Евклидов ритм

Евклидов ритм в музыке был открыт Годфридом Туссеном в 2004 году и описан в статье 2005 года « Евклидов алгоритм генерирует традиционные музыкальные ритмы». Наибольший общий делитель двух чисел используется ритмически, давая количество долей и пауз, генерируя почти все наиболее важные мировой музыки . ритмы кроме некоторых индийских талас . Доли в результирующих ритмах максимально равноотстоящие; те же результаты можно получить с помощью алгоритма Брезенхэма .

Краткое описание алгоритма

В статье Туссена задача по распространению $k$ бьется внутри $n$ учитываются временные шаги. Учитывая, что $k<n$, поэтому тактов меньше, чем шагов. Возникает вопрос, как распределить эти биения так, чтобы они были как можно более равноудаленными. Это легко, когда $n$ делится ​ на $k$— в данном случае мы распределяем доли так, чтобы они $n/k$ шагах от соседа. В качестве примера ниже приведен евклидов ритм для $n=16$ и $k=4$. Эти доли находятся на расстоянии 4 шагов друг от друга, потому что $n/k=16/4=4$.

[ x . . . x . . . x . . . x . . . ]

Здесь «x» обозначает долю, а «.» представляет собой тишину.

Проблема усложняется, когда $k$ не делит $n$. В этом случае формула $n/k$ не создает целое число, поэтому некоторые доли должны быть немного ближе к одному соседу, чем к другому. Из-за этого доли больше не являются совершенно равноотстоящими. В качестве примера рассмотрим случай, когда $n=13$ и $k=5$. Наивный алгоритм может разместить доли следующим образом:

[ x . x . x . . x . . x . . ]

Хотя технически доли распределены с идеальным интервалом между ними — они находятся либо в двух шагах друг от друга, либо в трех — у нас все еще есть проблема, когда доли «сгущаются» в начале и разносятся в конце. Более конкретное определение понятия «эквидистантность» могло бы потребовать, чтобы эти расстояния («x.» и «x..») также были распределены равномерно.

Наблюдение Туссена заключается в том, что алгоритм Евклида можно использовать для систематического поиска решения для любой задачи. $k$ и $n$ это сводит к минимуму «комкование». Взяв предыдущий пример, где $n=13$ и $k=5$ выполняем алгоритм Евклида:

${\begin{aligned}&&n=13,\ k=5\\n&=q_{0}k+r_{0}\implies &q_{0}=2,\ r_{0}=3\\k&=q_{1}r_{0}+r_{1}\implies &q_{1}=1,\ r_{1}=2\\r_{0}&=q_{2}r_{1}+r_{2}\implies &q_{2}=1,\ r_{2}=1\\r_{1}&=q_{3}r_{2}+r_{3}\implies &q_{3}=2,\ r_{3}=0\\\end{aligned}}$

Алгоритм Туссена сначала строит следующий ритм.

[ x x x x x . . . . . . . . ]

Затем, используя последовательность $t=k,r_{0},r_{1},r_{2},...$ мы итеративно берем $t_{n}$ столбцы справа от последовательности и поместите их внизу. Начиная с $t_{0}=k=5$, мы получаем

[ x x x x x . . .
  . . . . .       ]

Далее $t_{1}=r_{0}=3$:

[ x x x x x
  . . . . .
  . . .     ]

Далее $t_{2}=r_{1}=2$:

[ x x x
  . . .
  . . .
  x x
  . .   ]

Здесь процесс останавливается, потому что $t_{3}<2$, т.е. нужно переместить только один столбец. Окончательный рисунок ударов считывается сверху вниз, слева направо:

[ x . . x . x . . x . x . . ]

Другие варианты использования алгоритма Евклида в музыке

В 17 веке Конрад Хенфлинг писал Лейбницу о теории музыки и настройке музыкальных инструментов, используя в своих рассуждениях алгоритм Евклида . Вигго Браун исследовал использование алгоритма Евклида для построения шкал до 4 различных интервалов размеров. Эрв Уилсон исследовал оба, используя соотношения и ступени масштаба, к которым Крейг Грейди применил ритмы на длинные метры.

См. также

• Алгоритмическая композиция
• Полиритмия

Внешние ссылки

• Г.Т. Туссен, Алгоритм Евклида генерирует традиционные музыкальные ритмы , Труды МОСТОВ: Математические связи в искусстве, музыке и науке, Банф, Альберта, Канада, 31 июля по 3 августа 2005 г., стр. 47–56.
• Фил Бальже и Мануэль Одендал («Руины и Везен»). «Генерация африканских ритмов с помощью алгоритма Евклида» . Архивировано из оригинала 14 ноября 2013 г.
• Бенджамин Уордхау (1 сентября 2006 г.). «Музыка и алгоритм Евклида» .
• Ссылки на видеоролики и Flash-приложение для экспериментов с евклидовыми ритмами.
• Демонстрация евклидовых ритмов — интерактивный браузерный инструмент для экспериментов с евклидовыми ритмами.
• Учебник « Алгоритм Евклида генерирует традиционные музыкальные ритмы» Дерека Ривайта
• SoundHelix — бесплатное программное обеспечение для алгоритмического составления случайной музыки, поддерживающее евклидовы ритмы.
• Список евклидовых ритмов - список всех евклидовых ритмов E (i,2–32) с указанием, являются ли они глубокими по Винограду, глубокими по Эрдешу, аутентичным Аксаком, Квази-Аксаком или Псевдо-Аксаком.
• XiiixxiQ: Roundels — это уникальный и бесплатный евклидов секвенсор, который использует суммирование. По теме евклидова алгоритма часто утверждается, что его функция заключается в поиске наиболее равных частей цикла, но я не могу найти этого ни в одной из исторических статей по он предмет. кажется, это не что иное, как определенное количество интервалов делят цикл. Непонятно, откуда взялось это современное предположение. ритмы для управления нелинейным пошаговым секвенсором [1]
• https://anaphoria.com/journal.html#rhythm Статьи Крейга Грейди о евклидовом алгоритме Бруна и связанных с ним моделях MOS, применяемых к ритму.