Тригонометрические функции матриц
Тригонометрические функции (особенно синус и косинус ) для вещественных или комплексных квадратных матриц встречаются в решениях систем дифференциальных уравнений второго порядка . [1] Они определяются тем же рядом Тейлора , что и тригонометрические функции действительных и комплексных чисел : [2]
с Х н — это n- я степень матрицы X , а I — единичная матрица соответствующих размеров.
Эквивалентно, они могут быть определены с использованием матричной экспоненты вместе с матричным эквивалентом Эйлера формулы e IX = cos X + i sin X , что дает
Например, приняв X за стандартную матрицу Паули ,
у одного есть
а также для функции синуса кардинальной
Характеристики
[ редактировать ]Имеет место аналог тригонометрического тождества Пифагора : [2]
Если X — диагональная матрица , sin X и cos X также являются диагональными матрицами с (sin X ) nn = sin( X nn ) и (cos X ) nn = cos( X nn ) , то есть их можно вычислить просто взяв синусы или косинусы диагональных компонентов матриц.
Аналоги тригонометрических формул сложения верны тогда и только тогда, когда XY = YX : [2]
Другие функции
[ редактировать ]касательная, а также обратные тригонометрические функции , гиперболические и обратные гиперболические функции : Для матриц также определены [3]
- (см. Обратные тригонометрические функции # Логарифмические формы , Логарифм матрицы , Квадратный корень матрицы )
и так далее.
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Гарет И. Харгривз; Николас Дж. Хайэм (2005). «Эффективные алгоритмы для матрицы косинуса и синуса» (PDF) . Отчет о численном анализе . 40 (461). Манчестерский центр вычислительной математики: 383. Бибкод : 2005NuAlg..40..383H . дои : 10.1007/s11075-005-8141-0 . S2CID 1242875 .
- ^ Jump up to: а б с Николас Дж. Хайэм (2008). Функции матриц: теория и вычисления . стр. 287ф. ISBN 978-0-89871-777-8 .
- ^ Тригонометрия Scilab .