Динамическая система Лиувилля

В классической механике — динамическая система Лиувилля это точно решаемая динамическая система , в которой кинетическая энергия T и потенциальная энергия V могут быть выражены через обобщенные координаты q следующим образом:

$T={\frac {1}{2}}\left\{u_{1}(q_{1})+u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})\right\}\left\{v_{1}(q_{1}){\dot {q}}_{1}^{2}+v_{2}(q_{2}){\dot {q}}_{2}^{2}+\cdots +v_{s}(q_{s}){\dot {q}}_{s}^{2}\right\}$

$V={\frac {w_{1}(q_{1})+w_{2}(q_{2})+\cdots +w_{s}(q_{s})}{u_{1}(q_{1})+u_{2}(q_{2})+\cdots +u_{s}(q_{s})}}$

Решение этой системы состоит из системы раздельно интегрируемых уравнений

${\frac {\sqrt {2}}{Y}}\,dt={\frac {d\varphi _{1}}{\sqrt {E\chi _{1}-\omega _{1}+\gamma _{1}}}}={\frac {d\varphi _{2}}{\sqrt {E\chi _{2}-\omega _{2}+\gamma _{2}}}}=\cdots ={\frac {d\varphi _{s}}{\sqrt {E\chi _{s}-\omega _{s}+\gamma _{s}}}}$

где E = T + V — сохраняющаяся энергия, а $\gamma _{s}$ являются константами. , переменные были заменены с на _{функции} φs _, us и _{заменены} ws Как описано ниже _их аналогами χs _и а ωs _qs . Это решение имеет множество применений, например, орбита маленькой планеты вокруг двух неподвижных звезд под действием ньютоновской гравитации . Динамическая система Лиувилля — одна из нескольких систем, названных в честь Жозефа Лиувилля , выдающегося французского математика.

Пример бицентрических орбит

В классической механике задача трёх тел Эйлера описывает движение частицы в плоскости под действием двух неподвижных центров, каждый из которых притягивает частицу силой, обратной квадрату, такой как гравитация Ньютона или закон Кулона . Примеры проблемы бицентра включают планету, движущуюся вокруг двух медленно движущихся звезд , или электрон, движущийся в электрическом поле двух положительно заряженных ядер , таких как первый ион молекулы водорода H ₂ , а именно молекулярный ион водорода или H _{2 .} ⁺ . Сила двух притяжений не обязательно должна быть одинаковой; таким образом, две звезды могут иметь разные массы или ядра могут иметь два разных заряда.

Решение

Пусть фиксированные центры притяжения расположены вдоль оси x в точке ± a . Потенциальная энергия движущейся частицы определяется выражением

$V(x,y)={\frac {-\mu _{1}}{\sqrt {\left(x-a\right)^{2}+y^{2}}}}-{\frac {\mu _{2}}{\sqrt {\left(x+a\right)^{2}+y^{2}}}}.$

Два центра притяжения можно рассматривать как фокусы множества эллипсов. Если бы какой-либо центр отсутствовал, частица двигалась бы по одному из этих эллипсов, что является решением проблемы Кеплера . Следовательно, согласно теореме Бонне , те же эллипсы являются решениями проблемы бицентра.

Вводя эллиптические координаты ,

$x=a\cosh \xi \cos \eta ,$

$y=a\sinh \xi \sin \eta ,$

потенциальную энергию можно записать как

$V(\xi ,\eta )={\frac {-\mu _{1}}{a\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}}-{\frac {\mu _{2}}{a\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)}}={\frac {-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)}{a\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)}},$

и кинетическая энергия как

$T={\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)\left({\dot {\xi }}^{2}+{\dot {\eta }}^{2}\right).$

Это динамическая система Лиувилля, если ξ и η взяты в качестве φ ₁ и φ ₂ соответственно; таким образом, функция Y равна

$Y=\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta$

а функция W равна

$W=-\mu _{1}\left(\cosh \xi +\cos \eta \right)-\mu _{2}\left(\cosh \xi -\cos \eta \right)$

Используя приведенное ниже общее решение для динамической системы Лиувилля, можно получить

${\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\xi }}^{2}=E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma$

${\frac {ma^{2}}{2}}\left(\cosh ^{2}\xi -\cos ^{2}\eta \right)^{2}{\dot {\eta }}^{2}=-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma$

Вводя параметр u по формуле

$du={\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}={\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}},$

дает параметрическое решение

$u=\int {\frac {d\xi }{\sqrt {E\cosh ^{2}\xi +\left({\frac {\mu _{1}+\mu _{2}}{a}}\right)\cosh \xi -\gamma }}}=\int {\frac {d\eta }{\sqrt {-E\cos ^{2}\eta +\left({\frac {\mu _{1}-\mu _{2}}{a}}\right)\cos \eta +\gamma }}}.$

Поскольку это эллиптические интегралы , координаты ξ и η можно выразить как эллиптические функции от u .

Постоянная движения

Бицентрическая задача имеет постоянную движения, а именно:

$r_{1}^{2}\,r_{2}^{2}{\frac {d\theta _{1}}{dt}}{\frac {d\theta _{2}}{dt}}+2\,c\left(\mu _{1}\cos \theta _{1}-\mu _{2}\cos \theta _{2}\right),$

откуда задачу можно решить методом последнего множителя.

Вывод

Новые переменные

Чтобы исключить функции v , переменные заменяются эквивалентным набором

$\varphi _{r}=\int dq_{r}{\sqrt {v_{r}(q_{r})}},$

давая отношение

$v_{1}(q_{1}){\dot {q}}_{1}^{2}+v_{2}(q_{2}){\dot {q}}_{2}^{2}+\cdots +v_{s}(q_{s}){\dot {q}}_{s}^{2}={\dot {\varphi }}_{1}^{2}+{\dot {\varphi }}_{2}^{2}+\cdots +{\dot {\varphi }}_{s}^{2}=F,$

который определяет новую переменную F . Используя новые переменные, функции u и w можно выразить через эквивалентные функции χ и ω. Обозначая сумму функций χ через Y ,

$Y=\chi _{1}(\varphi _{1})+\chi _{2}(\varphi _{2})+\cdots +\chi _{s}(\varphi _{s}),$

кинетическую энергию можно записать как

$T={\frac {1}{2}}YF.$

Аналогично, обозначая сумму ω-функций через W

$W=\omega _{1}(\varphi _{1})+\omega _{2}(\varphi _{2})+\cdots +\omega _{s}(\varphi _{s}),$

потенциальную энергию V можно записать как

$V={\frac {W}{Y}}.$

Уравнение Лагранжа

Уравнение Лагранжа для r ^й переменная $\varphi _{r}$ является

${\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial T}{\partial {\dot {\varphi }}_{r}}}\right)={\frac {d}{dt}}\left(Y{\dot {\varphi }}_{r}\right)={\frac {1}{2}}F{\frac {\partial Y}{\partial \varphi _{r}}}-{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{r}}}.$

Умножив обе части на $2Y{\dot {\varphi }}_{r}$, перестановка и использование соотношения 2 T = YF дают уравнение

$2Y{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {d}{dt}}\left(Y{\dot {\varphi }}_{r}\right)=2T{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial Y}{\partial \varphi _{r}}}-2Y{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial V}{\partial \varphi _{r}}}=2{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial }{\partial \varphi _{r}}}\left[(E-V)Y\right],$

который можно записать как

${\frac {d}{dt}}\left(Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}\right)=2E{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial Y}{\partial \varphi _{r}}}-2{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {\partial W}{\partial \varphi _{r}}}=2E{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {d\chi _{r}}{d\varphi _{r}}}-2{\dot {\varphi }}_{r}{\frac {d\omega _{r}}{d\varphi _{r}}},$

где E = T + V — (сохраняющаяся) полная энергия. Отсюда следует, что

${\frac {d}{dt}}\left(Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}\right)=2{\frac {d}{dt}}\left(E\chi _{r}-\omega _{r}\right),$

которые можно проинтегрировать один раз, чтобы получить

${\frac {1}{2}}Y^{2}{\dot {\varphi }}_{r}^{2}=E\chi _{r}-\omega _{r}+\gamma _{r},$

где $\gamma _{r}$ являются константами интегрирования с учетом закона сохранения энергии

$\sum _{r=1}^{s}\gamma _{r}=0.$

Инвертирование, извлечение квадратного корня и разделение переменных дает набор раздельно интегрируемых уравнений:

${\frac {\sqrt {2}}{Y}}dt={\frac {d\varphi _{1}}{\sqrt {E\chi _{1}-\omega _{1}+\gamma _{1}}}}={\frac {d\varphi _{2}}{\sqrt {E\chi _{2}-\omega _{2}+\gamma _{2}}}}=\cdots ={\frac {d\varphi _{s}}{\sqrt {E\chi _{s}-\omega _{s}+\gamma _{s}}}}.$

Дальнейшее чтение

• Уиттакер, ET (1937). Трактат об аналитической динамике частиц и твердых тел с введением в проблему трех тел (4-е изд.). Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN.