Полиномиальное диофантово уравнение

В математике полиномиальное диофантово уравнение — это неопределенное полиномиальное уравнение , для которого ищутся решения, ограниченные полиномами от неопределенного. , Диофантово уравнение как правило, — это уравнение, решения которого ограничены некоторой алгебраической системой, обычно целыми числами. В другом использовании) Диофантин относится к эллинистическому математику III века Диофанту Александрийскому ( , который провел первоначальные исследования целочисленных диофантовых уравнений.

Важный тип полиномиальных диофантовых уравнений имеет вид:

$sa+tb=c$

где a , b и c — известные полиномы, и мы хотим найти s и t .

Простой пример (и решение):

$s(x^{2}+1)+t(x^{3}+1)=2x$

$s=-x^{3}-x^{2}+x$

$t=x^{2}+x.$

Необходимое и достаточное условие для того, чтобы полиномиальное диофантово уравнение имело решение, состоит в том, чтобы было кратным НОД a b и c . В приведенном выше примере НОД a и b был равен 1, поэтому решения будут существовать для любого значения c.

Решения полиномиальных диофантовых уравнений не единственны. Любое кратное $ab$ (сказать $rab$) можно использовать для преобразования $s$ и $t$ в другое решение $s'=s+rb$ $t'=t-ra$:

$(s+rb)a+(t-ra)b=c.$

Некоторые полиномиальные диофантовы уравнения можно решить с помощью расширенного алгоритма Евклида , который работает как с полиномами, так и с целыми числами.

Ссылки

• Бронштейн, Мануэль (2005). Символическая интеграция I . Спрингер . стр. 12–14. ISBN  3-540-21493-3 .