Задача трех тел

Эта статья о теории физики. Чтобы узнать о других значениях, см. Задача трех тел (значения) .

Приближенные траектории трех одинаковых тел, расположенных в вершинах разностороннего треугольника и имеющих нулевые начальные скорости. Центр масс , в соответствии с законом сохранения импульса , остаётся на месте.

В физике , особенно в классической механике , задача трёх тел включает в себя определение начальных положений и скоростей (или импульсов ) трёх точечных масс , вращающихся вокруг друг друга в пространстве, и вычисление их последующих траекторий с использованием законов движения Ньютона и закона всемирного тяготения Ньютона .

В отличие от задачи двух тел , задача трёх тел не имеет общего решения в замкнутой форме . Когда три тела вращаются вокруг друг друга, результирующая динамическая система является хаотичной для большинства начальных условий , и единственный способ предсказать движения тел — это рассчитать их с помощью численных методов .

Задача трёх тел является частным случаем задачи n тел . Исторически сложилось так, что первой конкретной задачей трёх тел, получившей расширенное изучение, была проблема, связанная с Луной , Землей и Солнцем . В расширенном современном смысле задача трёх тел — это любая задача классической или квантовой механики , моделирующая движение трёх частиц.

Математическое описание

Математическая постановка задачи трех тел может быть дана в терминах ньютоновских уравнений движения векторных положений. $\mathbf {r_{i}} =(x_{i},y_{i},z_{i})$ трех гравитационно взаимодействующих тел с массами $m_{i}$:

$${\begin{aligned}{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {1} }&=-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {2} }&=-Gm_{3}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{3}} |^{3}}}-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}},\\{\ddot {\mathbf {r} }}_{\mathbf {3} }&=-Gm_{1}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |^{3}}}-Gm_{2}{\frac {\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} }{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |^{3}}}.\end{aligned}}$$ где $G$ является гравитационной постоянной . Это совокупность девяти дифференциальных уравнений второго порядка . Задачу можно также сформулировать эквивалентно в гамильтоновом формализме , и в этом случае она описывается набором из 18 дифференциальных уравнений первого порядка, по одному для каждой компоненты позиций. $\mathbf {r_{i}}$ и импульс $\mathbf {p_{i}}$:

$${\frac {d\mathbf {r_{i}} }{dt}}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {p_{i}} }},\qquad {\frac {d\mathbf {p_{i}} }{dt}}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial \mathbf {r_{i}} }},$$

где ${\mathcal {H}}$ является гамильтонианом :

$${\mathcal {H}}=-{\frac {Gm_{1}m_{2}}{|\mathbf {r_{1}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{2}m_{3}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{2}} |}}-{\frac {Gm_{3}m_{1}}{|\mathbf {r_{3}} -\mathbf {r_{1}} |}}+{\frac {\mathbf {p_{1}} ^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {\mathbf {p_{2}} ^{2}}{2m_{2}}}+{\frac {\mathbf {p_{3}} ^{2}}{2m_{3}}}.$$

В этом случае ${\mathcal {H}}$ это просто полная энергия системы, гравитационная плюс кинетическая.

Ограниченная задача трех тел.

Круговая ограниченная задача трех тел. является действительным приближением эллиптических орбит, найденных в Солнечной системе , и это можно представить как комбинацию потенциалов, обусловленных гравитацией двух первичных тел, а также центробежным эффектом от их вращения ( эффекты Кориолиса являются динамическими и не показаны). Тогда точки Лагранжа можно рассматривать как пять мест, где градиент на результирующей поверхности равен нулю, что указывает на то, что силы там находятся в равновесии.

В ограниченной задаче трёх тел тело незначительной массы («планетоид») движется под действием двух массивных тел. Имея незначительную массу, планетоид оказывает давление на два массивных тела, которыми можно пренебречь; поэтому полученную систему можно проанализировать и описать как задачу движения двух тел. По отношению к вращающейся системе отсчета два тела, вращающихся по одной орбите, неподвижны, а третье может также быть неподвижным в точках Лагранжа или двигаться вокруг них, например, по подковообразной орбите . Может оказаться полезным рассмотреть эффективный потенциал . Обычно считается, что это движение двух тел состоит из круговых орбит вокруг центра масс , и предполагается, что планетоид движется в плоскости, определяемой круговыми орбитами.

Ограниченную задачу трех тел легче анализировать теоретически, чем полную задачу. Это также представляет практический интерес, поскольку точно описывает многие реальные проблемы, наиболее важным примером которых является система Земля-Луна-Солнце. По этим причинам оно сыграло важную роль в историческом развитии проблемы трёх тел.

Математически задача формулируется следующим образом. Позволять $m_{1,2}$ — массы двух массивных тел с (плоскими) координатами $(x_{1},y_{1})$ и $(x_{2},y_{2})$, и пусть $(x,y)$ - координаты планетоида. Для простоты выберите такие единицы измерения, чтобы расстояние между двумя массивными телами, а также гравитационная постоянная были равны $1$. Тогда движение планетоида определяется выражением

$${\begin{aligned}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {x-x_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {x-x_{2}}{r_{2}^{3}}},\\{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-m_{1}{\frac {y-y_{1}}{r_{1}^{3}}}-m_{2}{\frac {y-y_{2}}{r_{2}^{3}}},\end{aligned}}$$

где $r_{i}={\sqrt {(x-x_{i})^{2}+(y-y_{i})^{2}}}$. В этой форме уравнения движения имеют явную зависимость от времени через координаты $x_{i}(t),y_{i}(t)$. Однако эту временную зависимость можно устранить путем преобразования во вращающуюся систему отсчета, что упрощает любой последующий анализ.

Решения

Общее решение

В то время как система трех тел, взаимодействующих гравитационно, является хаотичной , система трех тел, взаимодействующих упруго, хаотичной не является.

не существует . в замкнутой форме Общего решения задачи трех тел Другими словами, она не имеет общего решения, которое можно было бы выразить с помощью конечного числа стандартных математических операций. При этом движение трех тел вообще неповторяющееся, за исключением особых случаев.

Однако в 1912 году финский математик Карл Фритиоф Сундман доказал, что существует аналитическое решение задачи трех тел в виде ряда Пюизо , а именно степенного ряда через степени t. ^1/3 . Этот ряд сходится при всех действительных t , кроме начальных условий, соответствующих нулю момента импульса . На практике последнее ограничение несущественно, поскольку начальные условия с нулевым угловым моментом встречаются редко и имеют меру Лебега нулевую .

Важным вопросом при доказательстве этого результата является тот факт, что радиус сходимости этого ряда определяется расстоянием до ближайшей особенности. Поэтому необходимо изучить возможные особенности задач трех тел. Как кратко обсуждается ниже, единственными сингулярностями в задаче трех тел являются бинарные столкновения (столкновения двух частиц в один момент) и тройные столкновения (столкновения трех частиц в один момент).

Столкновения любого числа несколько маловероятны, поскольку было показано, что они соответствуют набору начальных условий нулевой меры. Но не известно какого-либо критерия, который можно было бы положить в начальное состояние, чтобы избежать коллизий для соответствующего решения. Итак, стратегия Сундмана состояла из следующих шагов:

1. Использование соответствующей замены переменных для продолжения анализа решения за пределами бинарного столкновения в процессе, известном как регуляризация .
2. Доказательство того, что тройные столкновения происходят только тогда, когда угловой момент L обращается в нуль. Ограничив исходные данные до L ≠ 0 , он удалил все вещественные особенности из преобразованных уравнений задачи трех тел.
3. Показывая, что если L ≠ 0 , то не только не может быть тройного столкновения, но и система строго отделена от тройного столкновения. По для Коши теореме существования дифференциальных уравнений это означает, что в полосе (в зависимости от значения L ) в комплексной плоскости с центром вокруг действительной оси (связано с теоремой Коши – Ковалевской ) не существует комплексных особенностей.
4. Найдите конформное преобразование, которое отображает эту полосу в единичный круг. Например, если s = t ^1/3 (новая переменная после регуляризации) и если | пер с | ≤ β , тогда эта карта задается формулой $$\sigma ={\frac {e^{\frac {\pi s}{2\beta }}-1}{e^{\frac {\pi s}{2\beta }}+1}}.$$

На этом доказательство теоремы Сундмана закончено.

Соответствующий ряд сходится крайне медленно. То есть для получения значения значимой точности требуется так много членов, что это решение имеет мало практического применения. Действительно, в 1930 году Давид Белоришки подсчитал, что если бы ряды Сундмана использовались для астрономических наблюдений, то вычисления потребовали бы как минимум 10 ^{8 000 000} условия.

Решения для особых случаев

В 1767 году Леонард Эйлер нашел три семейства периодических решений, в которых три массы в каждый момент времени коллинеарны.

В 1772 году Лагранж нашел семейство решений, в которых три массы в каждый момент времени образуют равносторонний треугольник. Вместе с коллинеарными решениями Эйлера эти решения образуют центральные конфигурации задачи трех тел. Эти решения справедливы для любых соотношений масс, причем массы движутся по кеплеровским эллипсам . Эти четыре семейства — единственные известные решения, для которых существуют явные аналитические формулы. В частном случае круговой ограниченной задачи трех тел эти решения, рассматриваемые в системе отсчета, вращающейся вместе с основными элементами, становятся точками, называемыми лагранжевыми точками и обозначаемыми L ₁ , L ₂ , L ₃ , L ₄ и L ₅ , где L ₄ и L ₅ являются симметричными экземплярами решения Лагранжа.

В работе, обобщенной в 1892–1899 годах, Анри Пуанкаре установил существование бесконечного числа периодических решений ограниченной задачи трех тел, а также методы продолжения этих решений в общую задачу трех тел.

В 1893 году Мейсель сформулировал то, что сейчас называется проблемой трех тел Пифагора: три массы в соотношении 3:4:5 покоятся в вершинах прямоугольного треугольника 3:4:5 , причем самое тяжелое тело находится справа. угол и самый легкий под меньшим острым углом. Буррау дополнительно исследовали эту проблему в 1913 году. В 1967 году Виктор Себехей и К. Фредерик Петерс установили возможный вылет легчайшего тела для этой проблемы с помощью численного интегрирования, и в то же время нашли ближайшее периодическое решение.

Анимация решения задачи трех тел в виде восьмерки за один период T ≃ 6,3259.

20 примеров периодических решений задачи трех тел

В 1970-х годах Мишель Энон и Роджер А. Брук нашли каждый набор решений, которые являются частью одного и того же семейства решений: семейства Брука-Энона-Хаджидеметриу. В этом семействе все три объекта имеют одинаковую массу и могут иметь как ретроградную, так и прямую форму. В некоторых решениях Брука два тела следуют по одному и тому же пути.

В 1993 году физик Крис Мур из Института Санта-Фе нашел решение с нулевым угловым моментом с тремя равными массами, движущимися по форме восьмерки. В 2000 году математики Ален Ченсинер и Ричард Монтгомери доказали его формальное существование. Численно показано, что решение устойчиво при небольших возмущениях массы и параметров орбит, что позволяет наблюдать такие орбиты в физической Вселенной. Но утверждалось, что это маловероятно, поскольку область стабильности мала. Например, вероятность бинарно-бинарного рассеяния события По оценкам, орбита в форме восьмерки составляет небольшую долю процента.

В 2013 году физики Милован Шуваков и Велько Дмитрашинович из Института физики в Белграде обнаружили 13 новых семейств решений задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом.

В 2015 году физик Ана Худомал обнаружила 14 новых семейств решений задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом.

В 2017 году исследователи Сяомин Ли и Шицзюнь Ляо обнаружили 669 новых периодических орбит задачи трех тел с равной массой и нулевым угловым моментом. За этим в 2018 году последовало еще 1223 новых решения для системы неравных масс с нулевым угловым моментом.

В 2018 году Ли и Ляо сообщили о 234 решениях задачи трех тел о «свободном падении» с неравной массой. Формулировка свободного падения начинается с того, что все три тела находятся в состоянии покоя. Из-за этого массы в конфигурации свободного падения не вращаются по замкнутому «петле», а перемещаются вперед и назад по открытой «дорожке».

В 2023 году Иван Христов, Радослава Христова, Дмитрашинович и Киётака Таникава опубликовали исследование задачи трех тел «периодические орбиты свободного падения», ограниченное случаем равной массы, и нашли 12 409 различных решений.

Численные подходы

Используя компьютер, задача может быть решена с произвольно высокой точностью с помощью численного интегрирования, хотя высокая точность требует большого количества процессорного времени. Были попытки создания компьютерных программ, которые численно решают проблему трех тел (и, в более широком смысле, проблему n тел), включающую как электромагнитные, так и гравитационные взаимодействия, а также включающие современные теории физики, такие как специальная теория относительности. Кроме того, используя теорию случайных блужданий , можно вычислить приблизительную вероятность различных исходов.

История

Проблема гравитации трех тел в ее традиционном понимании по существу восходит к 1687 году, когда Исаак Ньютон опубликовал свою «Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica» , когда Ньютон пытался выяснить, возможна ли какая-либо долгосрочная стабильность, особенно системы нашей Земли , Луны. , и Солнце. Под руководством крупнейших эпохи Возрождения астрономов Николая Коперника , Тихо Браге и Иоганна Кеплера он пришел к истокам гравитационной проблемы трех тел. В предложении 66 первой книги « Начал» и его 22 следствиях Ньютон сделал первые шаги в определении и изучении проблемы движения трех массивных тел, подчиненных их взаимно возмущающим гравитационным притяжениям. В предложениях 25–35 книги 3 Ньютон также сделал первые шаги в применении результатов предложения 66 к теории Луны , движения Луны под гравитационным влиянием Земли и Солнца. Позже эта проблема была применена и к взаимодействиям других планет с Землей и Солнцем.

К физической проблеме впервые обратился Америго Веспуччи , а затем Галилео Галилей , а также Симон Стевин , но они не осознавали, какой вклад они внесли. Хотя Галилей установил, что скорость падения всех тел изменяется равномерно и одинаково, он не применил это к движению планет. Тогда как в 1499 году Веспуччи использовал знание положения Луны, чтобы определить свое положение в Бразилии. Это приобрело техническое значение в 1720-х годах, поскольку точное решение могло быть применимо к навигации, особенно для определения долготы на море , что было решено на практике благодаря Джона Харрисона изобретению морского хронометра . Однако точность лунной теории была низкой из-за возмущающего воздействия Солнца и планет на движение Луны вокруг Земли.

Жан ле Рон д'Аламбер и Алексис Клеро , между которыми возникло давнее соперничество, оба пытались проанализировать проблему в некоторой степени общности; они представили свои конкурирующие первые исследования в Королевскую академию наук в 1747 году. название «задача трёх тел» ( французский : Problème des trois Corps Именно в связи с их исследованиями в Париже в 1740-х годах стало широко использоваться ). В отчете, опубликованном в 1761 году Жаном ле Роном д'Аламбером, указывается, что это имя впервые было использовано в 1747 году.

В конце 19 - начале 20 века подход к решению задачи трех тел с использованием короткодействующих сил притяжения двух тел разрабатывался учеными, которые предложили П. Ф. Бедак, Х.-В. Хаммеру и У. ван Колку пришла идея перенормировать задачу трех тел ближнего действия, предоставив ученым редкий пример ренормгруппы предельного цикла в начале 21 века. Джордж Уильям Хилл работал над ограниченной проблемой в конце 19 века, используя движение Венеры и Меркурия .

В начале 20 века Карл Сундман подошел к этой проблеме математически и систематически, предоставив функциональное теоретическое доказательство проблемы, справедливое для всех значений времени. Это был первый раз, когда ученые теоретически решили задачу трех тел. Однако, поскольку не было достаточно качественного решения этой системы, а ученые слишком медленно ее применяли на практике, это решение все же оставляло некоторые проблемы нерешенными. был обнаружен эффект трех тел от двухчастичных сил В 1970-х годах В. Ефимовым , получивший название эффекта Ефимова .

В 2017 году Шицзюнь Ляо и Сяомин Ли применили новую стратегию численного моделирования хаотических систем, называемую чистым численным моделированием (CNS), с использованием национального суперкомпьютера, чтобы успешно получить 695 семейств периодических решений системы трех тел с равная масса.

В 2019 году Брин и др. объявила о быстром решении нейронной сети для задачи трех тел, обученном с использованием числового интегратора.

По сообщениям, в сентябре 2023 года было найдено несколько возможных решений проблемы.

Другие проблемы, связанные с тремя телами

Термин «задача трех тел» иногда используется в более общем смысле для обозначения любой физической задачи, связанной с взаимодействием трех тел.

Квантовомеханическим аналогом гравитационной задачи трёх тел в классической механике является атом гелия , в котором ядро ​​гелия и два электрона взаимодействуют по закону обратного квадрата кулоновского взаимодействия . Как гравитационную задачу трех тел, атом гелия не может быть решен точно.

Однако как в классической, так и в квантовой механике существуют нетривиальные законы взаимодействия, помимо силы обратных квадратов, которые действительно приводят к точным аналитическим решениям для трех тел. Одна из таких моделей состоит из комбинации гармонического притяжения и отталкивающей силы обратного куба. Эта модель считается нетривиальной, поскольку она связана с набором нелинейных дифференциальных уравнений, содержащих особенности (по сравнению, например, с одними только гармоническими взаимодействиями, которые приводят к легко решаемой системе линейных дифференциальных уравнений). В этих двух отношениях она аналогична (неразрешимым) моделям, имеющим кулоновское взаимодействие, и в результате была предложена в качестве инструмента для интуитивного понимания физических систем, таких как атом гелия.

В рамках модели точечного вихря движение вихрей в двумерной идеальной жидкости описывается уравнениями движения, содержащими производные по времени только первого порядка. Т.е. в отличие от механики Ньютона, именно скорость , а не ускорение определяется их взаимным расположением. Как следствие, проблема трех вихрей по-прежнему интегрируема . в то время как для получения хаотического поведения требуется не менее четырех вихрей. Можно провести параллели между движением пассивной частицы-трассера в поле скоростей трех вихрей и ограниченной задачей трех тел механики Ньютона.

Гравитационная проблема трёх тел также изучалась с помощью общей теории относительности . Физически релятивистский подход становится необходимым в системах с очень сильными гравитационными полями, например, вблизи горизонта событий черной дыры . Однако релятивистская проблема значительно сложнее, чем в механике Ньютона, и сложные численные методы требуются . Даже полная задача двух тел (т.е. для произвольного соотношения масс) не имеет строгого аналитического решения в общей теории относительности.

телом проблема с

Задача трех тел — это частный случай задачи n тел , которая описывает, как n объектов движутся под действием одной из физических сил, например гравитации . Эти проблемы имеют глобальное аналитическое решение в виде сходящегося степенного ряда, как было доказано Карлом Ф. Сундманом для n = 3 и Цюдуном Вангом для n > 3 ( n см. В задаче подробнее -тел). Однако ряды Сундмана и Ванга сходятся настолько медленно, что для практических целей они бесполезны; поэтому в настоящее время необходимо аппроксимировать решения путем численного анализа в форме численного интегрирования или, в некоторых случаях, классическими тригонометрическими рядами аппроксимации n (см. Моделирование -тел ). Атомные системы, например атомы, ионы и молекулы, можно рассматривать в терминах квантовой задачи n тел. Среди классических физических систем проблема n тел обычно относится к галактике или скоплению галактик ; Планетные системы, такие как звезды, планеты и их спутники, также можно рассматривать как n системы -тел. В некоторых приложениях удобно рассматривать теорию возмущений , в которой система рассматривается как задача двух тел плюс дополнительные силы, вызывающие отклонения от гипотетической невозмущенной траектории двух тел.

См. также

• Малочастичные системы
• Формирование и эволюция галактик
• Гравитационная помощь
• Точка Лагранжа
• Низкоэнергетическая передача
• Майкл Минович
• n -теловое моделирование
• Симплектический интегратор
• Sitnikov problem
• Задача двух тел
• Синодическая система отсчета
• Тройная звездная система
• Задача трех тел (роман)
• 3 Проблема тела (сериал)

Дальнейшее чтение

• Ошет, SJ (2003). Гравитационное моделирование n-тел . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN  978-0-521-43272-6 .
• Багла, Дж.С. (2005). «Космологическое моделирование N-тел: методы, объем и статус». Современная наука . 88 : 1088–1100. arXiv : astro-ph/0411043 . Бибкод : 2005CSci...88.1088B .
• Чемберс, Дж. Э.; Уэтерилл, GW (1998). «Создание планет земной группы: интеграция N-тел планетарных эмбрионов в трех измерениях». Икар . 136 (2): 304–327. Бибкод : 1998Icar..136..304C . CiteSeerX   10.1.1.64.7797 . дои : 10.1006/icar.1998.6007 .
• Эфстатиу, Г.; Дэвис, М.; Уайт, СДМ; Френк, CS (1985). «Численные методы для большого космологического моделирования N тел» . Астрофизический журнал . 57 : 241–260. Бибкод : 1985ApJS...57..241E . дои : 10.1086/191003 .
• Халкоуэр, Нил Д. (1978). «Задача трёх тел с нулевой энергией» . Математический журнал Университета Индианы . 27 (3): 409–447. Бибкод : 1978IUMJ...27..409H . дои : 10.1512/iumj.1978.27.27030 .
• Халкоуэр, Нил Д. (1980). «Центральные конфигурации и гиперболо-эллиптическое движение в задаче трех тел». Небесная механика . 21 (1): 37–41. Бибкод : 1980CeMec..21...37H . дои : 10.1007/BF01230244 . S2CID   123404551 .
• Ли, Сяомин; Ляо, Шиджун (2014). «Об устойчивости трех классов ньютоновских плоских периодических орбит трех тел». Наука Китай Физика, механика и астрономия . 57 (11): 2121–2126. arXiv : 1312.6796 . Бибкод : 2014SCPMA..57.2121L . дои : 10.1007/s11433-014-5563-5 . S2CID   73682020 .
• Мур, Кристофер (1993). «Косы в классической динамике» (PDF) . Письма о физических отзывах . 70 (24): 3675–3679. Бибкод : 1993PhRvL..70.3675M . doi : 10.1103/PhysRevLett.70.3675 . ПМИД   10053934 . Архивировано из оригинала (PDF) 8 октября 2018 г. Проверено 1 января 2016 г.
• Пуанкаре, Х. (1967). Новые методы небесной механики (3 тома, английское переводное изд.). Американский институт физики. ISBN  978-1-56396-117-5 .
• Шуваков, Милован; Дмитрашинович, В. (2013). «Три класса ньютоновских плоских периодических орбит трех тел». Письма о физических отзывах . 110 (10): 114301. arXiv : 1303.0181 . Бибкод : 2013PhRvL.110k4301S . doi : 10.1103/PhysRevLett.110.114301 . ПМИД   25166541 . S2CID   118554305 .

Внешние ссылки

• Ченсинер, Ален (2007). «Задача трёх тел» . Схоларпедия . 2 (10): 2111. Бибкод : 2007SchpJ...2.2111C . doi : 10.4249/scholarpedia.2111 .
• Физики нашли 13 новых решений задачи трех тел ( Наука )
• Симулятор трех тел. Архивировано 17 ноября 2022 г. в Wayback Machine - пример компьютерной программы, решающей задачу трех тел численно.