Тригонометрия тетраэдра

Тригонометрия тетраэдра ^[1] объясняет соотношения между длинами и различными видами углов общего тетраэдра .

Тригонометрические величины

Классические тригонометрические величины

Ниже приведены тригонометрические величины, обычно связанные с общим тетраэдром:

Шесть длин ребер связаны с шестью ребрами тетраэдра.
12 граней — их по три на каждую из четырёх граней тетраэдра.
6 двугранных углов – связаны с шестью гранями тетраэдра, так как любые две грани тетраэдра соединены ребром.
Четыре телесных угла связаны с каждой точкой тетраэдра.

Позволять $X={\overline {P_{1}P_{2}P_{3}P_{4}}}$ — общий тетраэдр, где $P_{1},P_{2},P_{3},P_{4}$ являются произвольными точками в трехмерном пространстве .

Кроме того, пусть $e_{ij}$ быть краем, который соединяет $P_{i}$ и $P_{j}$ и пусть $F_{i}$ быть гранью тетраэдра, противоположной точке $P_{i}$ ; другими словами:

$e_{ij}={\overline {P_{i}P_{j}}}$
$F_{i}={\overline {P_{j}P_{k}P_{l}}}$

где $i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}$ и $i\neq j\neq k\neq l$ .

Определите следующие величины:

$d_{ij}$ = длина ребра $e_{ij}$
$\alpha _{i,j}$ = угол грани в точке $P_{i}$ на лице $F_{j}$
$\theta _{ij}$ = двугранный угол между двумя гранями, примыкающими к ребру $e_{ij}$
$\Omega _{i}$ = телесный угол в точке $P_{i}$

Площадь и объём

Позволять $\Delta _{i}$ быть областью лица $F_{i}$ . Такую площадь можно рассчитать по формуле Герона (если известны все три длины ребер):

\Delta _{i}={\sqrt {\frac {(d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(-d_{jk}+d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}-d_{jl}+d_{kl})(d_{jk}+d_{jl}-d_{kl})}{16}}}

или по следующей формуле (если известны угол и два соответствующих ему ребра):

\Delta _{i}={\frac {1}{2}}d_{jk}d_{jl}\sin \alpha _{j,i}

Позволять $h_{i}$ быть высотой от точки $P_{i}$ к лицу $F_{i}$ . Объем $V$ тетраэдра $X$ определяется следующей формулой: $V={\frac {1}{3}}\Delta _{i}h_{i}$ Он удовлетворяет следующему соотношению: ^[2]

288V^{2}={\begin{vmatrix}2Q_{12}&Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}\\Q_{12}+Q_{13}-Q_{23}&2Q_{13}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}\\Q_{12}+Q_{14}-Q_{24}&Q_{13}+Q_{14}-Q_{34}&2Q_{14}\end{vmatrix}}

где $Q_{ij}=d_{ij}^{2}$ - это квадранты (квадрат длины) ребер.

Основные положения тригонометрии

Аффинный треугольник

Возьми лицо $F_{i}$ ; края будут иметь длину $d_{jk},d_{jl},d_{kl}$ и соответствующие противоположные углы определяются выражением $\alpha _{l,i},\alpha _{k,i},\alpha _{j,i}$ .

Для этого треугольника справедливы обычные законы плоской тригонометрии треугольника.

Проективный треугольник

Рассмотрим проективный (сферический) треугольник в точке $P_{i}$ ; вершины этого проективного треугольника — это три линии, соединяющие $P_{i}$ с тремя другими вершинами тетраэдра. Края будут иметь сферическую длину. $\alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}$ и соответствующие противоположные сферические углы определяются выражением $\theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}$ .

Для этого проективного треугольника выполняются обычные законы сферической тригонометрии .

Законы тригонометрии для тетраэдра

Теорема об чередующихся синусов

Возьмите тетраэдр $X$ , и рассмотрим точку $P_{i}$ как вершина. Теорема о чередующихся синусов задается следующим тождеством: $\sin(\alpha _{j,l})\sin(\alpha _{k,j})\sin(\alpha _{l,k})=\sin(\alpha _{j,k})\sin(\alpha _{k,l})\sin(\alpha _{l,j})$ Можно рассматривать две стороны этого тождества как соответствующие ориентации поверхности по часовой стрелке и против часовой стрелки.

Пространство всех форм тетраэдров

Если поставить любую из четырех вершин в роль O , то получится четыре таких тождества, но не более трех из них являются независимыми; если стороны трех из четырех тождеств, расположенные «по часовой стрелке», умножаются и получается, что произведение равно произведению сторон тех же трех тождеств, расположенных «против часовой стрелки», а затем общие множители сокращаются с обеих сторон, результат будет четвертая личность.

Три угла являются углами некоторого треугольника тогда и только тогда, когда их сумма равна 180 ° (π радиан). Какое условие на 12 углов необходимо и достаточно, чтобы они были 12 углами некоторого тетраэдра? Очевидно, что сумма углов любой стороны тетраэдра должна быть равна 180°. Поскольку таких треугольников четыре, существует четыре таких ограничения на суммы углов, и число степеней свободы тем самым уменьшается с 12 до 8. Четыре соотношения, заданные законом синуса, еще больше уменьшают количество степеней свободы: 8 до не 4, а до 5, поскольку четвертое ограничение не является независимым от первых трех. Таким образом, пространство всех форм тетраэдров пятимерно. ^[3]

Закон синусов для тетраэдра

См.: Закон синусов.

Закон косинусов для тетраэдра

Закон косинусов для тетраэдра ^[4] связывает площади каждой грани тетраэдра и двугранные углы вокруг точки. Оно задается следующим тождеством:

\Delta _{i}^{2}=\Delta _{j}^{2}+\Delta _{k}^{2}+\Delta _{l}^{2}-2(\Delta _{j}\Delta _{k}\cos \theta _{il}+\Delta _{j}\Delta _{l}\cos \theta _{ik}+\Delta _{k}\Delta _{l}\cos \theta _{ij})

Связь между двугранными углами тетраэдра

Возьмем общий тетраэдр $X$ и проецируем лица $F_{i},F_{j},F_{k}$ в самолет лицом $F_{l}$ . Позволять $c_{ij}=\cos \theta _{ij}$ .

Затем область лица $F_{l}$ определяется суммой прогнозируемых площадей следующим образом: $\Delta _{l}=\Delta _{i}c_{jk}+\Delta _{j}c_{ik}+\Delta _{k}c_{ij}$ Путем замены $i,j,k,l\in \{1,2,3,4\}$ с каждой из четырех граней тетраэдра получается следующая однородная система линейных уравнений: ${\begin{cases}-\Delta _{1}+\Delta _{2}c_{34}+\Delta _{3}c_{24}+\Delta _{4}c_{23}=0\\\Delta _{1}c_{34}-\Delta _{2}+\Delta _{3}c_{14}+\Delta _{4}c_{13}=0\\\Delta _{1}c_{24}+\Delta _{2}c_{14}-\Delta _{3}+\Delta _{4}c_{12}=0\\\Delta _{1}c_{23}+\Delta _{2}c_{13}+\Delta _{3}c_{12}-\Delta _{4}=0\end{cases}}$ Эта однородная система будет иметь решения именно тогда, когда: ${\begin{vmatrix}-1&c_{34}&c_{24}&c_{23}\\c_{34}&-1&c_{14}&c_{13}\\c_{24}&c_{14}&-1&c_{12}\\c_{23}&c_{13}&c_{12}&-1\end{vmatrix}}=0$ Разлагая этот определитель, получаем соотношение между двугранными углами тетраэдра: ^[1] следующее: $1-\sum _{1\leq i<j\leq 4}c_{ij}^{2}+\sum _{j=2 \atop k\neq l\neq j}^{4}c_{1j}^{2}c_{kl}^{2}=2\left(\sum _{i=1 \atop j\neq k\neq l\neq i}^{4}c_{ij}c_{ik}c_{il}+\sum _{2\leq j<k\leq 4 \atop l\neq j,k}c_{1j}c_{1k}c_{jl}c_{kl}\right)$

Расстояния скоса между краями тетраэдра

Возьмем общий тетраэдр $X$ и пусть $P_{ij}$ быть точкой на краю $e_{ij}$ и $P_{kl}$ быть точкой на краю $e_{kl}$ такая, что отрезок ${\overline {P_{ij}P_{kl}}}$ перпендикулярен обоим $e_{ij}$ & $e_{kl}$ . Позволять $R_{ij}$ быть длиной отрезка прямой ${\overline {P_{ij}P_{kl}}}$ .

Найти $R_{ij}$ : ^[1]

Сначала построим линию через $P_{k}$ параллельно $e_{il}$ и еще одна линия через $P_{i}$ параллельно $e_{kl}$ . Позволять $O$ быть пересечением этих двух прямых. Присоединяйтесь к баллам $O$ и $P_{j}$ . По конструкции, ${\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}$ является параллелограммом и, следовательно, ${\overline {OP_{k}P_{i}}}$ и ${\overline {OP_{l}P_{i}}}$ являются равными треугольниками. Таким образом, тетраэдр $X$ и $Y={\overline {OP_{i}P_{j}P_{k}}}$ равны по объему.

Как следствие, количество $R_{ij}$ равна высоте от точки $P_{k}$ к лицу ${\overline {OP_{i}P_{j}}}$ тетраэдра $Y$ ; это показано переводом отрезка прямой ${\overline {P_{ij}P_{kl}}}$ .

По формуле объема тетраэдр $Y$ удовлетворяет следующему соотношению: $3V=R_{ij}\times \Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})$ где $\Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})$ это площадь треугольника ${\overline {OP_{i}P_{j}}}$ . Поскольку длина отрезка ${\overline {OP_{i}}}$ равно $d_{kl}$ (как ${\overline {OP_{i}P_{l}P_{k}}}$ является параллелограммом): $\Delta ({\overline {OP_{i}P_{j}}})={\frac {1}{2}}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda$ где $\lambda =\angle OP_{i}P_{j}$ . Таким образом, предыдущее соотношение становится: $6V=R_{ij}d_{ij}d_{kl}\sin \lambda$ Чтобы получить $\sin \lambda$ , рассмотрим два сферических треугольника:

Возьмем сферический треугольник тетраэдра. $X$ в точку $P_{i}$ ; у него будут стороны $\alpha _{i,j},\alpha _{i,k},\alpha _{i,l}$ и противоположные углы $\theta _{ij},\theta _{ik},\theta _{il}$ . По сферическому закону косинусов: $\cos \alpha _{i,k}=\cos \alpha _{i,j}\cos \alpha _{i,l}+\sin \alpha _{i,j}\sin \alpha _{i,l}\cos \theta _{ik}$
Возьмем сферический треугольник тетраэдра. $X$ в точку $P_{i}$ . Стороны даны $\alpha _{i,l},\alpha _{k,j},\lambda$ и единственный известный противоположный угол - это угол $\lambda$ , заданный $\pi -\theta _{ik}$ . По сферическому закону косинусов: $\cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}\cos \alpha _{k,j}-\sin \alpha _{i,l}\sin \alpha _{k,j}\cos \theta _{ik}$

Объединение двух уравнений дает следующий результат: $\cos \alpha _{i,k}\sin \alpha _{k,j}+\cos \lambda \sin \alpha _{i,j}=\cos \alpha _{i,l}\left(\cos \alpha _{i,j}\sin \alpha _{k,j}+\sin \alpha _{i,j}\cos \alpha _{k,j}\right)=\cos \alpha _{i,l}\sin \alpha _{l,j}$

Изготовление $\cos \lambda$ предмет: $\cos \lambda =\cos \alpha _{i,l}{\frac {\sin \alpha _{l,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}-\cos \alpha _{i,k}{\frac {\sin \alpha _{k,j}}{\sin \alpha _{i,j}}}$ Таким образом, используя закон косинуса и некоторые основы тригонометрии: $\cos \lambda ={\frac {d_{ij}^{2}+d_{ik}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{ik}}}{\frac {d_{ik}}{d_{kl}}}-{\frac {d_{ij}^{2}+d_{il}^{2}-d_{jl}^{2}}{2d_{ij}d_{il}}}{\frac {d_{il}}{d_{kl}}}={\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}$ Таким образом: $\sin \lambda ={\sqrt {1-\left({\frac {d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2}}{2d_{ij}d_{kl}}}\right)^{2}}}={\frac {\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}{2d_{ij}d_{kl}}}$ Так: $R_{ij}={\frac {12V}{\sqrt {4d_{ij}^{2}d_{kl}^{2}-(d_{ik}^{2}+d_{jl}^{2}-d_{il}^{2}-d_{jk}^{2})^{2}}}}$ $R_{ik}$ и $R_{il}$ получаются перестановкой длин ребер.

Обратите внимание, что знаменатель представляет собой переформулировку формулы Бретшнайдера-фон Штаудта , которая оценивает площадь общего выпуклого четырехугольника.

Ссылки

^ Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ричардсон, Г. (1 марта 1902 г.). «Тригонометрия тетраэдра» . Математический вестник . 2 (32): 149–158. дои : 10.2307/3603090 . JSTOR 3603090 .
^ 100 великих задач элементарной математики . Нью-Йорк: Dover Publications. 01.06.1965. ISBN 9780486613482 .
^ Рассат, Андре; Фаулер, Патрик В. (2004). «Существует ли «самый киральный тетраэдр»?». Химия: Европейский журнал . 10 (24): 6575–6580. дои : 10.1002/chem.200400869 . ПМИД 15558830 .
^ Ли, Юнг Рай (июнь 1997 г.). «Закон косинусов в тетраэдре». J. Korea Soc. Математика. Образование. Сер. B: Чистое приложение. Математика . 4 (1): 1–6. ISSN 1226-0657 .

[:0-1] Jump up to: Перейти обратно: ^а ^б ^с Ричардсон, Г. (1 марта 1902 г.). «Тригонометрия тетраэдра» . Математический вестник . 2 (32): 149–158. дои : 10.2307/3603090 . JSTOR 3603090 .

[2] 100 великих задач элементарной математики . Нью-Йорк: Dover Publications. 01.06.1965. ISBN 9780486613482 .

[3] Рассат, Андре; Фаулер, Патрик В. (2004). «Существует ли «самый киральный тетраэдр»?». Химия: Европейский журнал . 10 (24): 6575–6580. дои : 10.1002/chem.200400869 . ПМИД 15558830 .

[4] Ли, Юнг Рай (июнь 1997 г.). «Закон косинусов в тетраэдре». J. Korea Soc. Математика. Образование. Сер. B: Чистое приложение. Математика . 4 (1): 1–6. ISSN 1226-0657 .

[1]

[2]

[3]

[4]