Тригонометрические функции матриц

Тригонометрические функции (особенно синус и косинус ) для вещественных или комплексных квадратных матриц встречаются в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка . Они определяются тем же рядом Тейлора , что и тригонометрические функции действительных и комплексных чисел :

${\begin{aligned}\sin X&=X-{\frac {X^{3}}{3!}}+{\frac {X^{5}}{5!}}-{\frac {X^{7}}{7!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}X^{2n+1}\\\cos X&=I-{\frac {X^{2}}{2!}}+{\frac {X^{4}}{4!}}-{\frac {X^{6}}{6!}}+\cdots &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}X^{2n}\end{aligned}}$

с Х ^н — это n- я степень матрицы X , а I — единичная матрица соответствующих размеров.

Эквивалентно, они могут быть определены с использованием матричной экспоненты вместе с матричным эквивалентом Эйлера формулы e ^IX = cos X + i sin X , что дает

${\begin{aligned}\sin X&={e^{iX}-e^{-iX} \over 2i}\\\cos X&={e^{iX}+e^{-iX} \over 2}.\end{aligned}}$

Например, приняв X за стандартную матрицу Паули ,

$\sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}~,$

у одного есть

$\sin(\theta \sigma _{1})=\sin(\theta )~\sigma _{1},\qquad \cos(\theta \sigma _{1})=\cos(\theta )~I~,$

а также для функции синуса кардинальной

$\operatorname {sinc} (\theta \sigma _{1})=\operatorname {sinc} (\theta )~I.$

См. также: Представление оси – угла § Экспоненциальное отображение от so (3) до SO (3).

Характеристики

Имеет место аналог тригонометрического тождества Пифагора :

$\sin ^{2}X+\cos ^{2}X=I$

Если X — диагональная матрица , sin X и cos X также являются диагональными матрицами с (sin X ) _nn = sin( X _nn ) и (cos X ) _nn = cos( X _nn ) , то есть их можно вычислить просто взяв синусы или косинусы диагональных компонентов матриц.

Аналоги тригонометрических формул сложения верны тогда и только тогда, когда XY = YX :

${\begin{aligned}\sin(X\pm Y)=\sin X\cos Y\pm \cos X\sin Y\\\cos(X\pm Y)=\cos X\cos Y\mp \sin X\sin Y\end{aligned}}$

Другие функции

касательная, а также обратные тригонометрические функции , гиперболические и обратные гиперболические функции : Для матриц также определены

$\arcsin X=-i\ln \left(iX+{\sqrt {I-X^{2}}}\right)$ (см. Обратные тригонометрические функции # Логарифмические формы , Логарифм матрицы , Квадратный корень матрицы )

${\begin{aligned}\sinh X&={e^{X}-e^{-X} \over 2}\\\cosh X&={e^{X}+e^{-X} \over 2}\end{aligned}}$

и так далее.