Уравнение Vis-viva

В астродинамике уравнение vis-viva . , также называемое законом инвариантности орбитальной энергии или формулой Бургаса , является одним из уравнений, моделирующих движение тел, вращающихся по орбитам . Это прямой результат принципа сохранения механической энергии , который применяется, когда единственной силой, действующей на объект, является его собственный вес, который представляет собой гравитационную силу, определяемую произведением массы объекта и силы окружающего гравитационного поля. .

Vis viva (лат. «жизненная сила») — термин из истории механики, и он сохранился только в этом контексте. согласно которому разница между общей работой ускоряющих Он представляет собой принцип , сил системы накопленной или и тормозящих сил равна половине жизненной силы, потерянной в системе во время выполнения работы.

Уравнение

Для любой кеплеровской орбиты ( эллиптической , параболической , гиперболической или радиальной ) vis-viva уравнение заключается в следующем: $$v^{2}=GM\left({2 \over r}-{1 \over a}\right)$$где:

• v - относительная скорость двух тел
• r - расстояние между центрами масс двух тел.
• a — длина большой полуоси ( a > 0 для эллипсов , a = ∞ или 1/ a = 0 для парабол и a < 0 для гипербол )
• G — гравитационная постоянная
• M — масса центрального тела

Произведение GM также можно выразить как стандартный гравитационный параметр, используя греческую букву μ .

Вывод для эллиптических орбит (0 ≤ эксцентриситет < 1)

В уравнении vis-viva масса m вращающегося тела (например, космического корабля) считается незначительной по сравнению с массой M центрального тела (например, Земли). Центральное тело и вращающееся тело также часто называют первичным и частицей соответственно. В конкретных случаях эллиптической или круговой орбиты уравнение vis-viva можно легко вывести из закона сохранения энергии и импульса.

Удельная полная энергия постоянна на протяжении всей орбиты. Таким образом, используя индексы a и p для обозначения апоапсиса (апогея) и периапсиса (перигея) соответственно, $$\varepsilon ={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}$$

Перестановка, $${\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {v_{p}^{2}}{2}}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}$$

Вспоминая, что для эллиптической орбиты (а, следовательно, и круговой орбиты) векторы скорости и радиуса перпендикулярны в апоапсисе и перицентре, сохранение углового момента требует определенного углового момента. $h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}={\text{constant}}$, таким образом $v_{p}={\frac {r_{a}}{r_{p}}}v_{a}$: $${\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}$$$${\frac {1}{2}}\left({\frac {r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}{r_{p}^{2}}}\right)v_{a}^{2}={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}$$

Выделение кинетической энергии в апоапсисе и упрощение: $${\begin{aligned}{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=\left({\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{r_{p}}}\right)\cdot {\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM\left({\frac {r_{p}-r_{a}}{r_{a}r_{p}}}\right){\frac {r_{p}^{2}}{r_{p}^{2}-r_{a}^{2}}}\\{\frac {1}{2}}v_{a}^{2}&=GM{\frac {r_{p}}{r_{a}(r_{p}+r_{a})}}\end{aligned}}$$

Из геометрии эллипса $2a=r_{p}+r_{a}$ где а — длина большой полуоси. Таким образом, $${\frac {1}{2}}v_{a}^{2}=GM{\frac {2a-r_{a}}{r_{a}(2a)}}=GM\left({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{2a}}\right)={\frac {GM}{r_{a}}}-{\frac {GM}{2a}}$$

Подставив это в наше исходное выражение для удельной орбитальной энергии, $$\varepsilon ={\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}={\frac {v_{p}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{p}}}={\frac {v_{a}^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r_{a}}}=-{\frac {GM}{2a}}$$

Таким образом, $\varepsilon =-{\frac {GM}{2a}}$ и уравнение vis-viva может быть записано $${\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {GM}{r}}=-{\frac {GM}{2a}}$$или $$v^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-{\frac {1}{a}}\right)$$

Следовательно, сохраняющийся угловой момент L = mh можно получить, используя $r_{a}+r_{p}=2a$ и $r_{a}r_{p}=b^{2}$, где a — большая полуось , а b — малая полуось эллиптической орбиты, следующим образом: $$v_{a}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{a}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{a}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{p}}{r_{a}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{a}}}\right)^{2}$$и попеременно, $$v_{p}^{2}=GM\left({\frac {2}{r_{p}}}-{\frac {1}{a}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {2a-r_{p}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {r_{a}}{r_{p}}}\right)={\frac {GM}{a}}\left({\frac {b}{r_{p}}}\right)^{2}$$

Следовательно, удельный угловой момент $h=r_{p}v_{p}=r_{a}v_{a}=b{\sqrt {\frac {GM}{a}}}$, и

Полный угловой момент $L=mh=mb{\sqrt {\frac {GM}{a}}}$

Практическое применение

Учитывая общую массу и скаляры r и v в одной точке орбиты, можно вычислить:

• r и v в любой другой точке орбиты; и
• удельная орбитальная энергия $\varepsilon \,\!$, что позволяет классифицировать объект, вращающийся вокруг более крупного объекта, как объект, у которого недостаточно энергии, чтобы оставаться на орбите, и, следовательно, как « суборбитальный » (например, баллистическая ракета), имеющий достаточно энергии, чтобы быть «орбитальным», но без возможности завершить в любом случае полная орбита, потому что в конечном итоге оно сталкивается с другим телом или имеет достаточно энергии, чтобы выйти из бесконечности и/или уйти в бесконечность (например, как метеор).

Формулу скорости убегания можно получить из уравнения Vis-viva, приняв предел как $a$ подходы $\infty$: $$v_{e}^{2}=GM\left({\frac {2}{r}}-0\right)\rightarrow v_{e}={\sqrt {\frac {2GM}{r}}}$$