Теорема Бонне

Эта статья о теореме Бонне в классической механике. Чтобы узнать о теореме Бонне в дифференциальной геометрии, см. Теорему Бонне .

В классической механике теорема Бонне утверждает, что если каждое из n различных силовых полей создает одну и ту же геометрическую орбиту (скажем, эллипс заданных размеров), хотя и с разными скоростями v ₁ , v ₂ ,..., v _n в данной точке P , то по той же орбите можно будет следовать, если скорость в точке P равна

$v_{\mathrm {combined} }={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}$

История

Эту теорему впервые вывел Адриен-Мари Лежандр в 1817 году. но он назван в честь Пьера Оссиана Бонне .

Вывод

Форма орбиты определяется только центростремительными силами в каждой точке орбиты, которые представляют собой силы, действующие перпендикулярно орбите. Напротив, силы вдоль орбиты изменяют только скорость, но не направление скорости .

Обозначим мгновенный радиус кривизны в точке P орбиты через R . Для К ^й силовое поле, которое создает эту орбиту, сила, нормальная к орбите F _k, должна обеспечивать центростремительную силу

$F_{k}={\frac {m}{R}}v_{k}^{2}$

Сложение всех этих сил дает уравнение

$\sum _{k=1}^{n}F_{k}={\frac {m}{R}}\sum _{k=1}^{n}v_{k}^{2}$

Следовательно, объединенное силовое поле создает ту же орбиту, если скорость в точке P установить равной

$v_{\mathrm {combined} }={\sqrt {v_{1}^{2}+v_{2}^{2}+\cdots +v_{n}^{2}}}$