Обычный диатонический строй

Обычный диатонический строй — это любая музыкальная гамма, состоящая из « тонов » (Т) и « полутонов » (S), расположенных в любом порядке последовательности TTSTTTS, что в сумме дает октаву, при этом все «Т» имеют одинаковый размер, а все «S» — одинаковую. одинакового размера, буква S меньше буквы T. В такой настройке ноты соединяются вместе в цепочку из семи квинт одинакового размера (TTTS или его перестановка), что делает ее линейной темперацией с темперированной квинтой в качестве генератора.

Обзор

Для обычных диатонических гамм, описанных здесь, $T$ - это тона, а $s$ - полутона, которые составляют половину или примерно половину размера тона. Но в более общих регулярных диатонических строях эти две ступени могут иметь любое соотношение в диапазоне между $T = 171,43 ¢$ (для $s = T$ в верхнем крайнем значении) и $T = 240 ¢$ (для $s = 0$ в нижнем крайнем значении). в музыкальных центах (пятый, р5, между 685,71¢ и 720¢). Обратите внимание, что обычные диатонические настройки не ограничиваются нотами какой-либо конкретной диатонической гаммы, используемой для их описания.

Можно определить соответствующие центы $s$ , $T$ и квинты (p5), зная одно из значений:

полутон	$\ s={\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\ 1200{\text{¢}}-5\ T\ \right)\$
полный тон	$\ T={\tfrac {\ 1\ }{5}}\left(\ 1200{\text{¢}}-2\ s\ \right)\$
идеальная пятая часть	$\ {\mathsf {p5}}={\tfrac {\ 1\ }{2}}\left(\ T+1200{\text{¢}}\right)=3\ T+s\$

Когда (диатонические) полутона $s$ уменьшаются до нуля ( $T = 240 ¢$ ), октава становится $ТТТТТ$ , или пятитоновой равной темперацией . По мере того, как полутона становятся больше, в конечном итоге все шаги становятся одинакового размера, и в результате получается семь тонов равной темперации ( $s = T = 171,43 ¢$ ). Эти две крайности не включены в число «обычных» диатонических строев, потому что для того, чтобы быть «регулярными», необходимо сохранить структуру из пяти больших и двух маленьких шагов; все, что между ними, правильно, какими бы маленькими ни были полутона, не исчезая полностью, или какими бы большими они ни становились, оставаясь при этом строго меньше целого тона.

«Регулярность» здесь понимается в смысле отображения пифагорейского диатона , при котором все интервальные отношения сохраняются. ^[1]Например, во всех обычных диатонических строях, как и в пифагорейской диатонике:

Ноты соединяются вместе через цепочку из шести квинт, уменьшенных до октавы, или, что то же самое, через восходящие квинты и нисходящие кварты (например, FCGDAEB в до мажоре ).
Цепочка из трех тонов, разделенных квинтами одинакового размера (сокращенными до октавы), образует целый тон (например, CGD ).
Последовательность из шести тонов, разделенных четвертями, таким же образом генерирует полутон (например, EADGCF ).
Последовательность пяти квинт, разделенных квинтами (например, CGDAE ), образует мажорную треть, состоящую из двух целых тонов.
Цепочка из четырех тонов, разделенных четвертями, образует минорную терцию ( ADGC ).

и так далее; во всех этих примерах результат «уменьшается до октавы» (понижается на октаву всякий раз, когда нота в последовательности превышает октаву выше начального тона).

Если кто-то нарушит правило «регулярности», согласно которому $s$ должно быть меньше $T$ , и продолжит увеличивать размер $s$ дальше, так что он станет больше $T$ , то получится неправильный масштаб с двумя большими шагами и пятью маленькими шагами, и в конечном итоге , когда все $T$ -s исчезают, результатом становится $ss$ , то есть деление октавы на тритона . Однако эти странные шкалы упоминаются здесь только для того, чтобы отмахнуться от них; это не обычные диатонические настройки.

Все обычные диатонические строи также являются линейными темпераментами , то есть регулярными темпераментами с двумя генераторами: октавой и темперированной квинтой. Можно использовать темперированную кварту в качестве альтернативного генератора (например, BEADGCF , восходящие кварты, уменьшенные до октавы), но темперированная квинта является более распространенным выбором, и в любом случае, поскольку квинта и кварта являются октавными дополнениями, повышаясь совершенным образом. кварты дают тот же результат, что и подъем на квинты.

Все обычные диатонические строи также порождаются сборниками (также называемыми моментами симметрии ), и цепочка квинт может быть продолжена в любом направлении для получения двенадцатитоновой системы FCGDAEBF ♯ C ♯ G ♯ D ♯ A ♯, где интервал F ♯ - G то же самое, что B ♭ B и т. д., еще один момент симметрии с двумя размерами интервалов.

Вместо одного полутона S на самом деле их два: хроматический полутон $c$ и диатонический полутон D ; D другое название S. — составляют целый тон между первой и последней: $cd = dc = T.$ Три ноты, разделенные хроматическим и диатоническим полутоном , Небольшая разница в высоте между ними называется запятой , перед которой обычно стоит название системы настройки, которая ее генерирует, например, синтоническая запятая (21,5 ¢), или запятая Пифагора (23,5 ¢), или запятая 53 TET ( 22,6 ¢).

Цепочка из восьми нот, разделенных квинтами, образует хроматический полутон $c$ как пространство между первым и последним; это изменение высоты звука, необходимое для повышения минорного тона до мажорного ; например, E ♭ до E. от Для любой настройки хроматический полутон — это пространство между бемольной нотой и ее естественной нотой или естественной нотой и ее диезом; между белой клавишей и черной клавишей над ней (если настроен как диез) или черной клавишей под ней (если настроен как бемоль); в большинстве настроек эти два интервала разные. Диатонический E полутон D , названный выше S , представляет собой изменение высоты звука последовательности из шести нот, разделенных квинтами, например, к F или от B к C. от Для любой настройки диатонический полутон — это относительная разница высоты звука на стандартной клавиатуре между двумя белыми клавишами, между которыми нет черной клавиши. Схема хроматических и диатонических полутонов — $cd cd d cd cd cd d$ или какая-то ее смешанная версия. Здесь семировная система является пределом при стремлении хроматического полутона к нулю, а пятитоновая система - пределом при стремлении диатонического полутона к нулю.

Диапазон узнаваемости

Обычные диатонические настройки включают все линейные темпераменты в Исли Блэквуда «Диапазоне узнаваемости» в его «Структуре узнаваемых диатонических настроек ». ^[2] для диатонических строев с

пятая темперирована до уровня от 4/7 до 3/5 октавы;
и мажорная, и малая секунды положительные;
большая секунда больше, чем второстепенная секунда.

Однако его «диапазон узнаваемости» более ограничен, чем «обычная диатоническая настройка». Например, он требует, чтобы размер диатонического полутона был не менее 25 центов. Видеть ^[3] для резюме.

Значительные регионы в пределах ареала

Когда квинты немного более ровные, чем просто интонация, то мы находимся в области исторических смысловых строев , которые распределяют или смягчают синтоническую запятую . Они включают в себя:

12-тональный ровный темперамент, практически неотличимый от 1/11 - запятая означает
19 тонов равной темпераментности — эквивалентно 1/3 – запятая означает; достигает чистых малых третей почти ровно 6/5
31 тон равной темпераментности — эквивалент 1/4 — запятая означает ; достигает основных третей, очень близких к 5/4 (387,1 цента); пятое — 696,77 центов
43 тона равной темпераментности — эквивалентно 1 ⁄ запятая означает - достигает чистых мажорных седьмых почти точно 15/8; пятое — 697,67 центов
55 тонов равной темпераментности — эквивалент 1/6 абзаца означало один ^[4] - достигает рационального диатонического тритона 45/32; пятое — 698,18 центов

Когда квинты составляют ровно 3/2, или около 702 центов, результатом является пифагорейская диатоническая настройка.

Для квинт, немного уже, чем 3/2, результатом является раскольнический темперамент , где темперамент измеряется в долях схизмы - величина, на которую цепочка из восьми квинт, уменьшенная до октавы, острее, чем просто малая шестая. 8/5. Так, например, темперамент раскола 1/8 достигнет чистого 8/5 в восходящей цепочке из восьми квинт. Равномерный темперамент с 53 тонами хорошо приближается к раскольническому темпераменту .

Если квинта настроена немного выше, между 702,4 и 705,9 цента, в результате получаются очень резкие основные терции с соотношением около 14/11 (417,508 центов) и очень ровные второстепенные терции около 13/11 (289,210 центов). Эти настройки известны как «парапифагорейские» настройки.

При 705,882 цента, с квинтами, смягченными в широком направлении на 3,929 цента, в результате получается диатоническая гамма в 17 тонах равной темпераментности . За этой точкой обычные мажорные и второстепенные терции аппроксимируют простые соотношения чисел с простыми множителями 2-3-7, например, 9/7 или семеричная большая треть (435,084 цента) и 7/6 или септимальная малая терция (266,871 цента). . В то же время обычные тона все более и более приближаются к большому тону 8/7 (231,174 цента), а обычные минорные септимы - к «гармонической септиме» в простом соотношении 7/4 (968,826 цента). Этот септимальный диапазон простирается примерно до 711,11 центов, или 27 тонов, равных темперации , или немного дальше.

Остаются две крайности:

Диапазон «инфреймантон» или «плоский тон» представляет собой самый плоский край, где пятая часть находится между нижней границей регулярной диатоники 7 тонов равной темпераментности (685,71 цента) и диапазоном исторических средних тонов, начинающихся примерно с 19 тонов равной темпераментности (694,74 цента). ). Здесь диатонические полутона приближаются к размеру целого тона.
- Диапазон между 690,91 цента (пятый из 33 тонов равной темпераментности, который представляет собой 1 ⁄ - запятая означает «тон»), а 685,71 цента некоторые называют диапазоном «глубоких тонов».
«Ультрасептимальный» или «ультрапитагорейский» диапазон охватывает самые острые крайности, от 711,11 центов, как видно при 27-тоновой равной темперации, до верхней границы регулярной диатоники на уровне 720 центов или 5-тоновой равнотемперированной темпераментности . По мере приближения к 5 равным диатонические полутона становятся все меньше и меньше.

Диатонические гаммы, построенные в равных темперациях, могут иметь квинты шире или уже, чем всего лишь 3/2. Вот несколько примеров:

15 , 17 , 22 и 27 имеют квинты шире, чем всего лишь 3/2.
12 (и кратные ему числа), 19 , 31 и 43 имеют пятую часть уже, чем всего лишь 3/2.

Синтонический темперамент и тембр

Термин синтонический темперамент описывает сочетание

континуум настроек, в котором темперированная чистая квинта (P5) является генератором, а октава - периодом;
Последовательности запятых , начинающиеся с синтонной запятой (т. е. в которых синтонная запятая уменьшается до нуля, в результате чего ширина сгенерированной основной трети составляет две сгенерированные основные секунды); и
«диапазон настройки» темперирования P5, при котором генерируемая второстепенная секунда не больше генерируемой мажорной секунды и не меньше унисона. ^[5]

Эта комбинация необходима и достаточна для определения набора отношений между тональными интервалами, который инвариантен во всем диапазоне настройки синтонической темперамента. Следовательно, он также определяет инвариантное отображение - по всему континууму настройки - между (а) нотами в этих (псевдо-справедливых) сгенерированных тональных интервалах и (б) соответствующими частями сгенерированного аналогичным образом псевдогармонического тембра. . Следовательно, связь между синтоническим темпераментом и его нотно-ориентированными тембрами можно рассматривать как обобщение особых отношений между справедливой интонацией и гармоническим рядом.

Поддержание инвариантного сопоставления между нотами и партиями во всем диапазоне настройки обеспечивает динамическую тональность — новое расширение структуры тональности, которое включает в себя такие тембральные эффекты, как простота, конусность и насыщенность. ^[6] и тональные эффекты, такие как полифонические изгибы настройки и динамические последовательности настройки. ^[7]

Если рассматривать континуум настройки синтонического темперамента как струну, а отдельные настройки — как четки на этой струне, то можно рассматривать большую часть традиционной микротональной литературы как сосредоточенную на различиях между четками, тогда как синтонический темперамент можно рассматривать как сосредоточился на общности вдоль строки.

Ноты синтонической темперамента лучше всего играть, используя раскладку нот Вики-Хейдена . ^[8] Поскольку синтоническая темперация и расположение нот Вики-Хейдена генерируются с использованием одного и того же генератора и периода, они изоморфны друг другу; следовательно, раскладка нот Вики-Хайдена представляет собой изоморфную клавиатуру для синтонической темперации. Аппликатура любой музыкальной структуры одинакова при любой настройке континуума настройки синтонической темперамента. Комбинация изоморфной клавиатуры и плавной настройки поддерживает динамическую тональность, как описано выше. ^[7]

Как показано на рисунке справа, тонально действительный диапазон настройки синтонической темперамента включает в себя ряд исторически важных настроек, таких как популярный в настоящее время 12-тоновый равномерный строй октавы (12-тоновый строй, также известный как 12-тоновый строй). «равный темперамент» ), средние тона и пифагорейский строй . Настройки в синтонической темпераменте могут быть равными (12-эдо, 31-эдо ), неравными (пифагорейский, медантон), циркулирующими и справедливыми. ^[9]^[10]

В легенде на рисунке 2 (в правой части рисунка) показана стопка нот P5 с центром на D. Каждая полученная нота представляет собой интервал синтонической темперамента с D в качестве тоники. Основная часть рисунка показывает, как ширина (от D) этих интервалов меняется по мере изменения ширины P5 в континууме настройки синтонического темперамента.

На P5 ≈ 685,7 центов Играть , интервалы сходятся всего лишь на 7 ширинах (при условии, что октавная эквивалентность равна 0 и 1200 центов), что дает 7-edo. С/Т = 0.
На P5 ≈ 694,7 Играть (19-edo), промежутки между этими 19 интервалами равны, что дает настройку 19-edo. С/Т = 2/3.
На P5 ≈ 696,8 Играть (31-edo), набор из 31 такого интервала будет показывать равные промежутки между каждым таким интервалом, создавая настройку 31-edo. С/Т = 3/5.
При P5 = 700,0 Играть (12-edo), диез и бемоль равны, что дает настройку 12-edo. С/Т = 1/2.
На P5 ≈ 701,9 Играть (53-edo), совокупность из 53 таких интервалов - каждый всего на 3/44 цента меньше чистой квинты - составляет 31 октаву, что дает настройку 53-edo. С/Т = 4/9.
и т. д....
при P5 = 720,0 центов Играть Шаги сходятся всего на 5 ширинах, образуя 5-edo. С/Т = 1.

Исследовательские проекты, касающиеся синтонного темперамента

Исследовательская программа Musica Facta ^[11] исследует музыкальную теорию синтонического темперамента.
Теория музыки исследовательского проекта Guido 2.0 основана на синтоническом темпераменте. Guido 2.0 стремится добиться 10-кратного повышения эффективности музыкального образования за счет раскрытия инвариантных свойств синтонической темперации музыки (октавная инвариантность, транспозиционная инвариантность, инвариантность настройки и инвариантность аппликатуры) с геометрической инвариантностью. Guido 2.0 — это аспект музыкального образования Musica Facta (вверху).

Примечания

^ Денкла, Бенджамин Фредерик (1997). Динамическая интонация для синтезаторного исполнения (дипломная работа). Программа по медиаискусству и наукам. Мачовер, Тод (советник). Массачусетский технологический институт . CiteSeerX 10.1.1.929.58 .
^ Блэквуд, Исли (июль 2014 г.). Структура узнаваемых диатонических строев . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691610887 .
^ Серафини, Карло (9 августа 2015 г.). «Структура узнаваемых диатонических строев Исли Блэквуда - обзор» .
^ «Означает синтонную запятую 1-6» . Ксенгармоническая вики .
^ Милн, Эндрю; Сетарес, Уильям; Пламондон, Джеймс (2007). «Изоморфные контроллеры и динамическая настройка: инвариантная аппликатура в континууме настройки» . Компьютерный музыкальный журнал . 31 (4): 15–32. дои : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . S2CID 27906745 .
^ Милн, Эндрю; Сетарес, Уильям; Пламондон, Джеймс. «Система X» (PDF) . Открытый университет . Проверено 28 марта 2017 г.
↑ Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Пламондон Дж., Милн А. и Сетарес В.А., «Динамическая тональность: расширение рамок тональности в 21 век» , в материалах ежегодного собрания южно-центрального отделения Музыкального общества колледжей (2009).
^ Милн А., Сетарес В.А. и Пламондон Дж., Настройка континуумов и раскладок клавиатуры , Журнал математики и музыки , весна 2008 г.
^ Милн, А., Сетарес, В.А., Тидже, С., Пречтл, А. и Пламондон, Дж., «Спектральные инструменты для динамической тональности и морфинга звука» , Computer Music Journal , в печати.
^ Милн, Эндрю. «Тон Алмаз» . Динамическая тональность . Проверено 28 марта 2017 г.
^ «Музыка Факта» . Архивировано из оригинала 17 мая 2014 г. Проверено 19 сентября 2015 г.

[1] Денкла, Бенджамин Фредерик (1997). Динамическая интонация для синтезаторного исполнения (дипломная работа). Программа по медиаискусству и наукам. Мачовер, Тод (советник). Массачусетский технологический институт . CiteSeerX 10.1.1.929.58 .

[2] Блэквуд, Исли (июль 2014 г.). Структура узнаваемых диатонических строев . Издательство Принстонского университета. ISBN 9780691610887 .

[3] Серафини, Карло (9 августа 2015 г.). «Структура узнаваемых диатонических строев Исли Блэквуда - обзор» .

[4] «Означает синтонную запятую 1-6» . Ксенгармоническая вики .

[5] Милн, Эндрю; Сетарес, Уильям; Пламондон, Джеймс (2007). «Изоморфные контроллеры и динамическая настройка: инвариантная аппликатура в континууме настройки» . Компьютерный музыкальный журнал . 31 (4): 15–32. дои : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . S2CID 27906745 .

[6] Милн, Эндрю; Сетарес, Уильям; Пламондон, Джеймс. «Система X» (PDF) . Открытый университет . Проверено 28 марта 2017 г.

[DT-7] Перейти обратно: Перейти обратно: ^а ^б Пламондон Дж., Милн А. и Сетарес В.А., «Динамическая тональность: расширение рамок тональности в 21 век» , в материалах ежегодного собрания южно-центрального отделения Музыкального общества колледжей (2009).

[8] Милн А., Сетарес В.А. и Пламондон Дж., Настройка континуумов и раскладок клавиатуры , Журнал математики и музыки , весна 2008 г.

[9] Милн, А., Сетарес, В.А., Тидже, С., Пречтл, А. и Пламондон, Дж., «Спектральные инструменты для динамической тональности и морфинга звука» , Computer Music Journal , в печати.

[10] Милн, Эндрю. «Тон Алмаз» . Динамическая тональность . Проверено 28 марта 2017 г.

[11] «Музыка Факта» . Архивировано из оригинала 17 мая 2014 г. Проверено 19 сентября 2015 г.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]