^{T}}}\tau }{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}\tau })d\tau &=&e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}e^{{\boldsymbol {A}}t}|_{t=0}^{\infty }\\&=&{\boldsymbol {0}}-{\boldsymbol {C^{T}C}}\\&=&{\boldsymbol {-C^{T}C}}\end{array}}$

Где мы использовали тот факт, что $e^{{\boldsymbol {A}}t}=0$ в $t=\infty$ для конюшни ${\boldsymbol {A}}$ (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть). Это показывает нам, что ${\boldsymbol {W}}_{o}$ действительно является решением рассматриваемого уравнения Ляпунова.

Характеристики

Мы можем видеть это ${\boldsymbol {C^{T}C}}$ является симметричной матрицей, следовательно, так же ${\boldsymbol {W}}_{o}$.

Мы можем снова использовать тот факт, что, если ${\boldsymbol {A}}$ устойчив (все его собственные значения имеют отрицательную действительную часть), чтобы показать, что ${\boldsymbol {W}}_{o}$ является уникальным. Чтобы доказать это, предположим, что у нас есть два разных решения для

${\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{o}+{\boldsymbol {W}}_{o}{\boldsymbol {A}}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}$

и они даны ${\boldsymbol {W}}_{o1}$ и ${\boldsymbol {W}}_{o2}$. Тогда у нас есть:

${\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})+{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2}){\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {0}}$

Умножение на $e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}$ слева и мимо $e^{{\boldsymbol {A}}t}$ справа, приведет нас к

$e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[{\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})+{\boldsymbol {(W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2}){\boldsymbol {A}}]e^{{\boldsymbol {A}}t}={\frac {d}{dt}}[e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})e^{{\boldsymbol {A}}t}]={\boldsymbol {0}}$

Интеграция из $0$ к $\infty$:

$[e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}[({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})e^{{\boldsymbol {A}}t}]|_{t=0}^{\infty }={\boldsymbol {0}}$

используя тот факт, что $e^{{\boldsymbol {A}}t}\rightarrow 0$ как $t\rightarrow \infty$:

${\boldsymbol {0}}-({\boldsymbol {W}}_{o1}-{\boldsymbol {W}}_{o2})={\boldsymbol {0}}$

Другими словами, ${\boldsymbol {W}}_{o}$ должен быть уникальным.

Также мы можем видеть это

${\boldsymbol {x^{T}W_{o}x}}=\int _{0}^{\infty }{\boldsymbol {x}}^{T}e^{{\boldsymbol {A^{T}}}t}{\boldsymbol {C^{T}C}}e^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}dt=\int _{0}^{\infty }\left\Vert {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}\right\Vert _{2}^{2}dt$

положителен для любого ${\boldsymbol {x}}$ (предполагая невырожденный случай, когда ${\displaystyle {\boldsymbol {Ce^{{\boldsymbol {A}}t}{\boldsymbol {x}}}}}$ не тождественно ноль), и это делает ${\boldsymbol {W}}_{o}$ положительно определенная матрица.

Дополнительные свойства наблюдаемых систем можно найти в а также доказательство других эквивалентных утверждений «Пары $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})$ является наблюдаемым», представленным в разделе «Наблюдаемость в системах LTI».

Дискретные системы времени

Для систем дискретного времени, таких как

${\begin{array}{c}{\boldsymbol {x}}[k+1]{\boldsymbol {=Ax}}[k]+{\boldsymbol {Bu}}[k]\\{\boldsymbol {y}}[k]={\boldsymbol {Cx}}[k]+{\boldsymbol {Du}}[k]\end{array}}$

Можно проверить, что существуют эквивалентности утверждения «Пара $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})$ наблюдаема» (эквивалентности очень похожи для случая непрерывного времени).

Нас интересует эквивалентность, которая утверждает, что если «Пара $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {C}})$ наблюдаема» и все собственные значения ${\boldsymbol {A}}$ иметь величину меньше $1$ ( ${\boldsymbol {A}}$ устойчиво), то единственное решение

${\boldsymbol {A^{T}}}{\boldsymbol {W}}_{do}{\boldsymbol {A}}-W_{do}=-{\boldsymbol {C^{T}C}}$

положительно определен и определяется выражением

${\boldsymbol {W}}_{do}=\sum _{m=0}^{\infty }({\boldsymbol {A}}^{T})^{m}{\boldsymbol {C}}^{T}{\boldsymbol {C}}{\boldsymbol {A}}^{m}$

Это называется дискретным Грамианом наблюдаемости. Мы можем легко увидеть соответствие между дискретным временем и случаем непрерывного времени, то есть, если мы сможем проверить, что ${\boldsymbol {W}}_{dc}$ положительно определена, и все собственные значения ${\boldsymbol {A}}$ иметь величину меньше $1$, система $({\boldsymbol {A}},{\boldsymbol {B}})$ является наблюдаемым. Дополнительные свойства и доказательства можно найти в .

Линейные системы, изменяющиеся во времени

Системы линейного варианта времени (LTV) представляют собой системы в форме:

${\begin{array}{c}{\dot {\boldsymbol {x}}}(t){\boldsymbol {=A}}(t){\boldsymbol {x}}(t)+{\boldsymbol {B}}(t){\boldsymbol {u}}(t)\\{\boldsymbol {y}}(t)={\boldsymbol {C}}(t){\boldsymbol {x}}(t)\end{array}}$

То есть матрицы ${\boldsymbol {A}}$, ${\boldsymbol {B}}$ и ${\boldsymbol {C}}$ есть записи, которые меняются со временем. Опять же, как и в случае непрерывного времени, так и в случае дискретного времени, может быть интересно выяснить, существует ли система, заданная парой $({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {C}}(t))$ наблюдаемо или нет. Это можно сделать аналогично предыдущим случаям.

Система $({\boldsymbol {A}}(t),{\boldsymbol {C}}(t))$ наблюдаем во времени $t_{0}$ тогда и только тогда, когда существует конечное $t_{1}>t_{0}$ такой, что $n\times n$ Матрица, также называемая Грамианом наблюдаемости, определяется выражением

${\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})=\int _{t_{0}}^{^{t_{1}}}{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(\tau ,t_{0}){\boldsymbol {C}}^{T}(\tau ){\boldsymbol {C}}(\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(\tau ,t_{0})d\tau$

где ${\boldsymbol {\Phi }}(t,\tau )$ - матрица перехода состояний ${\boldsymbol {\dot {x}}}={\boldsymbol {A}}(t){\boldsymbol {x}}$ является неособым.

Опять же, у нас есть аналогичный метод, чтобы определить, является ли система наблюдаемой системой или нет.

Свойства ${\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})$

У нас есть Грамиан наблюдаемости ${\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})$ иметь следующее свойство:

${\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t)+{\boldsymbol {\Phi }}^{T}(t,t_{0}){\boldsymbol {W}}_{o}(t,t_{0}){\boldsymbol {\Phi }}(t,t_{0})$

это легко увидеть по определению ${\boldsymbol {W}}_{o}(t_{0},t_{1})$ и свойством матрицы перехода состояний, которая утверждает, что:

${\boldsymbol {\Phi }}(t_{0},t_{1})={\boldsymbol {\Phi }}(t_{1},\tau ){\boldsymbol {\Phi }}(\tau ,t_{0})$

Дополнительную информацию о Грамиане наблюдаемости можно найти здесь.

См. также

• Наблюдаемость
• Управляемость Грамиан
• Матрица Грамиана
• Единственное значение Ганкеля

Внешние ссылки

• Функция Mathematica для вычисления грамиана наблюдаемости