Транспонировать

В линейной алгебре — оператор это транспонирование матрицы , который переворачивает матрицу по ее диагонали; то есть он меняет индексы строк и столбцов матрицы $A,$ создавая другую матрицу, часто обозначаемую $A. Т$ (среди других обозначений). ^{[ 1 ]}

Транспонирование матрицы было предложено в 1858 году британским математиком Артуром Кэли . ^{[ 2 ]} В случае логической матрицы, представляющей бинарное отношение R, транспонирование соответствует обратному отношению R ^Т.

Транспонирование матрицы

Определение

Транспонирование матрицы $A$ , обозначенной $A Т$ , ^{[ 3 ]} $⊤ А$ , $А ⊤$ , $A^{\intercal }$ , ^{[ 4 ]}^{[ 5 ]} $А'$ , ^{[ 6 ]} $А тр$ , $т А$ или $А т$ , может быть построено любым из следующих методов:

Отразите $A$ над его главной диагональю (которая проходит от верхнего левого угла до нижнего правого), чтобы получить $A. Т$
Запишите строки $A$ как столбцы $A. Т$
Запишите столбцы $A$ как строки $A. Т$

Формально, $i$ -я строка и $j$ -й элемент столбца $A Т$ — это $j$ -я строка и $i$ -й элемент столбца $A$ :

\left[\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right]_{ij}=\left[\mathbf {A} \right]_{ji}.

Если $A$ — $матрица размера m \times n$ , то $A Т$ представляет собой $матрицу размера n \times m$ .

В случае квадратных матриц $A Т$ может также обозначать $-ю$ степень матрицы $A.$ Т Во избежание возможной путаницы многие авторы используют левые прописные буквы, т. е. обозначают транспонирование как $Т А.$ Преимущество этой записи в том, что при использовании показателей степени скобки не нужны: as $(Т А) н = Т (А н)$ , обозначения $Т А н$ не является двусмысленным.

В этой статье этой путаницы можно избежать, никогда не используя символ $T$ в качестве имени переменной .

Определения матриц, включающие транспозицию

Квадратная матрица, транспонирование которой равно самой себе, называется симметричной матрицей ; то есть $A$ симметричен, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .

Квадратная матрица, транспонирование которой равно ее отрицательному значению, называется кососимметричной матрицей ; то есть $A$ кососимметричен, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-\mathbf {A} .

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно матрице, в которой каждая запись заменена ее комплексно-сопряженным (обозначено здесь подчеркиванием), называется эрмитовой матрицей (что эквивалентно матрице, равной ее сопряженному транспонированию ); то есть $A$ эрмитово, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} }}.

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно отрицанию ее комплексно-сопряженной матрицы, называется косоэрмитовой матрицей ; то есть $A$ является косоэрмитовым, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=-{\overline {\mathbf {A} }}.

Квадратная матрица, транспонирование которой равно обратной, называется ортогональной матрицей ; то есть $A$ ортогонально, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{-1}.

Квадратная комплексная матрица, транспонирование которой равно сопряженной обратной, называется унитарной матрицей ; то есть $A$ унитарно, если

\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }={\overline {\mathbf {A} ^{-1}}}.

Примеры

${\begin{bmatrix}1&2\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }=\,{\begin{bmatrix}1\\2\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3\\2&4\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\5&6\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&3&5\\2&4&6\end{bmatrix}}$

Характеристики

Пусть $A$ и $B$ — матрицы, а $c$ — скаляр .

$\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} .$
Операция транспонирования является инволюцией (самообратной ) .
$\left(\mathbf {A} +\mathbf {B} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }+\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }.$
Транспонирование учитывает сложение .
$\left(c\mathbf {A} \right)^{\operatorname {T} }=c\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
Транспонирование скаляра - это тот же скаляр. предыдущим свойством это означает, что транспонирование представляет собой линейное отображение пространства Вместе с матриц размера $m \times n$ в пространство матриц размера $n \times m$ .
$\left(\mathbf {AB} \right)^{\operatorname {T} }=\mathbf {B} ^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.$
Порядок факторов обратный. По индукции этот результат распространяется на общий случай кратных матриц, поэтому
$(А 1 А 2 ... А k -1 А k) Т = А к Т А к -1 Т ... А 2 Т А 1 Т$ .
$\det \left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)=\det(\mathbf {A} ).$
Определитель квадратной матрицы такой же , как и определитель ее транспонирования.
Скалярное произведение двух векторов-столбцов $a$ и $b$ можно вычислить как одну запись матричного произведения $\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} =\mathbf {a} ^{\operatorname {T} }\mathbf {b} .$
Если $A$ имеет только реальные записи, то $A Т A$ — положительно-полуопределенная матрица .
$\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{-1}=\left(\mathbf {A} ^{-1}\right)^{\operatorname {T} }.$
Транспонирование обратимой матрицы также является обратимым, а ее обратная матрица является транспонированием обратной исходной матрицы.
Обозначение $А -Т$ иногда используется для представления любого из этих эквивалентных выражений.
Если $A$ — квадратная матрица, то ее собственные значения равны собственным значениям ее транспонирования, поскольку они имеют один и тот же характеристический полином .
Над любым полем $k$ $k$ , квадратная матрица $\mathbf {A}$ $\mathbf {A}$ похоже на $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ .
Это означает, что $\mathbf {A}$ и $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ имеют одинаковые инвариантные факторы , что означает, что они имеют, помимо других свойств, одинаковый минимальный полином, характеристический полином и собственные значения.
Доказательство этого свойства использует следующие два наблюдения.
- Позволять $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ быть $n\times n$ матрицы над некоторым базовым полем $k$ и пусть $L$ быть поля расширением $k$ . Если $\mathbf {A}$ и $\mathbf {B}$ подобны как матрицы над $L$ , то они подобны по $k$ . В частности, это применимо, когда $L$ является алгебраическим замыканием $k$ .
- Если $\mathbf {A}$ — матрица над алгебраически замкнутым полем в жордановой нормальной форме относительно некоторого базиса, то $\mathbf {A}$ похоже на $\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }$ . Это далее сводится к доказательству того же факта, когда $\mathbf {A}$ представляет собой одиночный блок Джордана, который представляет собой простое упражнение.

Продукты

Если $A$ — $матрица размера m \times n$ и $A Т$ является ее транспонированием, то результат умножения матриц на эти две матрицы дает две квадратные матрицы: $AA Т$ есть $m \times m$ и $A Т А$ — это $n \times n$ . Кроме того, эти произведения представляют собой симметричные матрицы . Действительно, матричное произведение $AA Т$ имеет записи, которые являются внутренним произведением строки $A$ со столбцом $A Т$ . Но столбцы $A Т$ являются строками $A$ запись соответствует скалярному продукту двух строк $A.$ , поэтому Если $p i j$ — это запись продукта, он получается из строк $i$ и $j$ в $A$ . Запись $p j i$ также получается из этих строк, таким образом $p i j = p j i$ , а матрица произведения ( $p i j$ ) симметрична. Аналогично, продукт $A Т A$ — симметричная матрица.

Быстрое доказательство симметрии $AA Т$ является результатом того, что это собственное транспонирование:

\left(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }=\left(\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }\right)^{\operatorname {T} }\mathbf {A} ^{\operatorname {T} }=\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\operatorname {T} }.

^{[ 7 ]}

Реализация транспонирования матриц на компьютерах

На компьютере часто можно избежать явного транспонирования матрицы в памяти , просто обращаясь к тем же данным в другом порядке. Например, библиотеки программного обеспечения для линейной алгебры , такие как BLAS , обычно предоставляют опции, позволяющие указать, что определенные матрицы должны интерпретироваться в транспонированном порядке, чтобы избежать необходимости перемещения данных.

Однако остается ряд обстоятельств, при которых необходимо или желательно физически переупорядочить матрицу в памяти к ее транспонированному порядку. Например, если матрица хранится в порядке следования строк , строки матрицы являются смежными в памяти, а столбцы — несмежными. Если над столбцами необходимо выполнить повторяющиеся операции, например, в алгоритме быстрого преобразования Фурье , транспонирование матрицы в памяти (чтобы сделать столбцы смежными) может повысить производительность за счет увеличения локальности памяти .

В идеале можно было бы надеяться транспонировать матрицу с минимальным дополнительным объемом памяти. Это приводит к проблеме транспонирования размера n × m матрицы на месте с дополнительным объемом памяти O(1) или, самое большее, объемом памяти, намного меньшим, чем mn . Для n ≠ m это включает в себя сложную перестановку элементов данных, которую нетривиально реализовать на месте. Поэтому эффективное транспонирование матриц на месте стало предметом многочисленных исследовательских публикаций в области информатики , начиная с конца 1950-х годов, и было разработано несколько алгоритмов.

Транспонирует линейные карты и билинейные формы

Поскольку основное использование матриц заключается в представлении линейных карт между конечномерными векторными пространствами , транспонирование — это операция над матрицами, которую можно рассматривать как представление некоторой операции на линейных картах.

Это приводит к гораздо более общему определению транспонирования, которое работает с любой линейной картой, даже если линейные карты не могут быть представлены матрицами (например, в случае бесконечномерных векторных пространств). В конечномерном случае матрица, представляющая транспонирование линейной карты, является транспонированием матрицы, представляющей линейное отображение, независимо от выбора базиса .

Транспонирование линейной карты

Пусть $X #$ обозначаем сопряженное модуля $R$ - X. $алгебраическое$ пространство Пусть $X$ и $Y$ — $R$ -модули. Если $u : X \to Y$ — линейное отображение , то его алгебраически сопряженное или двойственное отображение , ^{[ 8 ]} это карта $ты # : И # \to Х #$ определяется $ж \mapsto ж \circ ты$ . Полученный функционал $u # (f)$ называется возвратом f $$ по $u$ . Следующее соотношение характеризует алгебраический сопряженный к $u$ ^{[ 9 ]}

⟨ ты # (ж), Икс ⟩ знак равно ⟨ ж, ты (Икс)⟩

для всех

ж Е Y #

и

x \in X

где $⟨•, •⟩$ — естественное спаривание (т. е. определяемое $⟨ h, z ⟩ := h (z)$ ). Это определение без изменений применимо также к левым модулям и векторным пространствам. ^{[ 10 ]}

Видно, что определение транспонирования не зависит от какой-либо билинейной формы модулей, в отличие от сопряженного ( ниже ).

Непрерывное двойственное пространство топологического векторного пространства (ТВП) $X$ обозначается $X'$ . Если $X$ и $Y$ — TVS, то линейное отображение $u : X \to Y$ слабо непрерывно тогда и только тогда, когда $u # (Y') \subseteq X'$ , и в этом случае мы полагаем $т u : Y' \to X'$ обозначают ограничение $u #$ к $Й'$ . Карта $т тебя$ называют транспонированием ^{[ 11 ]} из $вас$ .

матрица $A$ описывает линейное отображение относительно базисов V $Если$ и $W$ , то матрица $A Т$ описывает транспонирование этой линейной карты относительно двойственных оснований .

Транспонирование билинейной формы

Каждое линейное отображение в двойственное пространство $u : X \to X #$ определяет билинейную форму $B : X \times X \to F$ с соотношением $B (x, y) = u (x)(y)$ . Определив транспонирование этой билинейной формы как билинейной формы $т B$ определяется транспонированием $т ты : Х ## \to Х #$ то есть $т B (у, Икс) знак равно т u (Ψ(y))(x)$ , мы находим, что $B (x, y) = т Б (у, х)$ . Здесь $Ψ$ — естественный гомоморфизм $X \to X ##$ в двойной двойной .

заместитель

векторные пространства $X$ и $Y$ имеют соответственно невырожденные билинейные формы $B X$ и $BY Если$ , может быть определено понятие, известное как сопряженное , которое тесно связано с транспонированием:

Если $u : X \to Y$ — отображение линейное векторных пространств $X$ и $Y$ , мы определяем $g$ как сопряженное к $u,$ если $g : Y \to X$ удовлетворяет условиям

B_{X}{\big (}x,g(y){\big )}=B_{Y}{\big (}u(x),y{\big )}

для

x \in X

и

y \in Y.

всех

Эти билинейные формы определяют изоморфизм между $X$ и $X. #$ , а между $Y$ и $Y #$ , что приводит к изоморфизму между транспонированным и присоединенным к $u$ . Матрица сопряженного отображения является транспонированной матрицей только в том случае, если базисы ортонормированы относительно своих билинейных форм. Однако в этом контексте многие авторы используют термин транспонирование для обозначения сопряженного, как оно определено здесь.

Сопряженный позволяет нам рассмотреть, $ли g : Y \to X$ равно $u -1 : Y \to Икс$ . В частности, это позволяет ортогональную группу над векторным пространством $X$ определить $квадратичной формы без ссылки на матрицы (или их компоненты) как набор всех линейных отображений X \to X$ , для которых сопряженное равно обратному.

часто работают с полуторалинейными формами В сложном векторном пространстве вместо билинейных форм (сопряженно-линейными по одному аргументу). Эрмитово сопряженное отображение между такими пространствами определяется аналогично, а матрица эрмитова сопряженного задается сопряженной транспонированной матрицей, если базы ортонормированы.

См. также

Ссылки

^ Никамп, Дуэйн. «Транспонирование матрицы» . Математическое понимание . Проверено 8 сентября 2020 г.
^ Артур Кэли (1858) «Мемуары по теории матриц» , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 148 : 17–37. Транспонирование (или «транспонирование») определено на стр. 31.
^ Т. А. Уайтлоу (1 апреля 1991 г.). Введение в линейную алгебру, 2-е издание . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-7514-0159-2 .
^ «Транспонирование матричного продукта (ProofWiki)» . ДоказательствоВики . Проверено 4 февраля 2021 г.
^ «Какой символ лучше всего подходит для транспонирования вектора/матрицы?» . Обмен стеками . Проверено 4 февраля 2021 г.
^ Вайсштейн, Эрик В. «Транспонирование» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 г.
^ Гилберт Стрэнг (2006) Линейная алгебра и ее приложения , 4-е издание, стр. 51, Томсон Брукс / Коул ISBN 0-03-010567-6
^ Шефер и Вольф 1999 , с. 128.
^ Халмош 1974 , §44
^ Бурбаки 1989 , II §2.5
^ Трир 2006 , с. 240.

Дальнейшее чтение

Бурбаки, Николя (1989) [1970]. Алгебра I, главы 1–3 [ Алгебра: главы 1–3 ] (PDF) . Элементы математики . Берлин, Нью-Йорк: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-64243-5 . OCLC 18588156 .

Халмос, Пол (1974), Конечномерные векторные пространства , Спрингер, ISBN 978-0-387-90093-3 .
Марускин, Джаред М. (2012). Основная линейная алгебра . Сан-Хосе: Солар Крест. стр. 122–132. ISBN 978-0-9850627-3-6 .
Шефер, Хельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . ГТМ . Том. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135 .
Тревес, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322 .
Шварц, Джейкоб Т. (2001). Введение в матрицы и векторы . Минеола: Дувр. стр. 126–132. ISBN 0-486-42000-0 .

Внешние ссылки

Гилберт Стрэнг (весна 2010 г.) Линейная алгебра из открытых курсов MIT

[1] Никамп, Дуэйн. «Транспонирование матрицы» . Математическое понимание . Проверено 8 сентября 2020 г.

[2] Артур Кэли (1858) «Мемуары по теории матриц» , Philosophical Transactions of the Royal Society of London , 148 : 17–37. Транспонирование (или «транспонирование») определено на стр. 31.

[Whitelaw1991-3] Т. А. Уайтлоу (1 апреля 1991 г.). Введение в линейную алгебру, 2-е издание . ЦРК Пресс. ISBN 978-0-7514-0159-2 .

[4] «Транспонирование матричного продукта (ProofWiki)» . ДоказательствоВики . Проверено 4 февраля 2021 г.

[5] «Какой символ лучше всего подходит для транспонирования вектора/матрицы?» . Обмен стеками . Проверено 4 февраля 2021 г.

[6] Вайсштейн, Эрик В. «Транспонирование» . mathworld.wolfram.com . Проверено 8 сентября 2020 г.

[7] Гилберт Стрэнг (2006) Линейная алгебра и ее приложения , 4-е издание, стр. 51, Томсон Брукс / Коул ISBN 0-03-010567-6

[FOOTNOTESchaeferWolff1999128-8] Шефер и Вольф 1999 , с. 128.

[9] Халмош 1974 , §44

[10] Бурбаки 1989 , II §2.5

[FOOTNOTETrèves2006240-11] Трир 2006 , с. 240.

[ 1 ]

[ 2 ]

[ 3 ]

[ 4 ]

[ 5 ]

[ 6 ]

[ 7 ]

[ 8 ]

[ 9 ]

[ 10 ]

[ 11 ]

v т и Линейная алгебра
Outline Glossary
Basic concepts	Scalar Vector Vector space Scalar multiplication Vector projection Linear span Linear map Linear projection Linear independence Linear combination Multilinear map Basis Change of basis Row and column vectors Row and column spaces Kernel Eigenvalues and eigenvectors Transpose Linear equations
Matrices	Block Decomposition Invertible Minor Multiplication Rank Transformation Cramer's rule Gaussian elimination
Bilinear	Orthogonality Dot product Hadamard product Inner product space Outer product Kronecker product Gram–Schmidt process
Multilinear algebra	Determinant Cross product Triple product Seven-dimensional cross product Geometric algebra Exterior algebra Bivector Multivector Tensor Outermorphism
Vector space constructions	Dual Direct sum Function space Quotient Subspace Tensor product
Numerical	Floating-point Numerical stability Basic Linear Algebra Subprograms Sparse matrix Comparison of linear algebra libraries
Category