Оператор Хатчинсона

В математике , при изучении фракталов , оператор Хатчинсона — это коллективное действие набора сокращений, называемое итерированной функциональной системой . Итерация аттрактору оператора сходится к уникальному , который часто представляет собой самоподобное фиксированное множество оператора.

Определение

Позволять $\{f_{i}:X\to X\ |\ 1\leq i\leq N\}$ быть системой функций или набором сокращений итерированной из компактного набора $X$ самому себе. Оператор $H$ определяется по подмножествам $S\subset X$ как

$H(S)=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S).\,$

Ключевой вопрос – описать аттракторы. $A=H(A)$ этого оператора, которые представляют собой компакты. Один из способов создания такого набора — начать с начального компакта. $S_{0}\subset X$ (который может быть одной точкой, называемой начальным числом) и выполнить итерацию $H$ следующее

$S_{n+1}=H(S_{n})=\bigcup _{i=1}^{N}f_{i}(S_{n})$

и переходя к пределу, итерация сходится к аттрактору

$A=\lim _{n\to \infty }S_{n}.$

Характеристики

Хатчинсон показал в 1981 году существование и уникальность аттрактора. $A$. Доказательство следует за показом того, что оператор Хатчинсона сжимает множество компактных подмножеств $X$ на расстоянии Хаусдорфа .

Коллекция функций $f_{i}$ вместе с композицией образуют моноид . С помощью N функций моноид можно представить как полное N-арное дерево или дерево Кэли .