12 равный темперамент

12-тоновая равнотемперированная хроматическая шкала C, восходящая на одну полную октаву, обозначенная только диезами.

12 равного темперамента ( 12-ET ) музыкальная система, делящая октаву на 12 частей, все из которых одинаково темперированы (на равном расстоянии друг от друга) в логарифмическом масштабе , с соотношением, равным корню 12-й степени из 2 ( ¹² √ 2 ≈ 1,05946). Полученный в результате наименьший интервал 1/12 октавы ширины называется полутоном или полутоном.

Двенадцатитоновая равнотемперированная система — самая распространенная система в современной музыке. Это была преобладающая система настройки западной музыки, начиная с классической музыки , начиная с 18 века, и на протяжении тысячелетий до этого Европа почти исключительно использовала ее приближения. Он также использовался в других культурах.

В наше время 12-ET обычно настраивается относительно стандартной высоты звука в 440 Гц, называемой A440 , что означает, что одна нота A настроена на 440 герц , а все остальные ноты определяются как несколько полутонов, кроме нее, либо выше. или ниже по частоте . Стандартная высота звука не всегда составляла 440 Гц. За последние несколько сотен лет он менялся и в целом рос.

История

Двум фигурам, которым часто приписывают достижение точного расчета двенадцати тонов равного темперамента, являются Чжу Цзайюй (также латинизированный как Чу-Цайю. Китайский: 朱載堉 ) в 1584 году и Саймон Стевин в 1585 году. По словам Фрица А. Каттнера, критик теории, известно, что «Чу-Цайю представил в 1584 году очень точный, простой и остроумный метод арифметического расчета равнотемперированных монохордов» и что «Саймон Стевин предложил математическое определение равнотемперации плюс несколько менее точное вычисление соответствующих числовые значения в 1585 году или позднее». События происходили независимо.

Кеннет Робинсон приписывает изобретение равного темперамента Чжу Цзайюю. и предоставляет текстовые цитаты в качестве доказательства. Цитируется, что Чжу Цзайюй сказал в тексте, датированном 1584 годом: «Я основал новую систему. Я устанавливаю один фут как число, из которого должны быть извлечены остальные, и, используя пропорции, я извлекаю их. В целом нужно найдите точные цифры для волынщиков за двенадцать операций». Каттнер не согласен и отмечает, что его утверждение «нельзя считать правильным без существенных оговорок». Каттнер предполагает, что ни Чжу Цзайю, ни Саймон Стевин не достигли одинакового темперамента и что ни одного из них нельзя рассматривать как изобретателей.

Китай

Ранняя история

Полный набор бронзовых колокольчиков среди многих музыкальных инструментов, найденных в гробнице маркиза И Цзэна (начало Воюющих царств, ок. V века до н. э. , китайский бронзовый век), охватывает пять полных семинотных октав в тональности До мажор, включая 12 нот полутона в середине диапазона.

Приближение равного темперамента было описано Хэ Чэнтянем , математиком Южной и Северной династий, жившим с 370 по 447 год. Он представил самую раннюю зафиксированную приблизительную числовую последовательность в отношении равного темперамента в истории: 900 849 802 758 715 677 638 601 570 536 509,5 479 450.

Чжу Цзайюй

Принц Чжу Цзайюй сконструировал 12-струнный инструмент с одинаковой темперацией, вид спереди и сзади.

Чжу Цзайюй ( 朱載堉 ), принц при дворе Мин , потратил тридцать лет на исследования, основанные на идее равного темперамента, первоначально постулированной его отцом. Он описал свою новую теорию высоты тона в своей книге «Слияние музыки и календаря », опубликованной в 1580 году. За этим последовала публикация подробного отчета о новой теории равного темперамента с точной числовой спецификацией для 12-ET в его 5000 -страничная работа « Полный сборник музыки и высоты звука» ( Yelü quan shu 樂律全書 ) 1584 года. Расширенный отчет также предоставлен Джозефом Нидхэмом. Чжу получил свой результат математически, последовательно разделив длину веревки и трубы на ¹² √ 2 ≈ 1,059463, а для длины трубы на ²⁴ √ 2 , так, что после двенадцати делений (октавы) длина делилась в 2 раза:

$$\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{12}=2$$

Аналогично, после 84 делений (7 октав) длина была поделена в 128 раз:

$$\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{84}=2^{7}=128$$

Чжу Цзайюй считается первым человеком, решившим проблему равного темперамента математически. По крайней мере, один исследователь предположил, что Маттео Риччи , иезуит из Китая, записал эту работу в свой личный дневник. и, возможно, передал работу обратно в Европу. (Стандартные ресурсы по этой теме не упоминают о таком переносе. ) В 1620 году на работу Чжу сослался европейский математик. Мюррей Барбур сказал: «Первое известное появление в печати правильных цифр для равного темперамента произошло в Китае, где блестящее решение принца Цайюй остается загадкой». Немецкий физик XIX века Герман фон Гельмгольц писал в книге «О ощущениях тона» , что китайский принц (см. ниже) ввел гамму из семи нот и что в Китае было обнаружено деление октавы на двенадцать полутонов.

Трубы равного темперамента Чжу Цзайюя

Чжу Цзайюй проиллюстрировал свою теорию равного темперамента, создав набор из 36 бамбуковых настраивающих трубок в 3 октавы с инструкциями о типе бамбука, цвете краски и подробными спецификациями их длины, внутреннего и внешнего диаметра. Он также сконструировал 12-струнный настроечный инструмент с набором настроечных трубок, спрятанных внутри его нижней полости. В 1890 году Виктор-Шарль Махильон , хранитель музея консерватории в Брюсселе, продублировал набор звуковых трубок по спецификации Чжу Цзайюя. Он сказал, что китайская теория тонов знает больше о длине звуковых трубок, чем ее западный аналог, и что набор трубок, дублированный по данным Цзайюй, доказал точность этой теории.

Европа

» Саймона Стевина «Ван де Шпигелинг дер Сингконст ок. 1605 .

Ранняя история

Одно из самых ранних обсуждений равного темперамента встречается в трудах Аристоксена в IV веке до нашей эры.

Винченцо Галилей (отец Галилео Галилея ) был одним из первых практических сторонников двенадцатитонового одинакового темперамента. Он составил набор танцевальных сюит на каждой из 12 нот хроматической гаммы во всех «тональностях транспонирования», а также опубликовал в своем « Фронимо » 1584 года 24 + 1 ричеркар . Для игры на лютне он использовал соотношение 18:17 (хотя для чистых октав требовалась некоторая корректировка).

Земляк Галилея и коллега- лютнист Джакомо Горзанис к 1567 году написал музыку, основанную на равном темпераменте. Горзанис был не единственным лютнистом, исследовавшим все лады и тональности: Франческо Спиначино написал «Recercare de tutti li Toni» ( «Рицеркар во всех тонах») еще в 1507 году. В 17 веке композитор-лютнист Джон Уилсон написал набор из 30 прелюдий, в том числе 24 во всех мажорных и минорных тональностях. Хенрикус Грамматеус приблизился к равной темперации в 1518 году. Первые правила настройки равной темперации были даны Джовани Марией Ланфранко в его «Scintille de musica». Зарлино в своей полемике с Галилеем первоначально выступал против равного темперамента, но в конце концов уступил ему в отношении лютни в своих «Музыкальных произведениях» 1588 года.

Саймон Стевин

Первое упоминание о равном темпераменте, связанном с корнем двенадцатой степени из двух , на Западе появилось в Саймона Стевина « рукописи Ван де Шпигелинг дер сингконст » (ок. 1605 г.), опубликованной посмертно, почти три столетия спустя, в 1884 году. Однако из-за недостаточной точности его расчетов многие полученные им значения длины хорды отклонялись на одну или две единицы от правильных значений. В результате соотношение частот аккордов Саймона Стевина не имеет единого соотношения, а имеет одно соотношение на тон, что Джин Чо считает неправильным.

Ниже была длина аккорда Саймона Стевина из Van de Spiegheling der Singconst :

Тон	Аккорд 10000 от Саймона Стевина	Соотношение	Исправленный аккорд
полутон	9438	1.0595465	9438.7
весь тон	8909	1.0593781
тон-полтора	8404	1.0600904	8409
дитон	7936	1.0594758	7937
дитон с половиной	7491	1.0594046	7491.5
тритон	7071	1.0593975	7071.1
тритона с половиной	6674	1.0594845	6674.2
четырехцветный	6298	1.0597014	6299
четыре тона с половиной	5944	1.0595558	5946
пятитональный	5611	1.0593477	5612.3
пять тонов с половиной	5296	1.0594788	5297.2
полный тон		1.0592000

Поколение спустя французский математик Марин Мерсенн представил несколько равноправныхдлины хорд получены Жаном Бограном, Исмаэлем Буйо и Жаном Галлем.

В 1630 году Иоганн Фаульхабер опубликовал таблицу монохорд за 100 центов, которая содержала несколько ошибок, связанных с использованием им логарифмических таблиц. Он не объяснил, как получил свои результаты.

Барокко было

Примерно с 1450 по 1800 годы щипковые музыканты (лютнисты и гитаристы) обычно предпочитали равный темперамент. а рукопись для лютни Броссара, составленная в последней четверти 17 века, содержит серию из 18 прелюдий, приписываемых Боке , написанных во всех тональностях, включая последнюю прелюдию, озаглавленную Prelude sur tous les тонны , которая энгармонически модулирует все тональности. Анджело Микеле Бартолотти опубликовал серию пассакалий во всех тональностях, соединяющих энгармонически модулирующие отрывки. Среди клавишных композиторов 17-го века Джироламо Фрескобальди выступал за равный темперамент. Некоторые теоретики, такие как Джузеппе Тартини , были против принятия равного темперамента; они чувствовали, что ухудшение чистоты каждого аккорда снижает эстетическую привлекательность музыки, хотя Андреас Веркмайстер решительно выступал за равный темперамент в своем трактате 1707 года, опубликованном посмертно.

Двенадцатитональный равномерный темперамент прижился по разным причинам. Это было удобно для существующей конструкции клавиатуры и обеспечивало полную гармоническую свободу с бременем умеренных примесей в каждом интервале, особенно несовершенных созвучий. Это позволило добиться большего выражения посредством энгармонической модуляции , которая стала чрезвычайно важной в 18 веке в музыке таких композиторов, как Франческо Джеминиани , Вильгельм Фридеман Бах , Карл Филипп Эммануэль Бах и Иоганн Готфрид Мютель . Двенадцатитоновая равнотемперированная система имела некоторые недостатки, такие как несовершенная терция, но когда Европа перешла на равную темперацию, она изменила музыку, которую писала, чтобы приспособиться к системе и минимизировать диссонанс.

Развитие равнотемпераментного темперамента с середины XVIII века подробно описано во многих современных научных публикациях: это был темперамент выбора уже в классическую эпоху (вторая половина XVIII века), и он стал стандартом в эпоху раннего романтизма (первое десятилетие XIX века), за исключением органов, которые перешли на него более постепенно, завершившись лишь во втором десятилетии XIX века. (В Англии некоторые соборные органисты и хормейстеры выступали против этого даже после этой даты; Сэмюэл Себастьян Уэсли , например, все время выступал против этого. Он умер в 1876 году.)

Точная равная темперация возможна с использованием метода Саббатини 17 века, согласно которому первая октава разделяется на три темперированные мажорные трети. Это также предлагалось несколькими писателями классической эпохи. Настройка без частоты биений, но с использованием нескольких проверок, обеспечивающая практически современную точность, проводилась уже в первые десятилетия XIX века. Использование частоты ритмов, впервые предложенное в 1749 году, стало обычным явлением после того, как их распространили Гельмгольц и Эллис во второй половине XIX века. Максимальная точность была достигнута благодаря двум десятичным таблицам, опубликованным Уайтом в 1917 году.

Именно в среде равных темпераментов развивались и процветали новые стили симметричной тональности и политональности , атональная музыка, например, написанная с использованием двенадцатитоновой техники или сериализма , и джаз (по крайней мере, его фортепианная составляющая).

Сравнение исторических приближений полутона

Год	Имя	Соотношение	центы
400	Хэ Чэнтянь	1.060070671	101.0
1580	Винченцо Галилей	18:17 [1.058823529]	99.0
1581	Чжу Цзайюй	1.059463094	100.0
1585	Саймон Стевин	1.059546514	100.1
1630	Марин Мерсенн	1.059322034	99.8
1630	Иоганн Фаульхабер	1.059490385	100.0

Математические свойства

Одна октава 12-ET на монохорде.

В двенадцатитоновой равнотемперированной темперации, разделяющей октаву на 12 равных частей, ширина полутона , т. е. соотношение частот интервала между двумя соседними нотами, равна корню двенадцатой степени из двух :

$${\sqrt[{12}]{2}}=2^{\frac {1}{12}}\approx 1.059463$$

Этот интервал делится на 100 центов .

Расчет абсолютных частот

См. Также: Частоты клавиш фортепиано.

Чтобы найти частоту P _n ноты в 12-ET, можно использовать следующее определение:

$$P_{n}=P_{a}\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(n-a)}$$

В этой формуле P _n обозначает высоту звука или частоту (обычно в герцах ), которую вы пытаетесь найти. P _a относится к частоте эталонного тона. n и a относятся к номерам, присвоенным желаемому шагу и эталонному шагу соответственно. Эти два числа взяты из списка последовательных целых чисел, которым присвоены последовательные полутона. Например, A ₄ (эталонная высота) — это 49-я клавиша слева от фортепиано (настроенная на 440 Гц ), а C ₄ ( средняя C ) и F# ₄ — это 40-я и 46-я клавиши соответственно. Эти числа можно использовать для определения частоты C ₄ и F# ₄ :

$${\begin{alignedat}{3}P_{40}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(40-49)}&&\approx 261.626\ \mathrm {Hz} \\P_{46}&=440\left({\sqrt[{12}]{2}}\right)^{(46-49)}&&\approx 369.994\ \mathrm {Hz} \end{alignedat}}$$

Просто интервалы

5-Предел только интервалов, аппроксимированных в 12-ET

Интервалы 12-ET очень близки к некоторым интервалам по интонации .

По лимиту

12 ET очень точен в пределе 3, но по мере увеличения пределов простых чисел до 11 он постепенно ухудшается примерно на шестую полутона каждый раз. Его одиннадцатая и тринадцатая гармоники крайне неточны. 12 Семнадцатая и девятнадцатая гармоники ET почти так же точны, как и его третья гармоника, но к этому моменту основной предел стал слишком высоким, чтобы звучать созвучно большинству людей.

3 лимита

См. Также: Пифагорова настройка.

12 ET имеет очень хорошее приближение к идеальной квинте ( ⁠ 3/2 инверсия ⁠ ( ) его кварта , идеальная и ⁠ 4/3 специально ⁠ для ), разделения октавы на сравнительно небольшое количество тонов. В частности, идеальная квинта всего на одну пятьдесят первую полутона острее, чем равнотемперированная аппроксимация. Потому что мажорный тон ( ⁠ 9/8 — ⁠ ( ) это просто две идеальные квинты минус октава и ее инверсия, пифагорейская минорная септима ⁠ 16 / 9 ⁠ ), представляют собой просто две идеальные четверти вместе взятые, они по большей части сохраняют точность своих предшественников; ошибка удваивается, но остается небольшой – настолько маленькой, что люди не могут ее заметить. Можно продолжать использовать дроби с более высокими степенями тройки, следующие две будут ⁠ 27/16 ​ ⁠ ​ и ⁠ 32/27 . ⁠ , но по мере увеличения членов дробей они становятся менее приятными для слуха

5 лимит

См. Также: Настройка с пятью пределами.

12 Аппроксимация ET пятой гармоники ( ⁠ 5 / 4 ⁠ ) отклоняется примерно на одну седьмую полутона. Поскольку интервалы, отступающие менее чем на четверть шкалы, по-прежнему звучат стройно, другие пятипредельные интервалы в 12 ET, такие как ⁠ 5/3 ​ ⁠ и ​ ⁠ 8 / 5 ⁠ имеют ошибки одинакового размера. Таким образом, мажорное трезвучие звучит стройно, так как его соотношение частот примерно 4:5:6, далее, слившись с его первым обращением и двумя субоктавными тониками, оно составляет 1:2:3:4:5:6, все шесть самых низких естественных гармоник басового тона.

7 лимит

См. Также: настройка на 7 пределов.

12 ET аппроксимация седьмой гармоники ( ⁠ 7/4 ) отклоняется примерно на ⁠ одну треть полутона. Поскольку ошибка превышает четверть полутона, семипредельные интервалы в 12 ET имеют тенденцию звучать фальшиво. В тритоновых фракциях ⁠ 7/5 ​ ⁠ и ​ ⁠ 10 / 7 ⁠ , ошибки пятой и седьмой гармоник частично компенсируют друг друга, так что справедливые доли находятся в пределах четверти полутона от их равнотемперированных эквивалентов.

11 и 13 лимиты

Одиннадцатая гармоника ( ⁠ 11 / 8 ⁠ ), на уровне 551,32 цента, находится почти ровно посередине между двумя ближайшими одинаково умеренными интервалами в 12 ET и, следовательно, не аппроксимируется ни одним из них. Фактически, ⁠ 11/8 ET ⁠ . почти настолько далек от любого равномерного приближения, насколько это возможно в 12 Тринадцатая гармоника ( ⁠ 13 / 8 ⁠ ), на две пятых полутона резче, чем второстепенная шестая, почти так же неточно. Хотя это означает, что дробь ⁠ 13/11 ⁠ ( а также его инверсия ⁠ 22/13 или микротональностью , четвертями ⁠ ) точно аппроксимируются (в частности, на три полутона), так как ошибки одиннадцатой и тринадцатой гармоник в основном компенсируются, большинство людей, не знакомых с тонов не будут знакомы с одиннадцатой и тринадцатой гармониками. гармоники. Точно так же, хотя ошибка одиннадцатой или тринадцатой гармоники может быть в основном нейтрализована ошибкой седьмой гармоники, большинство западных музыкантов не сочтут полученные дроби созвучными, поскольку 12 ET не приближают их точно.

17 и 19 лимиты

Семнадцатая гармоника ( ⁠ 17 / 16 ⁠ ) всего примерно на 5 центов острее, чем на один полутон в 12 ET. Его можно объединить с аппроксимацией третьей гармоники 12 ET, чтобы получить ⁠ 17 / 12 ⁠ , что является следующим приближением Пелля после ⁠ 7 / 5 ⁠ , всего примерно на три цента от равнотемперированного тритона (квадратный корень из двух), и ⁠ 17 / 9 ⁠ , что всего на один цент от основной седьмой позиции 12 ET. Девятнадцатая гармоника всего лишь примерно на 2,5 цента более плоская, чем три из 12 полутонов ET, поэтому ее также можно объединить с третьей гармоникой для получения ⁠ 19 / 12 ⁠ , что примерно на 4,5 цента более лестно, чем минорная шестая часть с таким же темперированием, и ⁠ 19/18 что примерно на 6,5 ⁠ , цента ниже полутона. Однако, поскольку 17 и 19 довольно велики для соотношений согласных, и большинству людей незнакомы 17 предельных и 19 предельных интервалов, 17 предельных и 19 предельных интервалов бесполезны для большинства целей, поэтому их, вероятно, нельзя рассматривать как играющие роль в любые созвучия 12 ET.

Стол

В следующей таблице размеры различных справедливых интервалов сравниваются с их равнотемперированными аналогами, выраженными как в пропорциях, так и в центах . Различия менее шести центов не могут быть замечены большинством людей, а также интервалы, составляющие более четверти шага; что в данном случае составляет 25 центов за фальшивый звук.

скрывать Количество шагов	Примечание, поднимающееся от C	Точное значение в 12-ET	Десятичное значение в 12-ET	Равномерный звук	центы	Просто название интонационного интервала	Просто доля интервала интонации	Справедливо произнесенный звук	Центы в простой интонации	Разница
0	С	2 0 ⁄ 12 = 1	1		0	Унисон	1 ⁄ 1 = 1		0	0
1	С ♯ или Д ♭	2 1 ⁄ 12 = 12 √ 2	1.05946...		100	Септимальный третий тон	28 ⁄ 27 = 1.03703...		62.96	-37.04
						Просто хроматический полутон	25 ⁄ 24 = 1.04166...		70.67	-29.33
						Недесятичный полутон	22 ⁄ 21 = 1.04761...		80.54	-19.46
						Септимальный хроматический полутон	21 ⁄ 20 = 1.05		84.47
						Новендесичный хроматический полутон	20 ⁄ 19 = 1.05263...		88.80
						Пифагорейский диатонический полутон	256 ⁄ 243 = 1.05349...		90.22
						Больший хроматический полутон	135 ⁄ 128 = 1.05468...		92.18
						Новендесятичный диатонический полутон	19 ⁄ 18 = 1.05555...		93.60
						Септадесятичный хроматический полутон	18 ⁄ 17 = 1.05882...		98.95
						Семнадцатая гармоника	17 ⁄ 16 = 1.0625...		104.96	+4.96
						Просто диатонический полутон	16 ⁄ 15 = 1.06666...		111.73	+11.73
						Пифагорейский хроматический полутон	2187 ⁄ 2048 = 1.06787...		113.69	+13.69
						Септимальный диатонический полутон	15 ⁄ 14 = 1.07142...		119.44	+19.44
						Меньший трехзначный 2/3 тона	14 ⁄ 13 = 1.07692...		128.30	+28.30
						Мажорный диатонический полутон	27 ⁄ 25 = 1.08		133.24	+33.24
2	Д	2 2 ⁄ 12 = 6 √ 2	1.12246...		200	Пифагорейский уменьшенный третий	65536 ⁄ 59049 = 1.10985...		180.45
						Минорный тон	10 ⁄ 9 = 1.11111...		182.40
						Мажорный тон	9 ⁄ 8 = 1.125		203.91	+3.91
						Септимальный целый тон	8 ⁄ 7 = 1.14285...		231.17	+31.17
3	Д ♯ или Е ♭	2 3 ⁄ 12 = 4 √ 2	1.18920...		300	Септимальная минорная треть	7 ⁄ 6 = 1.16666...		266.87
						Трехзначная младшая треть	13 ⁄ 11 = 1.18181...		289.21
						Пифагорейская минорная терция	32 ⁄ 27 = 1.18518...		294.13
						Девятнадцатая гармоника	19 ⁄ 16 = 1.1875		297.51
						Просто второстепенная треть	6 ⁄ 5 = 1.2		315.64	+15.64
						Пифагорейская дополненная секунда	19683 ⁄ 16384 = 1.20135...		317.60	+17.60
4	И	2 4 ⁄ 12 = 3 √ 2	1.25992...		400	Пифагорейский уменьшенный четвертый	8192 ⁄ 6561 = 1.24859...		384.36	-15.64
						Просто главная треть	5 ⁄ 4 = 1.25		386.31	-13.69
						Пифагорейская мажорная терция	81 ⁄ 64 = 1.265625		407.82	+7.82
						Недесятичная большая треть	14 ⁄ 11 = 1.27272...		417.51	+17.51
						Семеричная мажорная треть	9 ⁄ 7 = 1.28571...		435.08	+35.08
5	Ф	2 5 ⁄ 12 = 12 √ 32	1.33484...		500	Просто идеальная четвертая	4 ⁄ 3 = 1.33333...		498.04	-1.96
						Пифагорейская дополненная третья	177147 ⁄ 131072 = 1.35152...		521.51	+21.51
6	Ж ♯ или Г ♭	2 6 ⁄ 12 = √ 2	1.41421...		600	Классическая дополненная четвертая	25 ⁄ 18 = 1.38888...		568.72	-31.28
						Тритон Гюйгенса	7 ⁄ 5 = 1.4		582.51	-17.49
						Пифагорейский уменьшенный пятый	1024 ⁄ 729 = 1.40466...		588.27	-11.73
						Только что дополненная четвертая	45 ⁄ 32 = 1.40625		590.22	-9.78
						Просто уменьшилось пятое место	64 ⁄ 45 = 1.42222...		609.78	+9.78
						Пифагорейская дополненная четвертая	729 ⁄ 512 = 1.42382...		611.73	+11.73
						тритон Эйлера	10 ⁄ 7 = 1.42857...		617.49	+17.49
						Классическая уменьшенная пятая часть	36 ⁄ 25 = 1.44		631.28	+31.28
7	Г	2 7 ⁄ 12 = 12 √ 128	1.49830...		700	Пифагорейский уменьшился на шестое место	262144 ⁄ 177147 = 1.47981...		678.49
						Просто идеальная пятая часть	3 ⁄ 2 = 1.5		701.96	+1.96
8	Г ♯ или А ♭	2 8 ⁄ 12 = 3 √ 4	1.58740...		800	Семеричная минорная шестая	14 ⁄ 9 = 1.55555...		764.92	-35.08
						Недесятичная младшая шестая	11 ⁄ 7 = 1.57142...		782.49	-17.51
						Пифагорейская минорная шестая ступень	128 ⁄ 81 = 1.58024...		792.18	-7.82
						Просто второстепенная шестая	8 ⁄ 5 = 1.6		813.69	+13.69
						Пифагорейская дополненная пятая часть	6561 ⁄ 4096 = 1.60180...		815.64	+15.64
9	А	2 9 ⁄ 12 = 4 √ 8	1.68179...		900	Пифагорейский уменьшился на седьмое место	32768 ⁄ 19683 = 1.66478...		882.40
						Просто мажор шестой	5 ⁄ 3 = 1.66666...		884.36
						Девятнадцатая субгармоника	32 ⁄ 19 = 1.68421...		902.49	+2.49
						Пифагорейская мажорная шестая ступень	27 ⁄ 16 = 1.6875		905.87	+5.87
						Семеричная мажорная шестая	12 ⁄ 7 = 1.71428...		933.13	+33.13
10	А ♯ или Б ♭	2 10 ⁄ 12 = 6 √ 32	1.78179...		1000	Гармоническая седьмая	7 ⁄ 4 = 1.75		968.83	-31.17
						Пифагорейская минорная седьмая	16 ⁄ 9 = 1.77777...		996.09	-3.91
						Большая минорная седьмая	9 ⁄ 5 = 1.8		1017.60	+17.60
						Пифагорейская дополненная шестая	59049 ⁄ 32768 = 1.80203...		1019.55	+19.55
11	Б	2 11 ⁄ 12 = 12 √ 2048	1.88774...		1100	Трехзначная нейтральная седьмая	13 ⁄ 7 = 1.85714...		1071.70	-28.30
						Пифагорейская уменьшенная октава	4096 ⁄ 2187 = 1.87288...		1086.31	-13.69
						Просто мажорный седьмой	15 ⁄ 8 = 1.875		1088.27	-11.73
						Семнадцатая субгармоника	32 ⁄ 17 = 1.88235...		1095.04	-4.96
						Пифагорейская мажорная седьмая	243 ⁄ 128 = 1.89843...		1109.78	+9.78
						Семеричная мажорная седьмая	27 ⁄ 14 = 1.92857...		1137.04	+37.04
12	С	2 12 ⁄ 12 = 2	2		1200	Октава	2 ⁄ 1 = 2		1200.00	0

Запятые

12-ET смягчает несколько запятых , означая, что есть несколько дробей, близких к ⁠ 1 / 1 ⁠, которые рассматриваются как ⁠ 1 / 1 ⁠ на 12-ET из-за сопоставления разных дробей с одним и тем же равнотемперированным интервалом. Например, ⁠ 729 / 512 ⁠ ( ⁠  3 ⁶  / 2 ⁹ ⁠ ) ​​и ⁠  1024  / 729 ⁠ ( ⁠  2 ¹⁰  / 3 ⁶ ⁠ ) каждый сопоставлен с тритоном, поэтому номинально они рассматриваются как один и тот же интервал; следовательно, их частное, ⁠ 531441 /  524288  ⁠ ( ⁠  3 ¹²  / 2 ¹⁹ ⁠ ) ​​отображается/рассматривается как унисон. Это запятая Пифагора , и это единственная запятая с 3 пределами в 12-ET. Однако по мере увеличения предела простых чисел и включения большего количества интервалов количество запятых увеличивается. Самая важная пятипредельная запятая 12-ET — это ⁠ 81 /  80  ⁠ ( ⁠ 3 ⁴ /  2 ⁴ × 5 ¹  ⁠ ), которая известна как синтонная запятая и является множителем между пифагорейскими терциями и шестыми и их справедливыми аналогами. Другие 5-предельные запятые 12-ET включают:

• Раскол : ⁠ 32805 /  32768  ⁠ = ⁠  3 ⁸ × 5 ¹  / 2 ¹⁵ ⁠ = ( ⁠ 531441 /  524288  ⁠ ) ¹ × ( ⁠ 81 /  80  ⁠ ) ⁻¹
• Диашизм : ⁠ 2048 /  2025  ⁠ = ⁠ 2 ¹¹ /  3 ⁴ × 5 ²  ⁠ = ( ⁠ 531441 /  524288  ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠ 81 /  80  ⁠ ) ²
• Менее острый : ⁠ 128 /  125  ⁠ = ⁠  2 ⁷  / 5 ³ ⁠ = ( ⁠ 531441 /  524288  ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠ 81 /  80  ⁠ ) ³
• Большой диезис : ⁠ 648 /  625  ⁠ = ⁠  2 ³ × 3 ⁴  / 5 ⁴ ⁠ =( ⁠ 531441 /  524288  ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠ 81 /  80  ⁠ ) ⁴

Одной из 7-предельных запятых, которые смягчает 12-ET, является септимальная клейсма , равная ⁠ 225 / 224 ⁠ , или ⁠  3 ² ×5 ²  / 2 ⁵ ×7 ¹ ⁠ . Другие запятые с 7 ограничениями в 12-ET включают:

• Семеричная запятая : ⁠ 126 /  125  ⁠ = ⁠  2 ¹ × 3 ² × 7 ¹  / 5 ³ ⁠ = ( ⁠ 81 /  80  ⁠ ) ¹ × ( ⁠ 225 /  224  ⁠ ) ⁻¹
• Запятая Архита : ⁠ 64 /  63  ⁠ = ⁠ 2 ⁶ /  3 ² × 7 ¹  ⁠ = ( ⁠ 531441 /  524288  ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠ 81 /  80  ⁠ ) ² × ( ⁠ 225 /  224  ⁠ ) ¹
• Семеричный четверть тона : ⁠ 36 /  35  ⁠ = ⁠  2 ² × 3 ²  / 5 ¹ ×v7 ¹ ⁠ = ( ⁠ 531441 /  524288  ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠ 81 / 80 ⁠ ) ³ × ( ⁠ 225 /  224  ⁠ ) ¹
• Юбилей : ⁠ 50 /  49  ⁠ = ⁠  2 ¹ × 5 ²  / 7 ² ⁠ = ( ⁠ 531441 /  524288  ⁠ ) ⁻¹ × ( ⁠ 81 /  80  ⁠ ) ² × ( ⁠ 225 /  224  ⁠ ) ²

Похожие системы тюнинга

Исторически использовалось несколько систем настройки, которые можно рассматривать как небольшие вариации 12-TEDO, с двенадцатью нотами на октаву, но с некоторыми изменениями в размерах интервалов, так что ноты не совсем равномерно расположены. Одним из примеров этого является трехпредельная шкала, в которой равномерные идеальные квинты в 700 центов заменяются правильно произнесенными чистыми квинтами в 701,955 центов. Поскольку два интервала отличаются менее чем на 2 цента, или 1/600 октавы , эти две гаммы очень похожи. Фактически, китайцы разработали трехпредельную интонацию по крайней мере за столетие до того, как Хэ Чэнтянь создал последовательность 12-TEDO. Точно так же пифагорейский строй, разработанный древними греками, был преобладающей системой в Европе до тех пор, пока в эпоху Возрождения европейцы не осознали, что диссонирующие интервалы, такие как 81 ⁄ 64 можно было бы сделать более созвучными, сводя их к более простым соотношениям, например 5 ⁄ 4 , в результате чего в Европе возникла серия средних темпераментов , которые немного изменили размеры интервалов, но все же могли рассматриваться как приблизительные 12-TEDO. Из-за склонности средних темпераментов концентрировать ошибку на одной энгармонической идеальной квинте, что делает ее очень диссонирующей , европейские теоретики музыки, такие как Андреас Веркмейстер, Иоганн Филипп Кирнбергер, Франческо Антонио Валлотти и Томас Янг, создали различные хорошие темпераменты с целью разделения запятые вверх, чтобы уменьшить диссонанс наиболее пострадавших интервалов. Веркмайстер и Кирнбергер были недовольны своим первым темпераментом и поэтому создали несколько темпераментов, причем последние темпераменты более близко приближались к равному темпераменту, чем первые. Точно так же Европа в целом постепенно перешла от умеренного и хорошего темперамента к 12-TEDO, системе, которую она использует до сих пор.

Подмножества

См. также: Масштаб (музыка)

Хотя в некоторых типах музыки, таких как сериализм , используются все двенадцать нот 12-TEDO, в большинстве музыкальных произведений используются только ноты из определенного подмножества 12-TEDO, известного как гамма. Существует множество различных типов весов.

Самый популярный тип шкалы в 12-TEDO — это один. Meantone относится к любой гамме, в которой все ноты идут подряд в квинтовом круге. Существуют шкалы средних тонов разных размеров, и некоторые используемые шкалы средних тонов включают в себя пятинотный средний тон , семинотный средний тон и девятинотный средний тон . Meantone присутствует в дизайне западных инструментов. Например, клавиши пианино и его предшественников устроены так, что белые клавиши образуют семинотную тональную гамму, а черные клавиши образуют пятитонную тональную гамму. Другой пример: гитары и другие струнные инструменты, имеющие как минимум пять струн, обычно настраиваются так, что их открытые струны образуют пятитоновую тональную гамму.

Другие гаммы, используемые в 12-TEDO, включают восходящую мелодическую минорную гамму , гармонический минор , гармонический мажор , уменьшенную гамму и ин-гамму .

См. также

• Равный темперамент
• Просто интонация
• Музыкальная акустика (физика музыки)
• Музыка и математика
• Микротональная музыка
• Список средних интервалов
• Диатонический и хроматический
• Электронный тюнер
• Музыкальный тюнинг

Ссылки

Источники

• Барбур, Джеймс Мюррей (2004). Настройка и темперамент: исторический обзор . Курьерская корпорация. ISBN  978-0-486-43406-3 .
• Бенвард, Брюс; Сейкер, Мэрилин (2003). Музыка в теории и практике . Том. 1. МакГроу-Хилл. ISBN  978-0-07-294261-3 .
• Чо, Джин Дж. (2003). Открытие музыкального равного темперамента в Китае и Европе в шестнадцатом веке . Э. Меллен Пресс. ISBN  978-0-7734-6941-9 .
• Чо, Джин Дж. (2010). «Значение открытия музыкального равнотемперирования в истории культуры» . Журнал Синхайской консерватории . Архивировано из оригинала 15 марта 2012 г. Проверено 6 апреля 2020 г.
• Кристенсен, Томас (2002). Кембриджская история теории западной музыки . Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-62371-1 .
• Коэн, Х. Флорис (1987). «Равное деление октавы Саймона Стевина». Анналы науки . 44 (5). Информа Великобритания Лимитед: 471–488. дои : 10.1080/00033798700200311 . ISSN   0003-3790 .
• де Горзанис, Г. (1981). Intabolatura di Liuto: I-III . Intabolatura di Liuto: I-III (на итальянском языке). Минкофф. ISBN  978-2-8266-0721-2 .
• Ди Вероли, Клаудио (2009). Неравные темпераменты: теория, история и практика (2-е изд.). Брей, Ирландия: Брейское барокко.
• Галилей, Винченцо (1584). Фронимо . Венеция: Джироламо Скотто .
• Харт, Роджер (1998), Ритуал количественной оценки: политическая космология, куртуазная музыка и точная математика в Китае семнадцатого века , факультеты истории и азиатских исследований, Техасский университет, Остин, заархивировано из оригинала 05 марта 2012 г. , извлечено 20 марта 2012 г.
• Йоргенс, Элиза Бикфорд (1986). Английская песня, 1600–1675: факсимиле двадцати шести рукописей и издание текстов . Гирлянда. ISBN  9780824082314 .
• Каттнер, Фриц А. (май 1975 г.). «Жизнь и работа принца Чу Цай-Юя: переоценка его вклада в теорию равного темперамента» (PDF) . Этномузыкология . 19 (2): 163–206. дои : 10.2307/850355 . JSTOR   850355 .
• Кван-чжи Чанг; Пинфан Сюй; Ляньчэн Лу (2005). «Восточный Чжоу и рост регионализма». Формирование китайской цивилизации: археологический взгляд . Сюй Пинфан, Шао Ванпин, Чжан Чжунпэй, Ван Жэньсян. Издательство Йельского университета. ISBN  978-0-300-09382-7 .
• Линхард, Джон Х. (1997). «Равный темперамент» . Двигатели нашей изобретательности . Университет Хьюстона . Проверено 5 октября 2014 г.
• Муди, Ричард (февраль 2003 г.). «Ранний равный темперамент, слуховая перспектива: Клод Монталь 1836». Журнал фортепианных техников . Канзас-Сити.
• Нидэм, Джозеф ; Линг, Ван; Робинсон, Кеннет Г. (1962). Наука и цивилизация в Китае . Том 4. Часть 1. Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-05802-5 .
• Нидэм, Джозеф; Ронан, Колин А. (1978). Короткая наука и цивилизация в Китае . Том 4. Часть 1. Издательство Кембриджского университета.
• Партч, Гарри (1979). Генезис музыки (2-е изд.). Да Капо Пресс. ISBN  0-306-80106-Х .
• Робинсон, Кеннет (1980). Критическое исследование вклада Чу Цай-юя в теорию равного темперамента в китайской музыке . Том 9 Sinologica Coloniensia. Висбаден: Штайнер. ISBN  978-3-515-02732-8 .
• Сетарес, Уильям А. (2005). Настройка, тембр, спектр, гамма (2-е изд.). Лондон: Springer-Verlag. ISBN  1-85233-797-4 .
• Правда, Тимати (2018). «Битва между безупречной интонацией и максимальной модуляцией» . Музыкальные предложения . 9 (2): 61–74. дои : 10.15385/jmo.2018.9.2.2 .
• фон Гельмгольц, Герман ; Эллис, Александр Дж. (1885). Об ощущениях тона как физиологической основе теории музыки (2-е изд.). Лондон: Лонгманс, Грин.
• Уилсон, Джон (1997). «Тридцать прелюдий во всех (24) тональностях для лютни [ДП 49]» . Диапазон Пресс . Проверено 27 октября 2020 г.

Дальнейшее чтение

• Даффин, Росс В. Как равный темперамент разрушил гармонию (и почему вас это должно волновать) . WW Norton & Company, 2007.
• Йоргенсен, Оуэн. Тюнинг . Издательство Мичиганского государственного университета, 1991. ISBN   0-87013-290-3
• Храмов Михаил. «Аппроксимация 5-предельной справедливой интонации. Компьютерное MIDI-моделирование в отрицательных системах равных делений октавы», Материалы международной конференции SIGMAP-2008. , 26–29 июля 2008 г., Порту , стр. 181–184, ISBN   978-989-8111-60-9
• Сурджодининграт В., Сударжана П.Дж. и Сусанто А. (1972) Измерения тона выдающихся яванских гамеланов в Джокьякарте и Суракарте , издательство Gadjah Mada University Press, Джокьякарта, 1972. Цитируется по https://web.archive.org/web/. 20050127000731/http://web.telia.com/~u57011259/pelog_main.htm . Проверено 19 мая 2006 г.
• Стюарт, П.Дж. (2006) «От галактики к галактике: музыка сфер» [1]
• «Ощущения тона» — фундаментальный труд Германа фон Гельмгольца по акустике и восприятию звука. Особенно Приложение XX: Дополнения переводчика, страницы 430–556 (страницы 451–577 в формате PDF)]

Внешние ссылки

• Вики Xenharmonic об EDO и равных темпераментах
• Центр микротональной музыки Фонда Гюйгенса-Фоккера
• А.Орландини: Музыкальная акустика
• «Темперамент» из приложения к циклопедии мистера Чемберса (1753 г.)
• Барбьери, Патрицио. Энгармонические инструменты и музыка, 1470–1900 гг. Архивировано 15 февраля 2009 г. в Wayback Machine . (2008) Латина, Il Levante Libreria Editrice
• Фрактальная микротональная музыка Джима Кукулы .
• Все существующие цитаты XVIII века об И.С. Бахе и темпераменте.
• Доминик Экерсли: « Возвращение к Розетте: очень обычный темперамент Баха »
• Ну темпераменты, основанные на определении Веркмайстера
• ПРЕДПОЧИТАЕМЫЕ ​ МОДСТВА ​ ШКАЛ S ​ ​ ПИТЕРА ​ БУХА ​