Темперамент Веркмейстера

Темпераменты Веркмейстера — это системы настройки, описанные Андреасом Веркмайстером в его трудах. Системы настройки нумеруются двумя разными способами: первый относится к порядку, в котором они были представлены как «хорошие темпераменты» в трактате Веркмейстера 1691 года, второй — к их маркировке на его монохорде . Метки монохорда начинаются с III, поскольку только интонация обозначена I, а четверть запятой, означающая тон, обозначена II. Темперамент, широко известный как «Веркмейстер III», в этой статье упоминается как «Веркмейстер I (III)».

Строения I (III), II (IV) и III (V) были представлены графически циклом квинт и списком основных терций , дающих темперамент каждой в долях запятой . Веркмейстер использовал органов обозначение изготовителя : ^ для смягченного вниз или суженного интервала и v для смягченного или расширенного интервала вверх. (Это кажется нелогичным - оно основано на использовании конического настроечного инструмента, который изменяет форму концов труб.) Чистая квинта - это просто тире. Веркмейстер не уточнил, имеется ли в виду синтонная запятая или пифагорейская запятая : разница между ними, так называемая схизма , почти не слышна, и он заявил, что ее можно разделить по пятым частям.

Последняя настройка «Септенариуса» не была задумана в долях запятой, несмотря на попытки некоторых современных авторов аппроксимировать ее каким-либо подобным методом. Вместо этого Веркмайстер непосредственно указал длину струн на монохорде и на основе этого рассчитал, как следует темперировать каждую пятую часть.

Веркмейстер I (III): «правильный темперамент» на основе 1/4 деления запятой.

В этом строе используются преимущественно чистые ( идеальные ) квинты, как в пифагорейском строе , но каждая из квинт C–G, G–D, D–A и B–F ♯ делается меньше, т. е. смягчается на 1/4 запятой. Независимо от того, используется ли пифагорейская запятая или синтонная запятая, получаемые в результате темперированные квинты для всех практических целей такие же, как и средние квинты темперамента . нет Все основные трети достаточно близки к 400 центам, и, поскольку не все квинты темперированы, волчьей квинты , и все 12 нот могут использоваться в качестве тоники.

Веркмайстер назвал эту настройку особенно подходящей для исполнения хроматической музыки (« фиктивная »), что, возможно, привело к ее популярности в качестве настройки для музыки И.С. Баха в последние годы.

Пятый	Закалка	Третий	Закалка
C – G	^	C – E	1 v
Б-Г	^	С ♯ –Ф	4 v
Д – А	^	Д – Ж ♯	2 v
А – Е	-	Д ♯ –Г	3 v
Э – Б	-	Э – Г ♯	3 v
Б – Ж ♯	^	Ф – А	1 v
F ♯ –C ♯	-	F ♯ –B ♭	4 v
C ♯ –G ♯	-	Г – Б	2 v
G ♯ –D ♯	-	Г ♯ –С	4 v
D ♯ –B ♭	-	А – С ♯	3 v
Б ♭ –Ф	-	Б ♭ –Д	2 v
Ф – Ц	-	Б – Д ♯	3 v

Потому что четверть пифагорейской запятой равна ${\sqrt[{4}]{\frac {531441}{524288}}}$, или ${\frac {27}{32}}{\sqrt[{4}]{2}}$, можно рассчитать точные математические значения частотных отношений и интервалов:

Примечание	Точное частотное соотношение	Стоимость в центах
С	${\frac {1}{1}}$	0
C ♯	${\frac {256}{243}}$	90
Д	${\frac {64}{81}}{\sqrt {2}}$	192
D ♯	${\frac {32}{27}}$	294
И	${\frac {256}{243}}{\sqrt[{4}]{2}}$	390
Ф	${\frac {4}{3}}$	498
F ♯	${\frac {1024}{729}}$	588
Г	${\frac {8}{9}}{\sqrt[{4}]{2^{3}}}$	696
G ♯	${\frac {128}{81}}$	792
А	${\frac {1024}{729}}{\sqrt[{4}]{2}}$	888
B ♭	${\frac {16}{9}}$	996
Б	${\frac {128}{81}}{\sqrt[{4}]{2}}$	1092

Werckmeister II (IV): еще один темперамент, включенный в Orgelprobe, разделенный через 1/3 запятой.

В Werckmeister II квинты C–G, D–A, E–B, F ♯ –C ♯ и B ♭ –F сужены на 1/3 запятой, а квинты G ♯ –D ♯ и E ♭ –B ♭ расширяются на 1/3 запятой. Остальные пятые чистые. Веркмайстер разработал этот строй для воспроизведения преимущественно диатонической музыки (т.е. редкого использования «черных нот»). Большинство его интервалов близки к значению шестой запятой . Веркмейстер также привел таблицу длин монохордов для этой настройки, установив C = 120 единиц, что является практическим приближением к точным теоретическим значениям. . Следуя номерам монохордов, G и D несколько ниже своих теоретических значений, но другие ноты несколько выше.

Пятый	Закалка	Третий	Закалка
C – G	^	C – E	1 v
Б-Г	-	С ♯ –Ф	4 v
Д – А	^	Д – Ж ♯	1 v
А – Е	-	Д ♯ –Г	2 v
Э – Б	^	Э – Г ♯	1 v
Б – Ж ♯	-	Ф – А	1 v
F ♯ –C ♯	^	F ♯ –B ♭	4 v
C ♯ –G ♯	-	Г – Б	1 v
G ♯ –D ♯	v	Г ♯ –С	4 v
D ♯ –B ♭	v	А – С ♯	1 v
Б ♭ –Ф	^	Б ♭ –Д	1 v
Ф – Ц	-	Б – Д ♯	3 v

Примечание	Точное частотное соотношение	Стоимость в центах	Приблизительная длина монохорды	Стоимость в центах
С	${\frac {1}{1}}$	0	$120$	0
C ♯	${\frac {16384}{19683}}{\sqrt[{3}]{2}}$	82	$114{\frac {1}{5}}$ (опечатка как $114{\frac {1}{2}}$)	85.8
Д	${\frac {8}{9}}{\sqrt[{3}]{2}}$	196	$107{\frac {1}{5}}$	195.3
D ♯	${\frac {32}{27}}$	294	$101{\frac {1}{5}}$	295.0
И	${\frac {64}{81}}{\sqrt[{3}]{4}}$	392	$95{\frac {3}{5}}$	393.5
Ф	${\frac {4}{3}}$	498	$90$	498.0
F ♯	${\frac {1024}{729}}$	588	$85{\frac {1}{3}}$	590.2
Г	${\frac {32}{27}}{\sqrt[{3}]{2}}$	694	$80{\frac {1}{5}}$	693.3
G ♯	${\frac {8192}{6561}}{\sqrt[{3}]{2}}$	784	$76{\frac {2}{15}}$	787.7
А	${\frac {256}{243}}{\sqrt[{3}]{4}}$	890	$71{\frac {7}{10}}$	891.6
B ♭	${\frac {9}{4{\sqrt[{3}]{2}}}}$	1004	$67{\frac {1}{5}}$	1003.8
Б	${\frac {4096}{2187}}$	1086	$64$	1088.3

Werckmeister III (V): дополнительный темперамент, разделенный через 1/4 запятой.

В Werckmeister III квинты D–A, A–E, F ♯ –C ♯ , C ♯ –G ♯ и F–C сужены на 1/4, а квинта G ♯ –D ♯ расширена на 1/4. запятая. Остальные пятые чистые. Этот темперамент ближе к равнотемперативному, чем два предыдущих.

Пятый	Закалка	Третий	Закалка
C – G	-	C – E	2 v
Б-Г	-	С ♯ –Ф	4 v
Д – А	^	Д – Ж ♯	2 v
А – Е	^	Д ♯ –Г	3 v
Э – Б	-	Э – Г ♯	2 v
Б – Ж ♯	-	Ф – А	2 v
F ♯ –C ♯	^	F ♯ –B ♭	3 v
C ♯ –G ♯	^	Г – Б	2 v
G ♯ –D ♯	v	Г ♯ –С	4 v
D ♯ –B ♭	-	А – С ♯	2 v
Б ♭ –Ф	-	Б ♭ –Д	3 v
Ф – Ц	^	Б – Д ♯	3 v

Примечание	Точное частотное соотношение	Стоимость в центах
С	${\frac {1}{1}}$	0
C ♯	${\frac {8}{9}}{\sqrt[{4}]{2}}$	96
Д	${\frac {9}{8}}$	204
D ♯	${\sqrt[{4}]{2}}$	300
И	${\frac {8}{9}}{\sqrt {2}}$	396
Ф	${\frac {9}{8}}{\sqrt[{4}]{2}}$	504
F ♯	${\sqrt {2}}$	600
Г	${\frac {3}{2}}$	702
G ♯	${\frac {128}{81}}$	792
А	${\sqrt[{4}]{8}}$	900
B ♭	${\frac {3}{\sqrt[{4}]{8}}}$	1002
Б	${\frac {4}{3}}{\sqrt {2}}$	1098

Werckmeister IV (VI): настройки Septenarius

Этот строй основан на разделении длины монохорда на $196=7\times 7\times 4$ части. Затем определяются различные ноты, в соответствии с которыми из 196 делений следует разместить бридж, чтобы воспроизвести их высоту звука. Полученная шкала имеет рациональные частотные соотношения, поэтому математически она отличается от приведенных выше иррациональных умеренных значений; однако на практике оба имеют чистое и нечистое звучание квинты. Веркмейстер также предложил версию, в которой общая длина разделена на 147 частей, что представляет собой просто перестановку интервалов 196-й настройки. Он описал септенарий как «дополнительный темперамент, который не имеет ничего общего с делением запятой, но на практике настолько правильный, что им можно быть действительно удовлетворенным».

Одной из очевидных проблем с этими настройками является значение, присвоенное D (или A в транспонированной версии): Веркмайстер пишет его как 176. Однако это производит плохой музыкальный эффект, потому что пятый G–D тогда будет очень плоским (более половины ноты). запятая); третий B ♭ –D был бы чистым, но D – F ♯ был бы больше, чем слишком острая запятая - все это противоречит остальным сочинениям Веркмайстера о темпераменте. На иллюстрации деления монохорды число «176» написано на одну позицию правее, чем должно быть 175. Поэтому вполне возможно, что число 176 является ошибкой вместо 175, что дает гораздо более последовательный в музыкальном отношении результат. Оба значения приведены в таблице ниже.

В настройке с D=175 квинты C–G, G–D, D–A, B–F ♯ , F ♯ –C ♯ и B ♭ –F темперированы узкими, а квинта G ♯ –D ♯ закалена шире, чем чистая; остальные пятые чистые.

Примечание	Длина монохорды	Точное частотное соотношение	Стоимость в центах
С	196	1/1	0
C ♯	186	98/93	91
Д	176(175)	49/44(28/25)	186(196)
D ♯	165	196/165	298
И	156	49/39	395
Ф	147	4/3	498
F ♯	139	196/139	595
Г	131	196/131	698
G ♯	124	49/31	793
А	117	196/117	893
B ♭	110	98/55	1000
Б	104	49/26	1097

Внешние источники

• 196-EDL, 1568-EDL и настройки Septenarius
• «Хорошая закалка на основе определения Веркмайстера»
• «Хорошо темперированный», основанный на последней книге Веркмейстера «Музыкальный парадоксальный дискурс» (1707 г.), «Равный темперамент». См.: https://www.academia.edu/5210832/18th_Century_Quotes_on_J.S._Bachs_Temperament .