Обычный темперамент
Регулярный темперамент — это любая умеренная система музыкальной настройки , при которой каждое соотношение частот можно получить как произведение мощностей конечного числа генераторов или генерирующих отношений частот. Например, в 12-TET , музыкальной системе, наиболее часто используемой в западном мире, генератором является темперированная квинта (700 центов), которая является основой квинтового круга .
Когда необходимы только два генератора, один из которых октавный, это называется «линейной темперацией». Самым известным примером линейной темперации является тоновая темперация , где образующие интервалы обычно даются в виде слегка сплющенной квинты и октавы. Другие линейные темпераменты включают раскольнический темперамент Германа фон Гельмгольца и чудодейственный темперамент .
Математическое описание
[ редактировать ]Если генераторами являются все простые числа до заданного простого числа p , мы имеем то, что называется p - предельной интонацией . Иногда какое-то иррациональное число, близкое к одному из этих простых чисел, заменяется (пример смягчения ) в пользу других простых чисел, как в двенадцатитоновой равной темпераменте , где 3 смягчается до 2. 19 ⁄ 12 в пользу 2 или в четверти запятой означает, что 3 смягчается до 2 4 √ 5 в пользу 2 и 5.
В математической терминологии продукты этих генераторов определяют свободную абелеву группу . Число независимых образующих есть ранг абелевой группы . Системы настройки первого ранга представляют собой равные темпераменты , все из которых могут быть объединены только с одним генератором, хотя они не обязательно должны быть равными темпераментами на основе целых чисел. Неоктавные гаммы Венди Карлос , такие как шкала Альфа , используют один генератор, который не суммируется с октавой. У темперамента второго ранга есть два генератора; следовательно, означает, что это темперамент второго ранга. В случае четверти запятой они могут быть выбраны как и .
При изучении регулярных темпераментов может быть полезно рассматривать темперамент как карту от p -предела простой интонации (для некоторого простого числа p ) до набора умеренных интервалов. Для правильной классификации размерности темперамента необходимо определить, сколько из данных генераторов являются независимыми, поскольку его описание может содержать избыточность. Другой способ рассмотрения этой проблемы состоит в том, что ранг темперамента должен быть рангом его образа в этой карте.
Например, настройщик клавесина мог бы подумать о четверти запятой, означающей настройку как имеющую три генератора - октаву, только мажорную треть (5:4) и темперированную квинту в четверть запятой - но поскольку четыре последовательные темперированные квинты дают только мажорную в-третьих, основная терция является избыточной, что сводит ее к темпераменту второго ранга.
и другие методы линейной и полилинейной алгебры К карте можно применить . Например, ядро карты (также известное как «нулевое пространство») состоит из p -предельных интервалов, называемых запятыми , которые являются свойством, полезным при описании темпераментов.
Внешние ссылки
[ редактировать ]- « Регулярный темперамент » на Xenharmonic Wiki .
- А. Милн, В.А. Сетарес и Дж. Пламондон, Изоморфные контроллеры и динамическая настройка — инвариантная аппликатура в континууме настройки , Computer Music Journal, зима 2007 г.
- Холмс, Рич, микротональные шкалы: 2-ступенчатые (MOS) шкалы ранга 2.
- Смит, Джин Уорд, «Регулярные темпераменты»
- Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470-1900 гг . (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice