Музыка и математика

Теория музыки анализирует высоту звука , ритм и структуру музыки. Он использует математику для изучения таких элементов музыки, как темп , последовательность аккордов , форма и размер . Попытка структурировать и передать новые способы сочинения и прослушивания музыки привела к музыкальным применениям теории множеств , абстрактной алгебры и теории чисел .

Хотя теория музыки не имеет аксиоматической основы в современной математике, основу музыкального звука можно описать математически (с использованием акустики ) и она демонстрирует «замечательный набор числовых свойств». ^[1]

История [ править ]

Хотя известно, что древние китайцы, индийцы, египтяне и жители Месопотамии изучали математические принципы звука, ^[2] пифагорейцы частности (в Филолай и Архит ) ^[3] Древнейшие греки были первыми исследователями, которые, как известно, исследовали выражение музыкальных гамм с точки зрения числовых соотношений . ^[4] особенно отношения небольших целых чисел. Их центральная доктрина заключалась в том, что «вся природа состоит из гармонии, возникающей из чисел». ^[5]

Со времен Платона гармония считалась фундаментальной отраслью физики , ныне известной как музыкальная акустика . Ранние индийские и китайские теоретики придерживались схожих подходов: все они стремились показать, что математические законы гармоник и ритмов имеют фундаментальное значение не только для нашего понимания мира, но и для человеческого благополучия. ^[6] Конфуций , как и Пифагор, считал маленькие числа 1,2,3,4 источником всякого совершенства. ^[7]

Время, ритм и размер [ править ]

Без границ ритмической структуры – фундаментального равного и регулярного расположения импульсов повторения , акцента , фразы и длительности – музыка была бы невозможна. ^[8] Современное музыкальное использование таких терминов, как метр и мера, также отражает историческую важность музыки, наряду с астрономией, в развитии счета, арифметики и точного измерения времени и периодичности , которые являются фундаментальными для физики. ^{[ нужна ссылка ]}

Элементы музыкальной формы часто строят строгие пропорции или гиперметрические структуры (степени чисел 2 и 3). ^[9]

Музыкальная форма [ править ]

Музыкальная форма – это план, по которому развивается короткое музыкальное произведение. Термин «план» также используется в архитектуре, с которой часто сравнивают музыкальную форму. Как и архитектор, композитор должен учитывать функцию, для которой предназначено произведение, и доступные средства, соблюдая экономию и используя повторение и порядок. ^[10] Распространенные типы форм, известные как бинарные и троичные («двойные» и «тройные»), еще раз демонстрируют важность малых целостных значений для разборчивости и привлекательности музыки. ^[11]^[12]

Частота и гармония [ править ]

Фигуры Хладни, полученные звуковыми колебаниями из мелкодисперсного порошка на квадратной пластине. ( Эрнст Хладни , *Акустика* , 1802 г.)

— Музыкальная гамма это дискретный набор тонов, используемый при создании или описании музыки. Наиболее важной гаммой в западной традиции является диатоническая гамма , но многие другие использовались и предлагались в различные исторические эпохи и части мира. Каждый тон соответствует определенной частоте, выраженной в герцах (Гц), которую иногда называют циклами в секунду (имп/с). Гамма имеет интервал повторения, обычно октаву . Октава . любой высоты соответствует частоте, ровно в два раза превышающей данную высоту

Последующие супероктавы — это высоты звука, встречающиеся на частотах в четыре, восемь, шестнадцать и т. д. от основной частоты. Высоты на частотах половины, четверти, восьмой и т. д. основного тона называются субоктавами. В музыкальной гармонии не существует случая, когда, если данную высоту считать соответствующей, то ее октавы считались бы иначе. Поэтому любая нота и ее октавы обычно имеют одинаковые названия в музыкальных системах (например, все они будут называться до , ля или са , в зависимости от обстоятельств).

Если выражать полосу частот, октава A ₂ –A ₃ охватывает диапазон от 110 Гц до 220 Гц (диапазон = 110 Гц). Следующая октава будет находиться в диапазоне от 220 Гц до 440 Гц (диапазон = 220 Гц). Третья октава находится в диапазоне от 440 Гц до 880 Гц (диапазон = 440 Гц) и так далее. Каждая последующая октава охватывает вдвое больший диапазон частот, чем предыдущая октава.

Экспоненциальный характер октав при измерении по линейной шкале частот.

На этой диаграмме октавы представлены в виде музыкальных интервалов, расположенных на одинаковом расстоянии друг от друга.

Поскольку при описании гаммы нас часто интересуют отношения или соотношения между высотами звука (известные как интервалы ), а не сами точные высоты звука, обычно ко всем высотам гаммы относятся с точки зрения их отношения к определенной высоте, которая присваивается значение единицы (часто пишется 1/1 ), обычно это нота, которая действует как тоника гаммы. Для сравнения размеров интервалов центы часто используются .

Общий срок	Пример имя	Ч з	Несколько фундаментальный	Соотношение в пределах октавы	центы в пределах октавы
Фундаментальный	А ₂	110	$1x$	$1/1=1x$	0
Октава	A_А3	220	$2x$	$2/1=2x$	1200
Октава	A_А3	220	$2x$	$2/2=1x$	0
Идеальная пятая	Е ₄	330	$3x$	$3/2=1.5x$	702
Октава	A ₄	440	$4x$	$4/2=2x$	1200
Октава	A ₄	440	$4x$	$4/4=1x$	0
Майор Третий	C ♯ ₅	550	$5x$	$5/4=1.25x$	386
Идеальная пятая	E_Е5	660	$6x$	$6/4=1.5x$	702
Гармоническая седьмая	Г ₅	770	$7x$	$7/4=1.75x$	969
Октава	A_А5	880	$8x$	$8/4=2x$	1200
Октава	A_А5	880	$8x$	$8/8=1x$	0

Системы тюнинга [ править ]

Существует два основных семейства систем настройки: равнотемперированная и справедливая настройка . Гаммы равной темперации строятся путем деления октавы на интервалы, равные в логарифмическом масштабе , в результате чего гаммы разделены совершенно равномерно, но с соотношением частот, представляющим собой иррациональные числа . Просто шкалы строятся путем умножения частот на рациональные числа , в результате чего получаются простые соотношения между частотами, но с неравномерными делениями шкалы.

Одним из основных различий между настройками равной темперации и простыми настройками является разница в акустическом ритме , когда две ноты звучат вместе, что влияет на субъективное восприятие консонанса и диссонанса . Обе эти системы, как и подавляющее большинство музыки в целом, имеют гаммы, которые повторяются с интервалом каждой октавы , что определяется как соотношение частот 2:1. Другими словами, каждый раз, когда частота увеличивается вдвое, заданный масштаб повторяется.

Ниже приведены файлы Ogg Vorbis, демонстрирующие разницу между простой интонацией и равным темпераментом. Возможно, вам придется проиграть сэмплы несколько раз, прежде чем вы сможете обнаружить разницу.

Последовательно воспроизводятся две синусоидальные волны - в этом сэмпле полутон имеет частоту 550 Гц (C ♯ в шкале справедливой интонации), за которым следует полутон на частоте 554,37 Гц (C ♯ в шкале равной темперации).
Те же две ноты, положенные на педаль A440 – этот сэмпл состоит из « диады ». Нижняя нота — постоянная ля (440 Гц в любой гамме), верхняя — до ♯ в равнотемперированной гамме для первого 1 дюйма и до ♯ в точной интонационной гамме для последней 1 дюйма. Разности фаз облегчают обнаружение перехода, чем в предыдущем примере.

Просто настройки [ править ]

Первые 16 гармоник, их названия и частоты, показывающие экспоненциальную природу октавных и простую дробную природу неоктавных гармоник.

5-предельная настройка , наиболее распространенная форма простой интонации , представляет собой систему настройки с использованием тонов, которые представляют собой регулярные числовые гармоники одной основной частоты . Это был один из масштабов, представленных Иоганном Кеплером в его «Гармониях мира» (1619 г.) в связи с движением планет. Та же самая шкала в транспонированной форме была дана шотландским математиком и теоретиком музыки Александром Малькольмом в 1721 году в его «Трактате о музыке: спекулятивном, практическом и историческом». ^[13] и теоретик Хосе Вюршмидт в 20 веке. Его форма используется в музыке северной Индии.

Американский композитор Терри Райли также использовал его перевернутую форму в своей «Арфе Нового Альбиона». небольшая или отсутствует Чистая интонация дает превосходные результаты, когда последовательность аккордов : голоса и другие инструменты, когда это возможно, тяготеют к простой интонации. Однако он дает два разных целых тональных интервала (9:8 и 10:9), поскольку инструмент с фиксированной настройкой, например фортепиано, не может менять тональность. ^[14] Чтобы вычислить частоту ноты в гамме, заданной в виде отношений, соотношение частот умножается на частоту тона. Например, для тоники A4 (естественная нота выше средней C) частота равна 440 Гц , а правильно настроенная квинта выше нее (E5) равна просто 440×(3:2) = 660 Гц.

Полутон	Соотношение	Интервал	Естественный	Полшага
0	1:1	унисон	480	0
1	16:15	полутон	512	16:15
2	9:8	главная секунда	540	135:128
3	6:5	малая треть	576	16:15
4	5:4	главная треть	600	25:24
5	4:3	идеальная четвертая	640	16:15
6	45:32	диатонический тритон	675	135:128
7	3:2	идеальная пятая часть	720	16:15
8	8:5	малая шестая	768	16:15
9	5:3	мажорная шестая	800	25:24
10	9:5	малая седьмая	864	27:25
11	15:8	мажорная седьмая	900	25:24
12	2:1	октава	960	16:15

Пифагорейская настройка — это настройка, основанная только на идеальных созвучиях, (совершенной) октаве, идеальной квинте и идеальной кварте. Таким образом, большая терция считается не терцией, а дитоном, буквально «двумя тонами», и составляет (9:8). ² = 81:64, а не независимый и гармоничный просто 5:4 = 80:64 прямо под ним. Целый тон — это вторичный интервал, полученный из двух чистых пятых минус октава (3:2). ²/2 = 9:8.

Только большая треть, 5:4, и второстепенная треть, 6:5, представляют собой синтонную запятую , 81:80, за исключением их пифагорейских эквивалентов 81:64 и 32:27 соответственно. По словам Карла Дальхауса (1990 , стр. 187), «зависимая терция соответствует пифагорейской, независимая терция — гармонической настройке интервалов».

Западная обычная музыка обычно не может играться только интонацией, она требует систематически выдержанной гаммы. Темперирование может включать либо нарушения хорошего темперамента , либо быть построено как правильный темперамент , либо некую форму равного темперамента , либо какой-то другой правильный средний темперамент, но во всех случаях он будет включать фундаментальные черты среднего темперамента . Например, основной тон аккорда ii , настроенный на квинту выше доминанты, будет представлять собой целый мажорный тон (9:8) выше тоники. Однако, если настроить на минорную треть (6:5) ниже субдоминантной степени 4:3, интервал тоники будет равен целому минорному тону (10:9). Темперамент Meantone уменьшает разницу между 9:8 и 10:9. Их соотношение (9:8)/(10:9) = 81:80 считается унисоном. Интервал 81:80, называемый синтонной запятой или запятой Дидима, является ключевой запятой среднего темперамента.

Равномерные настройки темперамента [ править ]

В равнотемперированном октава делится на равные части в логарифмическом масштабе. Хотя можно построить равнотемперированную гамму с любым количеством нот (например, 24-тоновая арабская тоновая система ), наиболее распространенным числом является 12, которое составляет равнотемперированную хроматическую гамму . В западной музыке обычно предполагается разделение на двенадцать интервалов, если не указано иное.

В хроматической гамме октава делится на двенадцать равных частей, каждый полутон (полутон) представляет собой интервал корня двенадцатой степени из двух, так что двенадцать таких равных полутонов в сумме составляют ровно октаву. При работе с ладовыми инструментами очень полезно использовать одинаковую темперацию, чтобы лады равномерно располагались по струнам. В европейской музыкальной традиции равнотемперация использовалась для музыки на лютне и гитаре гораздо раньше, чем для других инструментов, например музыкальных клавишных инструментов . Из-за этой исторической силы двенадцатитоновая равнотемперация в настоящее время является доминирующей интонационной системой в западном и в большей части незападного мира.

Использовались одинаково темперированные гаммы и инструменты, построенные с использованием различного другого количества равных интервалов. 19 равных темпераций , впервые предложенных и использованных Гийомом Костли в 16 веке, используют 19 равноотстоящих друг от друга тонов, предлагая лучшие мажорные трети и гораздо лучшие второстепенные трети, чем обычная 12-полутоновая равная темперация за счет более плоской квинты. Общий эффект является одним из большего созвучия. Двадцать четыре равнотемперированных , с двадцатью четырьмя равноотстоящими друг от друга тонами широко распространены в педагогике и нотации арабской музыки . Однако в теории и на практике интонация арабской музыки соответствует рациональным пропорциям , в отличие от иррациональных пропорций равнотемперированных систем. ^[15]

Хотя какой-либо аналог одинаково темперированного четвертьтона полностью отсутствует в арабских системах интонации, часто встречаются аналоги трехчетвертного тона или нейтральной секунды . Однако соотношение этих нейтральных секунд немного различается в зависимости от макама , а также от географии. Действительно, историк арабской музыки Хабиб Хасан Тума писал, что «широта отклонения этого музыкального шага является важнейшим компонентом своеобразного аромата арабской музыки. Чтобы смягчить гамму, разделив октаву на двадцать четыре четверти тона одинакового размера. было бы отказаться от одного из наиболее характерных элементов этой музыкальной культуры». ^[15]

53 равных темперамента возникают из почти равенства 53 идеальных квинт с 31 октавой и были отмечены Цзин Фаном и Николасом Меркатором .

с математикой Связь

Теория множеств [ править ]

использует язык математической теории множеств Теория музыкальных множеств элементарно для организации музыкальных объектов и описания их отношений. Анализ структуры музыкального произведения (обычно атонального) с использованием теории музыкальных множеств обычно начинается с набора тонов, которые могут образовывать мотивы или аккорды. Применяя простые операции, такие как транспонирование и инверсия , можно обнаружить в музыке глубокие структуры. Такие операции, как транспонирование и инверсия, называются изометриями , поскольку они сохраняют интервалы между тонами в наборе.

Абстрактная алгебра [ править ]

Развивая методы теории музыкальных множеств, некоторые теоретики использовали абстрактную алгебру для анализа музыки. Например, классы высоты звука в одинаково темперированной октаве образуют абелеву группу из 12 элементов. можно описать Именно интонацию в терминах свободной абелевой группы . ^[16]^[17]

Трансформационная теория — раздел теории музыки, разработанный Дэвидом Левином . Теория допускает большую общность, поскольку она подчеркивает трансформации между музыкальными объектами, а не сами музыкальные объекты.

Теоретики также предложили музыкальные применения более сложных алгебраических концепций. Теория регулярных темпераментов была широко развита с использованием широкого спектра сложных математических методов, например, путем сопоставления каждого регулярного темперамента с рациональной точкой на грассманиане .

Хроматическая гамма обладает свободным и транзитивным действием циклической группы. $\mathbb {Z} /12\mathbb {Z}$ , при этом действие определяется перестановкой нот. Таким образом, хроматическую гамму можно рассматривать как торсор группы.

Числа и серии [ править ]

Некоторые композиторы включили в свои произведения золотое сечение и числа Фибоначчи . ^[18]^[19]

Теория категорий [ править ]

Математик топологии и музыковед Гуэрино Маццола использовал теорию категорий ( теорию топоса ) в качестве основы теории музыки, которая включает использование как основы теории ритма и мотивов , а также дифференциальной геометрии как основы теории музыкальной фразировки , темпа. и интонация . ^[20]

которые были или также являются математиками выдающимися Музыканты ,

Альберт Эйнштейн – выдающийся пианист и скрипач.
Арт Гарфанкел ( Саймон и Гарфанкел ) – магистр математического образования, Колумбийский университет
Брайан Мэй ( Королева ) — бакалавр (с отличием) по математике и физике, доктор философии по астрофизике, оба Имперского колледжа Лондона .
Дэн Снэйт – доктор математики, Имперский колледж Лондона
Делия Дербишир — степень бакалавра математики и музыки , Кембриджский университет .
Джонни Бакленд ( Coldplay ) — изучал астрономию и математику в Университетском колледже Лондона .
Кит Армстронг — степень в области музыки и степень магистра математики.
Манджул Бхаргава — играет на табле , выиграл медаль Филдса в 2014 году.
Фил Элвин ( «Бластеры» ) – математика, Калифорнийский университет, Лос-Анджелес
Филип Гласс – изучал математику и философию в Чикагском университете .
Том Лерер – бакалавр математики Гарвардского университета .
Уильям Гершель - астроном, игравший на гобое, скрипке, клавесине и органе. Он написал 24 симфонии и множество концертов, а также церковную музыку.
Джером Хайнс - Пять статей, опубликованных в журнале Mathematics Magazine 1951–1956 гг.
Дональд Кнут - Кнут органист и композитор. В 2016 году он написал музыкальное произведение для органа Fantasia Apocalyptica. Премьера состоялась 10 января 2018 года в Швеции.

См. также [ править ]

Вычислительное музыковедение
Равный темперамент
Евклидовы ритмы (традиционные музыкальные ритмы, генерируемые алгоритмом Евклида )
Поиск гармонии
Интервал (музыка)
Список музыкального программного обеспечения
Математика и искусство
Музыкальный тюнинг
Непифагорова шкала
Частоты клавиш фортепиано
Ритм
Игра в бисер
3-й мост (гармонический резонанс, основанный на равных делениях струн)
Тональность бриллиант
Тоннец
Утональность и отональность

Музыкальный портал

Ссылки [ править ]

^ Реджинальд Смит Бриндл , Новая музыка , Oxford University Press, 1987, стр. 42–43.
^ Реджинальд Смит Бриндл, Новая музыка , Oxford University Press, 1987, стр. 42
^ Пурвинс, Хендрик (2005). Профили классов высоты тона. Круглость относительной высоты тона и эксперименты с тональностью, модели, вычислительный музыкальный анализ и перспективы (PDF) . стр. 22–24.
^ Платон (пер. Десмонд Ли) Республика , Harmondsworth Penguin 1974, стр. 340, примечание.
^ Сэр Джеймс Джинс, Наука и музыка , Дувр, 1968, стр. 154.
^ Ален Даниэлу, Введение в изучение музыкальных гамм , Mushiram Manoharlal 1999, Глава 1, проход .
^ Сэр Джеймс Джинс, Наука и музыка , Дувр, 1968, стр. 155.
^ Арнольд Уиттолл, в The Oxford Companion to Music , OUP, 2002, Статья: Ритм
^ "Александр Виноград, Многообразие проявлений музыкального метра (LAP Lambert Academic Publishing, 2013)" .
^ Имоджен Холст, Азбука музыки , Оксфорд, 1963, стр. 100
^ Дрейфус, Томми; Айзенберг, Теодор (1986). «Об эстетике математической мысли» . Для изучения математики . 6 (1): 2–10. ISSN 0228-0671 . JSTOR 40247796 .
^ Крокер, Ричард Л. (1963). «Пифагорейская математика и музыка» . Журнал эстетики и художественной критики . 22 (2): 189–198. дои : 10.2307/427754 . ISSN 0021-8529 . JSTOR 427754 .
^ Малькольм, Александр; Митчелл, г-н (Джозеф) (25 мая 2018 г.). «Трактат о музыке, умозрительной, практической и исторической» . Эдинбург: Напечатано для автора – из Интернет-архива.
^ Джереми Монтегю, в The Oxford Companion to Music , OUP 2002, Статья: просто интонация .
^ Jump up to: ^а ^б Тома, Хабиб Хасан (1996). Музыка арабов . Портленд, Орегон: Amadeus Press. стр. 22–24. ISBN 0-931340-88-8 .
^ «Алгебра тональных функций» .
^ «Гармонический предел» .
^ Реджинальд Смит Бриндл, Новая музыка , Oxford University Press, 1987, глава 6, проход
^ «Эрик – Математика и музыка: гармоничные связи» .
^ Маццола, Гуэрино (2018), Топос музыки: геометрическая логика концепций, теории и исполнения

Дальхаус, Карл. 1990. Вагнеровская концепция музыкальной драмы . Немецкое издательство в мягкой обложке. Кассель: Беренрайтер. ISBN 9783423045384 ; ISBN 9783761845387 .
Айвор Граттан-Гиннесс (1995) «Моцарт 18, Бетховен 32: Скрытые тени целых чисел в классической музыке», страницы с 29 по 47 в «Истории математики: состояния искусства» , Джозеф В. Добен , Менсо Фолкертс, Эберхард Кноблох и Ганс Вуссинг редакторы Академической прессы ISBN 0-12-204055-4

Внешние ссылки [ править ]

Аксиоматическая теория музыки С.М. Немати
Музыка и математика Томаса Э. Фиоре
Двенадцатитоновая музыкальная гамма.
Сонантометрия или музыка как математическая дисциплина.
Музыка: математическое предложение Дэйва Бенсона .
Николаус Меркатор использует теорию отношений в музыке при конвергенции
Игра в бисер Герман Гессе отдал музыке и математике решающую роль в разработке своей игры в бисер.
Гармония и пропорция. Пифагор, Музыка и пространство .
«Линейная алгебра и музыка»
Notefreqs — Полная таблица частот и соотношений нот для миди, фортепиано, гитары, баса и скрипки. Включает размеры ладов (в см и дюймах) строительных инструментов.
Математика и музыка , дискуссия на BBC Radio 4 с Маркусом дю Сотой, Робином Уилсоном и Рут Татлоу ( В наше время , 25 мая 2006 г.)
Измерение сходства нот с положительно определенными ядрами , Измерение сходства нот с положительно определенными ядрами

[1] Реджинальд Смит Бриндл , Новая музыка , Oxford University Press, 1987, стр. 42–43.

[2] Реджинальд Смит Бриндл, Новая музыка , Oxford University Press, 1987, стр. 42

[purwins-3] Пурвинс, Хендрик (2005). Профили классов высоты тона. Круглость относительной высоты тона и эксперименты с тональностью, модели, вычислительный музыкальный анализ и перспективы (PDF) . стр. 22–24.

[4] Платон (пер. Десмонд Ли) Республика , Harmondsworth Penguin 1974, стр. 340, примечание.

[5] Сэр Джеймс Джинс, Наука и музыка , Дувр, 1968, стр. 154.

[6] Ален Даниэлу, Введение в изучение музыкальных гамм , Mushiram Manoharlal 1999, Глава 1, проход .

[7] Сэр Джеймс Джинс, Наука и музыка , Дувр, 1968, стр. 155.

[8] Арнольд Уиттолл, в The Oxford Companion to Music , OUP, 2002, Статья: Ритм

[9] "Александр Виноград, Многообразие проявлений музыкального метра (LAP Lambert Academic Publishing, 2013)" .

[10] Имоджен Холст, Азбука музыки , Оксфорд, 1963, стр. 100

[11] Дрейфус, Томми; Айзенберг, Теодор (1986). «Об эстетике математической мысли» . Для изучения математики . 6 (1): 2–10. ISSN 0228-0671 . JSTOR 40247796 .

[12] Крокер, Ричард Л. (1963). «Пифагорейская математика и музыка» . Журнал эстетики и художественной критики . 22 (2): 189–198. дои : 10.2307/427754 . ISSN 0021-8529 . JSTOR 427754 .

[13] Малькольм, Александр; Митчелл, г-н (Джозеф) (25 мая 2018 г.). «Трактат о музыке, умозрительной, практической и исторической» . Эдинбург: Напечатано для автора – из Интернет-архива.

[14] Джереми Монтегю, в The Oxford Companion to Music , OUP 2002, Статья: просто интонация .

[Touma_1996_22–24-15] Jump up to: ^а ^б Тома, Хабиб Хасан (1996). Музыка арабов . Портленд, Орегон: Amadeus Press. стр. 22–24. ISBN 0-931340-88-8 .

[16] «Алгебра тональных функций» .

[17] «Гармонический предел» .

[18] Реджинальд Смит Бриндл, Новая музыка , Oxford University Press, 1987, глава 6, проход

[19] «Эрик – Математика и музыка: гармоничные связи» .

[20] Маццола, Гуэрино (2018), Топос музыки: геометрическая логика концепций, теории и исполнения

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

v т и Основные математики области
History Timeline Future Lists Glossary
Foundations	Category theory Information theory Mathematical logic Philosophy of mathematics Set theory Type theory
Algebra	Abstract Commutative Elementary Group theory Linear Multilinear Universal Homological
Analysis	Calculus Real analysis Complex analysis Hypercomplex analysis Differential equations Functional analysis Harmonic analysis Measure theory
Discrete	Combinatorics Graph theory Order theory
Geometry	Algebraic Analytic Arithmetic Differential Discrete Euclidean Finite
Number theory	Arithmetic Algebraic number theory Analytic number theory Diophantine geometry
Topology	General Algebraic Differential Geometric Homotopy theory
Applied	Engineering mathematics Mathematical biology Mathematical chemistry Mathematical economics Mathematical finance Mathematical physics Mathematical psychology Mathematical sociology Mathematical statistics Probability Statistics Systems science Control theory Game theory Operations research
Computational	Computer science Theory of computation Computational complexity theory Numerical analysis Optimization Computer algebra
Related topics	Mathematicians lists Informal mathematics Films about mathematicians Recreational mathematics Mathematics and art Mathematics education
Mathematics portal Category Commons WikiProject