Предельная точка (геометрия)
В геометрии предельные точки двух непересекающихся окружностей A и B на евклидовой плоскости — это точки p , которые могут определяться любым из следующих эквивалентных свойств:
- Пучок окружностей, определенный A и B, содержит вырожденную (нулевого радиуса) окружность с центром в точке p . [1]
- Каждая окружность или линия, перпендикулярная A проходит и B, через p . [2]
- Инверсия преобразует с центром в точке p A и B в концентрические круги . [3]
Середина двух предельных точек — это точка, в которой ось A радикальная и B пересекает линию, проходящую через их центры. Эта точка пересечения имеет одинаковое степенное расстояние до всех кругов в карандаше, A и B. содержащих Сами предельные точки можно найти на этом расстоянии по обе стороны от точки пересечения, на линии, проходящей через два центра окружностей. Исходя из этого факта, нетрудно построить предельные точки алгебраически или с помощью циркуля и линейки . [4] Явную формулу, выражающую предельные точки как решение квадратного уравнения в координатах центров окружностей и их радиусах, дает Вейсштейн. [5]
Инверсия одной из двух предельных точек через A или B приводит к созданию другой предельной точки. Инверсия с центром в одной предельной точке отображает другую предельную точку в общий центр концентрических окружностей. [6]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Кулидж, Джулиан Лоуэлл (1916), Трактат о круге и сфере , Oxford Clarendon Press, стр. 97 .
- ^ Это следует из определения карандаша, а также из того факта, что каждый карандаш имеет уникальный ортогональный карандаш; видеть Швердтфегер, Ганс (1979), Геометрия комплексных чисел , Дувр , Следствие, стр. 31.
- ^ Швердтфегер (1979) , Пример 2, с. 32.
- ^ Джонстон, Джон К. (1993), «Новый алгоритм пересечения циклид и поверхностей сметания с использованием разложения по кругу» (PDF) , Компьютерное геометрическое проектирование , 10 (1): 1–24, doi : 10.1016/0167-8396(93) )90049-9 , МР 1202965 .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Предельная точка» . Математический мир .
- ^ Годфри, К.; Сиддонс, AW (1908), Современная геометрия , University Press, Ex. 473, с. 109, ОЛ 6525169М .
 | Эта элементарной геометрии статья, посвященная , незавершена . Вы можете помочь Википедии, расширив ее . |