Закон всемирного тяготения Ньютона

Закон всемирного тяготения Ньютона гласит, что каждая частица притягивает любую другую частицу во Вселенной с силой , пропорциональной произведению их масс и обратно пропорциональной квадрату расстояния между их центрами. Отдельные предметы притягиваются и притягиваются так, как если бы вся их масса сосредоточилась в их центрах . Публикация закона стала известна как « первое великое объединение », поскольку оно ознаменовало объединение ранее описанных явлений гравитации на Земле с известными астрономическими закономерностями.

Это общий физический закон, выведенный на основе эмпирических наблюдений с помощью того, что Исаак Ньютон называл индуктивным рассуждением . Она является частью классической механики и была сформулирована в работе Ньютона Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica (« Начала »), впервые опубликованной 5 июля 1687 года.

Таким образом, уравнение всемирного тяготения принимает вид:

$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}},$

где F — сила гравитации, действующая между двумя объектами, m ₁ и m ₂ — массы объектов, r — расстояние между центрами их масс , а G — гравитационная постоянная .

Первой проверкой закона тяготения Ньютона между массами в лаборатории стал эксперимент Кавендиша, проведенный британским ученым Генри Кавендишем в 1798 году. Ньютона Это произошло через 111 лет после публикации «Начал» и примерно через 71 год после его смерти.

Ньютона Закон гравитации напоминает закон электрических сил Кулона , который используется для расчета величины электрической силы, возникающей между двумя заряженными телами. Оба являются законами обратных квадратов , где сила обратно пропорциональна квадрату расстояния между телами. В законе Кулона вместо массы используется заряд и другая константа.

Закон Ньютона позже был заменен Альберта Эйнштейна общей теорией относительности , но универсальность гравитационной постоянной сохранилась, и закон до сих пор продолжает использоваться как превосходное приближение эффектов гравитации в большинстве приложений. Теория относительности требуется только тогда, когда существует необходимость в чрезвычайной точности или когда мы имеем дело с очень сильными гравитационными полями, например, вблизи чрезвычайно массивных и плотных объектов или на небольших расстояниях (например, на орбите Меркурия вокруг Солнца).

История

Основная статья: История теории гравитации

Около 1600 года научный метод начал укореняться. Рене Декарт начал с более фундаментальной точки зрения, развивая идеи материи и действия независимо от теологии. Галилео Галилей писал об экспериментальных измерениях падающих и катящихся предметов. Иоганна Кеплера обобщили Законы движения планет астрономические Тихо Браге . наблюдения

Около 1666 года Исаак Ньютон разработал идею о том, что законы Кеплера должны применяться также к орбите Луны вокруг Земли, а затем и ко всем объектам на Земле. Для анализа потребовалось предположить, что сила гравитации действовала так, как если бы вся масса Земли была сосредоточена в ее центре, что на тот момент было недоказанной гипотезой. Его расчеты времени обращения Луны находились в пределах 16% от известного значения. К 1680 году новые значения диаметра Земли улучшили время его обращения по орбите до 1,6%, но, что более важно, Ньютон нашел доказательство своей более ранней гипотезы.

В 1687 году Ньютон опубликовал свои «Начала» , в которых его законы движения сочетались с новым математическим анализом для объяснения эмпирических результатов Кеплера. Его объяснение было в форме закона всемирного тяготения: любые два тела притягиваются силой, пропорциональной их массе и обратно пропорциональной квадрату их расстояния. Первоначальная формула Ньютона была:

${\rm {Force\,of\,gravity}}\propto {\frac {\rm {mass\,of\,object\,1\,\times \,mass\,of\,object\,2}}{\rm {distance\,from\,centers^{2}}}}$

где символ $\propto$ означает «пропорционально». Чтобы превратить это в равностороннюю формулу или уравнение, должен был быть умножающий коэффициент или константа, которая давала бы правильную силу гравитации независимо от значения масс или расстояния между ними (гравитационная постоянная). Ньютону понадобилась бы точная мера этой константы, чтобы доказать свой закон обратных квадратов. первую книгу неопубликованного текста Когда в апреле 1686 года Ньютон представил Королевскому обществу , Роберт Гук заявил, что Ньютон получил от него закон обратных квадратов, что в конечном итоге оказалось необоснованным обвинением.

Ньютоновские «неизвестные до сих пор причины»

Основная статья: Действия на расстоянии

Хотя Ньютон смог сформулировать свой закон тяготения в своей монументальной работе, ему было очень не по себе понятие «действия на расстоянии», которое подразумевалось в его уравнениях. В 1692 году в своем третьем письме Бентли он писал: «То, что одно тело может действовать на другое на расстоянии через вакуум без посредничества чего-либо еще, посредством чего их действие и сила могут передаваться друг от друга, является для меня это настолько великая нелепость, что, я думаю, ни один человек, обладающий в философских вопросах компетентным мышлением, никогда не сможет в нее впасть».

Он никогда, по его словам, "не назначал причину этой власти". Во всех остальных случаях он использовал явление движения для объяснения происхождения различных сил, действующих на тела, но в случае тяготения ему не удалось экспериментально выявить движение, вызывающее силу тяготения (хотя он выдвинул две механические гипотезы в 1675 и 1717 годах). Более того, он отказался даже предложить гипотезу о причине этой силы на том основании, что это противоречит здравой науке. Он посетовал, что «философы до сих пор тщетно пытались найти в природе» источник гравитационной силы, поскольку он был убежден «по многим причинам», что существуют «до сих пор неизвестные причины», которые были фундаментальными для всех «феноменов природы». ". Эти фундаментальные явления все еще изучаются, и, хотя гипотез имеется множество, окончательный ответ еще не найден. Ньютона 1713 года И в «Общем схолии» во втором издании « Начал» : «Я еще не смог открыть причину этих свойств гравитации на основе явлений, и я не выдвигайте никаких гипотез ... Достаточно того, что гравитация действительно существует и действует согласно объясненным мною законам, и что она в полной мере служит для объяснения всех движений небесных тел».

Современная форма

Говоря современным языком, в законе говорится следующее:

Каждая точечная масса притягивает каждую другую точечную массу силой, действующей вдоль линии , пересекающей обе точки. Сила пропорциональна произведению обратно двух масс и пропорциональна квадрату : расстояния между ними	Diagram of two masses attracting one another
$F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}\$ где F – сила между массами; G — гравитационная постоянная Ньютона ( 6,674 × 10 −11 м 3 ⋅kg −1 ⋅s −2 ); m 1 – первая масса; м 2 – вторая масса; r — расстояние между центрами масс.

показывающий экспериментальные значения G. График ошибок ,

Принимая единицы СИ , F измеряется в ньютонах (Н), м ₁ и м ₂ в килограммах (кг), r в метрах (м), а константа G равна 6,674 30 (15) × 10. ⁻¹¹ м ³ ⋅kg ⁻¹ ⋅s ⁻² . ‍ Значение константы G впервые было точно определено по результатам эксперимента Кавендиша, британским учёным Генри Кавендишем в 1798 году, хотя сам Кавендиш не рассчитал численное значение G. проведенного Этот эксперимент был также первой проверкой теории Ньютона о гравитации между массами в лаборатории. Ньютона Это произошло через 111 лет после публикации «Начал» и через 71 год после смерти Ньютона, поэтому ни в одном из расчетов Ньютона нельзя было использовать значение G ; вместо этого он мог только вычислить силу относительно другой силы.

Тела с пространственной протяженностью

Напряженность гравитационного поля внутри Земли

Гравитационное поле у ​​поверхности Земли - показано, как объект ускоряется к поверхности.

Если рассматриваемые тела имеют пространственную протяженность (а не являются точечными массами), то сила гравитации между ними рассчитывается путем суммирования вкладов воображаемых точечных масс, составляющих тела. В пределе, когда точечные массы компонентов становятся «бесконечно малыми», это влечет за собой интегрирование силы (в векторной форме, см. Ниже) по протяженности двух тел .

Таким образом, можно показать, что объект со сферически-симметричным распределением массы оказывает такое же гравитационное притяжение на внешние тела, как если бы вся масса объекта была сосредоточена в точке в его центре. (Это вообще не верно для несферически симметричных тел.)

Для точек внутри сферически симметричного распределения материи теорема Ньютона о оболочках может быть использована для определения гравитационной силы. Теорема говорит нам, как различные части распределения массы влияют на силу гравитации, измеренную в точке, расположенной на расстоянии r ₀ от центра распределения массы:

• Часть массы, расположенная на радиусах r < r _0, вызывает на радиусе r ₀ такую ​​же силу , как если бы вся масса, заключенная внутри сферы радиуса r _0, была сосредоточена в центре распределения массы (как отмечалось выше). ).
• Часть массы, расположенная на радиусах r > r _0, не оказывает результирующей гравитационной силы на радиусе r ₀ от центра. То есть отдельные гравитационные силы, действующие на точку радиуса r ₀ элементами массы вне радиуса r _0, нейтрализуют друг друга.

Как следствие, например, внутри оболочки одинаковой толщины и плотности нет чистого нигде внутри полой сферы гравитационного ускорения.

Векторная форма

Гравитационное поле, окружающее Землю, с макроскопической точки зрения.

Закон всемирного тяготения Ньютона можно записать в виде векторного уравнения , позволяющего объяснить направление гравитационной силы, а также ее величину. В этой формуле величины, выделенные жирным шрифтом, представляют собой векторы.

$$\mathbf {F} _{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{2}}{\hat {\mathbf {r} }}_{21}=-G{m_{1}m_{2} \over {|\mathbf {r} _{21}|}^{3}}\mathbf {r} _{21}$$где

• F ₂₁ — сила, действующая на тело 2 со стороны тела 1,
• G — гравитационная постоянная ,
• m ₁ и m ₂ — соответственно массы тел 1 и 2,
• r ₂₁ = r ₂ − r ₁ — вектор перемещения между телами 1 и 2, а
• ${\hat {\mathbf {r} }}_{21}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\mathbf {r_{2}-r_{1}} }{|\mathbf {r_{2}-r_{1}} |}}$ — единичный вектор от тела 1 к телу 2.

Видно, что векторная форма уравнения такая же, как и скалярная форма, приведенная ранее, за исключением того, что F теперь является векторной величиной, а правая часть умножается на соответствующий единичный вектор. Также можно видеть, что F ₁₂ = − F ₂₁ .

Гравитационное поле

Основная статья: Гравитационное поле

Гравитационное поле — это векторное поле , которое описывает гравитационную силу, которая будет приложена к объекту в любой заданной точке пространства на единицу массы. Фактически оно равно гравитационному ускорению в этой точке.

Это обобщение векторной формы, которое становится особенно полезным, если задействовано более двух объектов (например, ракета между Землей и Луной). Для двух объектов (например, объект 2 — ракета, объект 1 — Земля) мы просто пишем r вместо r ₁₂ и m вместо m ₂ и определяем гравитационное поле g ( r ) как:

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-G{m_{1} \over {{\vert \mathbf {r} \vert }^{2}}}\,\mathbf {\hat {r}}$

чтобы мы могли написать:

$\mathbf {F} (\mathbf {r} )=m\mathbf {g} (\mathbf {r} ).$

Эта формулировка зависит от объектов, вызывающих поле. Поле имеет единицы ускорения; в СИ это м/с ² .

Гравитационные поля также консервативны ; то есть работа, совершаемая гравитацией из одного положения в другое, не зависит от пути. Это приводит к тому, что существует гравитационное потенциальное поле V ( r ) такое, что

$\mathbf {g} (\mathbf {r} )=-\nabla V(\mathbf {r} ).$

Если m ₁ — точечная масса или масса сферы с однородным распределением массы, то силовое поле g ( r ) вне сферы изотропно, т. е. зависит только от расстояния r от центра сферы. В этом случае

$V(r)=-G{\frac {m_{1}}{r}}.$

Согласно закону Гаусса , поле в симметричном теле можно найти по математическому уравнению:

$\partial V$ $\mathbf {g(r)} \cdot d\mathbf {A} =-4\pi GM_{\text{enc}},$

где $\partial V$ представляет собой замкнутую поверхность и $M_{\text{enc}}$ - масса, заключенная в поверхности.

Следовательно, для полой сферы радиуса $R$ и общая масса $M$,

$|\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}0,&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}$

Для однородной твердой сферы радиуса $R$ и общая масса $M$,

$|\mathbf {g(r)} |={\begin{cases}{\dfrac {GMr}{R^{3}}},&{\text{if }}r<R\\\\{\dfrac {GM}{r^{2}}},&{\text{if }}r\geq R\end{cases}}$

Ограничения

Описание гравитации, данное Ньютоном, достаточно точно для многих практических целей и поэтому широко используется. Отклонения от него малы, когда безразмерные величины $\phi /c^{2}$ и $(v/c)^{2}$ оба намного меньше единицы, где $\phi$ гравитационный потенциал , $v$ – скорость изучаемых объектов, а $c$ это скорость света в вакууме. Например, ньютоновская гравитация обеспечивает точное описание системы Земля/Солнце, поскольку

${\frac {\phi }{c^{2}}}={\frac {GM_{\mathrm {sun} }}{r_{\mathrm {orbit} }c^{2}}}\sim 10^{-8},\quad \left({\frac {v_{\mathrm {Earth} }}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {2\pi r_{\mathrm {orbit} }}{(1\ \mathrm {yr} )c}}\right)^{2}\sim 10^{-8},$

где $r_{\text{orbit}}$ – радиус орбиты Земли вокруг Солнца.

В ситуациях, когда любой безразмерный параметр велик, то общую теорию относительности Для описания системы необходимо использовать . Общая теория относительности сводится к ньютоновской гравитации в пределе малого потенциала и малых скоростей, поэтому закон гравитации Ньютона часто называют пределом низкой гравитации общей теории относительности.

Наблюдения, противоречащие формуле Ньютона

• Теория Ньютона не вполне объясняет прецессию перигелия орбит планет, особенно Меркурия, обнаруженную спустя много времени после жизни Ньютона. Существует расхождение в 43 угловых секунды за столетие между ньютоновскими расчетами, возникающими только из-за гравитационного притяжения других планет, и наблюдаемой прецессией, полученной с помощью современных телескопов в 19 веке.
• Предсказанное угловое отклонение световых лучей под действием силы тяжести (рассматриваемое как частицы, движущиеся с ожидаемой скоростью), рассчитанное с использованием теории Ньютона, составляет лишь половину отклонения, наблюдаемого астрономами. Расчеты с использованием общей теории относительности гораздо лучше согласуются с астрономическими наблюдениями.
• В спиральных галактиках вращение звезд вокруг их центров, по-видимому, категорически не подчиняется как закону всемирного тяготения Ньютона, так и общей теории относительности. Астрофизики, однако, объясняют это заметное явление, предполагая наличие большого количества темной материи .

Решение Эйнштейна

Эйнштейна Первые два конфликта с приведенными выше наблюдениями были объяснены общей теорией относительности , в которой гравитация является проявлением искривленного пространства-времени, а не возникает из-за силы, распространяющейся между телами. В теории Эйнштейна энергия и импульс искажают пространство-время вблизи себя, а другие частицы движутся по траекториям, определяемым геометрией пространства-времени. Это позволило описать движения света и массы, согласующееся со всеми доступными наблюдениями. В общей теории относительности гравитационная сила — это фиктивная сила, возникающая в результате искривления пространства-времени , поскольку гравитационное ускорение тела в свободном падении обусловлено тем, что его мировая линия является геодезической линией пространства -времени .

Расширения

В последние годы поиск членов необратных квадратов в законе гравитации проводился с помощью нейтронной интерферометрии .

Решения закона всемирного тяготения Ньютона.

Основная статья: проблема n тел

Проблема n тел — древняя классическая проблема. предсказания отдельных движений группы небесных объектов, взаимодействующих друг с другом гравитационно . Решение этой проблемы — со времен греков и далее — было мотивировано желанием понять движение Солнца , планет и видимых звезд . В 20 веке понимание динамики звездных систем шаровых скоплений также стало важной проблемой n -тел. Задачу n тел в общей теории относительности решить значительно сложнее.

Классическую физическую задачу можно неформально сформулировать так: учитывая квазистационарные орбитальные свойства ( мгновенное положение, скорость и время ) группы небесных тел, предсказать их взаимодействующие силы; и, следовательно, предсказать их истинные орбитальные движения на все будущие времена .

Задача двух тел полностью решена, как и ограниченная задача трех тел .

См. также

• Парадокс Бентли - Космологический парадокс, связанный с гравитацией.
• Закон гравитации Гаусса - повторение закона всемирного тяготения Ньютона.
• Фреймы Джордана и Эйнштейна - разные соглашения для метрического тензора в теории дилатона, связанного с гравитацией. Страницы, отображающие описания в Викиданных в качестве запасного варианта.
• Орбита Кеплера - Небесная орбита, траектория которой представляет собой коническое сечение в плоскости орбиты.
• Пушечное ядро ​​Ньютона – мысленный эксперимент о гравитации
• Законы движения Ньютона - Законы физики о силе и движении.
• Социальная гравитация - Социальная теория
• Статические силы и обмен виртуальными частицами - Физическое взаимодействие в постклассической физике

Внешние ссылки

• СМИ, связанные с законом всемирного тяготения Ньютона, на Викискладе?
• Падение пера и молота на Луну на YouTube
• Javascript-калькулятор закона всемирного тяготения Ньютона