Суперчастичное соотношение

В математике суперчастное отношение , также называемое суперчастным числом или эпиморическим отношением , представляет собой отношение двух последовательных целых чисел .

Более конкретно, это соотношение имеет вид:

{\frac {n+1}{n}}=1+{\frac {1}{n}}

где

n

— положительное целое число .

Таким образом:

Сверхчастное число – это когда в большом числе содержится меньшее число, с которым оно сравнивается, и одновременно одна его часть. Например, при сравнении 3 и 2 они содержат 2, плюс к 3 добавляется еще 1, что составляет половину двойки. Когда 3 и 4 сравниваются, каждое из них содержит 3, а 4 имеет еще одну 1, которая является третьей частью 3. Опять же, когда 5 и 4 сравниваются, они содержат число 4, а 5 имеет еще одну 1. , что является четвертой частью числа 4 и т. д.
- Труп (2006), ^[1]

О сверхчастных отношениях писал Никомах в своем трактате «Введение в арифметику» . Хотя эти числа имеют применение в современной чистой математике , областями исследования, которые чаще всего относятся к сверхчастным отношениям под этим названием, является теория музыки. ^[2] и история математики . ^[3]

Математические свойства

Как заметил Леонард Эйлер , суперчастные числа (включая также кратные суперчастные отношения, числа, образованные добавлением целого числа, отличного от единицы, к единичной дроби ) — это в точности те рациональные числа, чья непрерывная дробь заканчивается после двух членов. Числа, чья непрерывная дробь оканчивается одним членом, являются целыми числами, а остальные числа с тремя или более членами в своих непрерывных дробях являются суперчастицами . ^[4]

Продукт Уоллиса

\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdots ={\frac {4}{3}}\cdot {\frac {16}{15}}\cdot {\frac {36}{35}}\cdots =2\cdot {\frac {8}{9}}\cdot {\frac {24}{25}}\cdot {\frac {48}{49}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}

представляет иррациональное число $π$ несколькими способами как произведение суперчастных отношений и их обратных значений . Также возможно преобразовать формулу Лейбница для π в произведение Эйлера суперчастных отношений, в котором каждый член имеет простое число в качестве числителя и ближайшее кратное четырем в качестве знаменателя: ^[5]

{\frac {\pi }{4}}={\frac {3}{4}}\cdot {\frac {5}{4}}\cdot {\frac {7}{8}}\cdot {\frac {11}{12}}\cdot {\frac {13}{12}}\cdot {\frac {17}{16}}\cdots

В теории графов суперчастные числа (точнее, их обратные величины, 1/2, 2/3, 3/4 и т. д.) возникают посредством теоремы Эрдеша – Стоуна как возможные значения верхней плотности бесконечного графа. ^[6]

Другие приложения

При изучении гармонии многие музыкальные интервалы могут быть выражены как сверхчастное соотношение (например, из-за октавной эквивалентности девятая гармоника, 9/1, может быть выражена как сверхчастное соотношение, 9/8). Действительно, то, было ли соотношение сверхчастным, было самым важным критерием в формулировке Птолемеем музыкальной гармонии. ^[7] В этом приложении теорема Стёрмера может использоваться для перечисления всех возможных суперчастных чисел для заданного предела ; то есть все отношения этого типа, в которых и числитель, и знаменатель являются гладкими числами . ^[2]

Эти соотношения также важны для визуальной гармонии. Соотношения сторон 4:3 и 3:2 распространены в цифровой фотографии . ^[8] а соотношения сторон 7:6 и 5:4 используются в фотографиях среднего и большого формата соответственно. ^[9]

Названия соотношений и связанные с ними интервалы

Каждая пара соседних положительных целых чисел представляет собой суперчастное соотношение, и аналогичным образом каждая пара соседних гармоник в гармоническом ряду (музыка) представляет собой суперчастное соотношение. Многие отдельные сверхчастичные отношения имеют собственные названия либо в исторической математике, либо в теории музыки. К ним относятся следующие:

Примеры
Соотношение	центы	Название/музыкальный интервал	Бен Джонстон обозначение над C	Аудио
2:1	1200	дуплекс: ^[а] октава	С'	Duration: 7 seconds.
3:2	701.96	из другой половины: ^[а] идеальная пятая часть	Г	Duration: 7 seconds.
4:3	498.04	сесквитерций: ^[а] идеальная четвертая	Ф	Duration: 0 seconds.
5:4	386.31	полуторный квартум: ^[а] главная треть	И	Duration: 7 seconds.
6:5	315.64	полуторный: ^[а] малая треть	E ♭	Duration: 0 seconds.
7:6	266.87	семимальная малая треть	И ♭	Duration: 0 seconds.
8:7	231.17	семеричная большая секунда	Д -	Duration: 0 seconds.
9:8	203.91	полуторный октав: ^[а] главная секунда	Д	Duration: 0 seconds.
10:9	182.40	полуторная: ^[а] минорный тон	Д-	Duration: 0 seconds.
11:10	165.00	большая недесятичная нейтральная секунда	D ↑ ♭ -	Duration: 0 seconds.
12:11	150.64	меньшая десятичная нейтральная секунда	D ↓	Duration: 0 seconds.
15:14	119.44	семеричный диатонический полутон	С ♯	Duration: 0 seconds.
16:15	111.73	просто диатонический полутон	D ♭ -	Duration: 0 seconds.
17:16	104.96	минорный диатонический полутон	С ♯	Duration: 0 seconds.
21:20	84.47	семеричный хроматический полутон	Д ♭	Duration: 0 seconds.
25:24	70.67	просто хроматический полутон	C ♯	Duration: 0 seconds.
28:27	62.96	семеричный третий тон	Д ♭ -	Duration: 0 seconds.
32:31	54.96	31-я субгармоника , нижний четверть тона	Д ♭ -	Duration: 0 seconds.
49:48	35.70	семеричный диезис	Д ♭	Duration: 0 seconds.
50:49	34.98	семимальный шестой тон	Б ♯ -	Duration: 0 seconds.
64:63	27.26	семеричная запятая , 63-я субгармоника	С -	Duration: 0 seconds.
81:80	21.51	синтонная запятая	С +	Duration: 7 seconds.
126:125	13.79	семеричная запятая	Д	Duration: 0 seconds.
128:127	13.58	127-я субгармоника		Duration: 7 seconds.
225:224	7.71	семеричная клейсма	Б ♯	Duration: 0 seconds.
256:255	6.78	255-я субгармоника	Д -	Duration: 7 seconds.
4375:4374	0.40	рагизма	С ♯ -	Duration: 0 seconds.

Корень некоторых из этих терминов происходит от латинского sesqui- «полтора» (от semis «половина» и -que «и»), описывающего соотношение 3:2.

Примечания

^ Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Древнее имя

Цитаты

^ Труп, Присцилла (2006). Этимологии Исидора Севильского: Полный английский перевод, Том 1 , с. III.6.12, н. 7. ISBN 978-1-4116-6523-1 .
^ Jump up to: ^а ^б Хэлси, Джорджия; Хьюитт, Эдвин (1972). «Подробнее о сверхчастных соотношениях в музыке». Американский математический ежемесячник . 79 (10): 1096–1100. дои : 10.2307/2317424 . JSTOR 2317424 . МР 0313189 .
^ Робсон, Элеонора ; Стедалл, Жаклин (2008), Оксфордский справочник по истории математики , Oxford University Press, ISBN 9780191607448 . На стр. 123–124 в книге обсуждается классификация отношений на различные типы, включая суперчастные отношения, а также традиция, по которой эта классификация передавалась от Никомаха к Боэцию, Кампану, Орему и Клавию.
^ Леонард Эйлер; переведено на английский Майрой Ф. Вайман и Боствиком Ф. Вайманом (1985), «Очерк о цепных дробях» (PDF) , Mathematical Systems Theory , 18 : 295–328, doi : 10.1007/bf01699475 , hdl : 1811/32133 , S2CID 126941824 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) . См., в частности, стр. 304.
^ Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетию , World Scientific, стр. 214, ISBN 9781848165267 .
^ Эрдеш, П .; Стоун, АХ (1946). «О структуре линейных графов» . Бюллетень Американского математического общества . 52 (12): 1087–1091. дои : 10.1090/S0002-9904-1946-08715-7 .
^ Барбур, Джеймс Мюррей (2004), Настройка и темперамент: исторический обзор , Courier Dover Publications, стр. 23, ISBN 9780486434063 Первостепенным принципом настройки Птолемея было использование сверхчастных пропорций. .
^ Анг, Том (2011), Основы цифровой фотографии , Penguin, стр. 107, ISBN 9780756685263 . Энг также отмечает соотношение сторон 16:9 ( широкоэкранное ) как еще один распространенный выбор для цифровой фотографии, но в отличие от 4:3 и 3:2 это соотношение не является чем-то особенным.
^ Соотношение сторон среднего формата 7:6 является одним из нескольких возможных соотношений при использовании пленки среднего формата 120 , а соотношение 5:4 достигается за счет двух распространенных размеров пленки большого формата: 4×5 дюймов и 8×10 дюймов. См., например Шауб, Джордж (1999), Как фотографировать на открытом воздухе в черно-белом режиме , Серия «Как фотографировать», том. 9, Stackpole Books, с. 43, ISBN 9780811724500 .

Внешние ссылки

Сверхчастные числа, для построения пентатонических гамм примененные Дэвидом Кэнрайтом .
De Institutione Arithmetica, книга II Анициуса Манлия Северина Боэция

[Ancient_name-10] Jump up to: ^а ^б ^с ^д ^и ^ж ^г Древнее имя

[1] Труп, Присцилла (2006). Этимологии Исидора Севильского: Полный английский перевод, Том 1 , с. III.6.12, н. 7. ISBN 978-1-4116-6523-1 .

[hh-2] Jump up to: ^а ^б Хэлси, Джорджия; Хьюитт, Эдвин (1972). «Подробнее о сверхчастных соотношениях в музыке». Американский математический ежемесячник . 79 (10): 1096–1100. дои : 10.2307/2317424 . JSTOR 2317424 . МР 0313189 .

[3] Робсон, Элеонора ; Стедалл, Жаклин (2008), Оксфордский справочник по истории математики , Oxford University Press, ISBN 9780191607448 . На стр. 123–124 в книге обсуждается классификация отношений на различные типы, включая суперчастные отношения, а также традиция, по которой эта классификация передавалась от Никомаха к Боэцию, Кампану, Орему и Клавию.

[4] Леонард Эйлер; переведено на английский Майрой Ф. Вайман и Боствиком Ф. Вайманом (1985), «Очерк о цепных дробях» (PDF) , Mathematical Systems Theory , 18 : 295–328, doi : 10.1007/bf01699475 , hdl : 1811/32133 , S2CID 126941824 {{citation}}: CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка ) . См., в частности, стр. 304.

[5] Дебнат, Локенат (2010), Наследие Леонарда Эйлера: дань трехсотлетию , World Scientific, стр. 214, ISBN 9781848165267 .

[6] Эрдеш, П .; Стоун, АХ (1946). «О структуре линейных графов» . Бюллетень Американского математического общества . 52 (12): 1087–1091. дои : 10.1090/S0002-9904-1946-08715-7 .

[7] Барбур, Джеймс Мюррей (2004), Настройка и темперамент: исторический обзор , Courier Dover Publications, стр. 23, ISBN 9780486434063 Первостепенным принципом настройки Птолемея было использование сверхчастных пропорций. .

[8] Анг, Том (2011), Основы цифровой фотографии , Penguin, стр. 107, ISBN 9780756685263 . Энг также отмечает соотношение сторон 16:9 ( широкоэкранное ) как еще один распространенный выбор для цифровой фотографии, но в отличие от 4:3 и 3:2 это соотношение не является чем-то особенным.

[9] Соотношение сторон среднего формата 7:6 является одним из нескольких возможных соотношений при использовании пленки среднего формата 120 , а соотношение 5:4 достигается за счет двух распространенных размеров пленки большого формата: 4×5 дюймов и 8×10 дюймов. См., например Шауб, Джордж (1999), Как фотографировать на открытом воздухе в черно-белом режиме , Серия «Как фотографировать», том. 9, Stackpole Books, с. 43, ISBN 9780811724500 .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[а]