Jump to content

Тригонометрические функции матриц

Тригонометрические функции (особенно синус и косинус ) для вещественных или комплексных квадратных матриц встречаются в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка . [1] Они определяются тем же рядом Тейлора , что и тригонометрические функции действительных и комплексных чисел : [2]

с Х н — это n- я степень матрицы X , а I единичная матрица соответствующих размеров.

Эквивалентно, они могут быть определены с использованием матричной экспоненты вместе с матричным эквивалентом Эйлера формулы e IX = cos X + i sin X , что дает

Например, приняв X за стандартную матрицу Паули ,

у одного есть

а также для функции синуса кардинальной

Характеристики

[ редактировать ]

Имеет место аналог тригонометрического тождества Пифагора : [2]

Если X диагональная матрица , sin X и cos X также являются диагональными матрицами с (sin X ) nn = sin( X nn ) и (cos X ) nn = cos( X nn ) , то есть их можно вычислить просто взяв синусы или косинусы диагональных компонентов матриц.

Аналоги тригонометрических формул сложения верны тогда и только тогда, когда XY = YX : [2]

Другие функции

[ редактировать ]

касательная, а также обратные тригонометрические функции , гиперболические и обратные гиперболические функции : Для матриц также определены [3]

(см. Обратные тригонометрические функции # Логарифмические формы , Логарифм матрицы , Квадратный корень матрицы )

и так далее.

  1. ^ Гарет И. Харгривз; Николас Дж. Хайэм (2005). «Эффективные алгоритмы для матрицы косинуса и синуса» (PDF) . Отчет о численном анализе . 40 (461). Манчестерский центр вычислительной математики: 383. Бибкод : 2005NuAlg..40..383H . дои : 10.1007/s11075-005-8141-0 . S2CID   1242875 .
  2. ^ Jump up to: а б с Николас Дж. Хайэм (2008). Функции матриц: теория и вычисления . стр. 287ф. ISBN  978-0-89871-777-8 .
  3. ^ Тригонометрия Scilab .
Arc.Ask3.Ru: конец переведенного документа.
Arc.Ask3.Ru
Номер скриншота №: e4b964be89bd44ce5a22901b9bd3fa8d__1696084800
URL1:https://arc.ask3.ru/arc/aa/e4/8d/e4b964be89bd44ce5a22901b9bd3fa8d.html
Заголовок, (Title) документа по адресу, URL1:
Trigonometric functions of matrices - Wikipedia
Данный printscreen веб страницы (снимок веб страницы, скриншот веб страницы), визуально-программная копия документа расположенного по адресу URL1 и сохраненная в файл, имеет: квалифицированную, усовершенствованную (подтверждены: метки времени, валидность сертификата), открепленную ЭЦП (приложена к данному файлу), что может быть использовано для подтверждения содержания и факта существования документа в этот момент времени. Права на данный скриншот принадлежат администрации Ask3.ru, использование в качестве доказательства только с письменного разрешения правообладателя скриншота. Администрация Ask3.ru не несет ответственности за информацию размещенную на данном скриншоте. Права на прочие зарегистрированные элементы любого права, изображенные на снимках принадлежат их владельцам. Качество перевода предоставляется как есть. Любые претензии, иски не могут быть предъявлены. Если вы не согласны с любым пунктом перечисленным выше, вы не можете использовать данный сайт и информация размещенную на нем (сайте/странице), немедленно покиньте данный сайт. В случае нарушения любого пункта перечисленного выше, штраф 55! (Пятьдесят пять факториал, Денежную единицу (имеющую самостоятельную стоимость) можете выбрать самостоятельно, выплаичвается товарами в течение 7 дней с момента нарушения.)