Теорема Бонне
В математической области дифференциальной геометрии основная теорема теории поверхностей касается проблемы задания геометрических данных подмногообразия евклидова пространства . Первоначально доказанная Пьером Оссианом Бонне в 1867 году, с тех пор она была распространена на более высокие измерения и неевклидовы контексты.
Теорема Бонне
[ редактировать ]Любая поверхность в трёхмерном евклидовом пространстве имеет первую и вторую фундаментальную форму , которые автоматически связаны между собой уравнениями Гаусса–Кодацци . Теорема Бонне утверждает локальное обращение к этому результату. [1]
Учитывая открытую область D в R 2 , пусть g и h — симметричные 2-тензоры на D , причем g дополнительно должен быть положительно определенным. Если они гладкие и удовлетворяют уравнениям Гаусса – Кодацци, то теорема Бонне гласит, что D покрыто открытыми множествами, которые можно гладко вложить в R. 3 с первой фундаментальной формой g и второй фундаментальной формой (относительно одного из двух вариантов единичного нормального векторного поля) h . При этом каждое из этих вложений однозначно определяется с точностью до движения R жесткого 3 .
Теорема Бонне является следствием теоремы Фробениуса при рассмотрении уравнений Гаусса – Кодацци как системы уравнений в частных производных первого порядка для двух координатных производных вектора положения вложения вместе с вектором нормали. [2]
Общие формулировки
[ редактировать ]Теорему Бонне можно естественным образом сформулировать для гиперповерхностей в евклидовом пространстве любой размерности, и результат остается верным и в этом контексте. Более того, теорема может быть расширена от локальной формулировки Бонне до глобальной формулировки , позволяя D быть любым связным и односвязным гладким многообразием , с результатом, утверждающим существование и единственность (с точностью до жесткого движения) гладкого погружения D как гиперповерхность евклидова пространства с первой фундаментальной формой g и второй фундаментальной формой h . Идея доказательства состоит в том, чтобы с помощью теории существования из локальной формулировки построить погружение по произвольным кривым, исходящим из одной точки. Односвязность используется, чтобы сказать, что любые две такие кривые с общим концом гомотопны (через пути, фиксирующие концы), а уникальность из локальной формулировки подразумевает, что значение погружения в конечной точке должно быть зафиксировано через гомотопию, поэтому что в результате получается погружение, которое корректно определено на всем многообразии. [3]
В этой глобальной формулировке существование вообще не имело бы места, если бы было удалено условие односвязности. Это видно из отсутствия гиперповерхностного погружения тора, первая фундаментальная форма которого плоская , а вторая фундаментальная форма равна нулю. [4]
Теорему также можно распространить за пределы контекста гиперповерхностей на теорию подмногообразий произвольной коразмерности . Это сложнее сформулировать, поскольку помимо первой и второй фундаментальных форм существует еще (вообще нетривиальная) связь в нормальном расслоении , которую необходимо учитывать. В этой общности фундаментальная теорема теории поверхностей включает в себя фундаментальную теорему о кривых . [5]
В этом общем контексте объемлющее евклидово пространство также может быть заменено любым связным и геодезически полным римановым многообразием постоянной кривизны , которое (как и в более частном случае более высокой коразмерности) требует подходящей расширенной формулировки уравнений Гаусса – Кодацци. [5]
Ссылки
[ редактировать ]- ^ Четверг Кармо 2016 , Раздел 4-3; Струик 1961 , Раздел 3-6.
- ^ do Carmo 2016 , Приложение к главе 4; Спивак 1999а , стр. 56–59.
- ^ Кобаяши и Номидзу 1969 , Раздел VII.7.
- ^ Спивак 1999а , с. 61.
- ^ Jump up to: а б Спивак 1999b , раздел 7C.
Библиография
[ редактировать ]- Бонне, О. (1867). «Память по теории поверхностей, применимая к данной поверхности». Журнал Политехнической школы . 42 :72–92.
- ду Карму, Манфредо П. (2016). Дифференциальная геометрия кривых и поверхностей (пересмотренное и обновленное второе издание оригинального издания 1976 г.). Минеола, штат Нью-Йорк: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-80699-0 . МР 3837152 . Збл 1352.53002 .
- Кобаяши, Сошичи ; Номидзу, Кацуми (1969). Основы дифференциальной геометрии. Том II . Межнаучные трактаты по чистой и прикладной математике. Том. 15. Нью-Йорк – Лондон: John Wiley & Sons, Inc. ISBN. 0-471-15732-5 . МР 0238225 . Збл 0175.48504 .
- Спивак, Михаил (1999a). Полное введение в дифференциальную геометрию. Том III (Третье издание оригинальной редакции 1975 г.). Publish or Perish, Inc. Уилмингтон, Делавэр: ISBN 0-914098-72-1 . МР 0532832 . Збл 1213.53001 .
- Спивак, Майкл (1999b). Полное введение в дифференциальную геометрию. Том IV (Третье издание оригинальной редакции 1975 г.). Опубликуй или погибни, Inc. ISBN 0-914098-73-Х . МР 0532833 . Збл 1213.53001 .
- Струик, Дирк Дж. (1961). Лекции по классической дифференциальной геометрии (второе издание оригинальной редакции 1950 г.). Лондон: Addison-Wesley Publishing Co. ISBN 0-486-65609-8 . МР 0939369 . Збл 0105.14707 .