Коэффициент реституции

Коэффициент восстановления ( COR , также обозначаемый e ) представляет собой отношение относительной скорости отделения после столкновения к относительной скорости сближения до столкновения. Ее также можно определить как квадратный корень из отношения конечной кинетической энергии к начальной кинетической энергии. Обычно оно находится в диапазоне от 0 до 1, где 1 соответствует абсолютно упругому столкновению . Совершенно неупругое столкновение имеет коэффициент 0, но значение 0 не обязательно должно быть абсолютно неупругим. Он измеряется в тесте на твердость по отскоку по Либу и выражается как 1000-кратный COR, но это действительный COR только для теста, а не универсальный COR для испытуемого материала.

Значение почти всегда меньше 1 из-за того, что первоначальная кинетическая энергия поступательного движения теряется из-за кинетической энергии вращения , пластической деформации и тепла. Оно может быть больше 1, если во время столкновения происходит прирост энергии в результате химической реакции , уменьшение энергии вращения или другое уменьшение внутренней энергии после столкновения , которое способствует увеличению скорости .

${\text{Coefficient of restitution }}(e)={\frac {\left|{\text{Relative velocity of separation after collision}}\right|}{\left|{\text{Relative velocity of approach before collision}}\right|}}={\sqrt {\frac {\left|{\text{Final kinetic energy}}\right|}{\left|{\text{Initial kinetic energy}}\right|}}}$

Математика была разработана сэром Исааком Ньютоном в 1687 году. ^[1] Он также известен как экспериментальный закон Ньютона.

Дополнительная информация

Линия удара – это линия, вдоль которой определяется e , или при отсутствии касательной силы реакции между сталкивающимися поверхностями сила удара распределяется вдоль этой линии между телами. При физическом контакте тел при ударе ее линия проходит по общей нормали к паре поверхностей, соприкасающихся сталкивающихся тел. Следовательно, e определяется как безразмерный одномерный параметр.

Диапазон значений e – рассматривается как константа

e обычно является положительным действительным числом от 0 до 1:

e = 0 : Это совершенно неупругое столкновение .
0 < e < 1 : это реальное неупругое столкновение, при котором некоторая кинетическая энергия рассеивается.
e = 1 : Это идеально упругое столкновение , при котором кинетическая энергия не рассеивается, а объекты отскакивают друг от друга с той же относительной скоростью, с которой они сблизились.
e < 0 : COR меньше нуля будет представлять собой столкновение, при котором скорость разделения объектов имеет то же направление (знак), что и скорость сближения, подразумевая, что объекты прошли друг через друга без полного взаимодействия. Это также можно рассматривать как неполную передачу импульса. Примером этого может быть небольшой плотный объект, проходящий через большой, менее плотный объект, например, пуля, проходящая через мишень.
e > 1 : Это будет означать столкновение, при котором высвобождается энергия, например, нитроцеллюлозные бильярдные шары могут буквально взорваться в точке удара. Кроме того, в некоторых недавних статьях описаны сверхупругие столкновения, в которых утверждается, что COR может принимать значение больше единицы в частном случае косых столкновений. ^[2]^[3]^[4] Эти явления обусловлены изменением траектории отскока, вызванным трением. При таких столкновениях кинетическая энергия высвобождается в виде своего рода взрыва. Возможно, что $e=\infty$ для идеального взрыва жесткой системы.

Парные объекты

COR — это свойство пары столкнувшихся объектов, а не отдельного объекта. Если данный объект сталкивается с двумя разными объектами, каждое столкновение будет иметь свой собственный COR. Когда объект описывается как имеющий коэффициент реституции, как если бы он был внутренним свойством без ссылки на второй объект, предполагается, что он находится между идентичными сферами или у совершенно жесткой стены.

Идеально жесткая стена невозможна, но ее можно аппроксимировать стальным блоком, если исследовать COR сфер с гораздо меньшим модулем упругости. В противном случае COR будет повышаться, а затем падать в зависимости от скорости столкновения более сложным образом. ^[5]

Связь с сохранением энергии и импульса

При одномерном столкновении действуют два ключевых принципа: сохранение энергии (сохранение кинетической энергии, если столкновение совершенно упругое) и сохранение (линейного) импульса. Третье уравнение можно вывести ^{[ нужна ссылка ]} из этих двух, что представляет собой уравнение реституции, как указано выше. При решении задач можно использовать любые два из трех уравнений. Преимущество использования уравнения реституции состоит в том, что иногда оно обеспечивает более удобный способ решения проблемы.

Позволять $m_{1}$ , $m_{2}$ быть массой объекта 1 и объекта 2 соответственно. Позволять $u_{1}$ , $u_{2}$ быть начальной скоростью объекта 1 и объекта 2 соответственно. Позволять $v_{1}$ , $v_{2}$ быть конечной скоростью объекта 1 и объекта 2 соответственно. ${\begin{cases}{\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}\\m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}\end{cases}}$ Из первого уравнения $m_{1}\left(u_{1}^{2}-v_{1}^{2}\right)=m_{2}\left(v_{2}^{2}-u_{2}^{2}\right)$ $m_{1}\left(u_{1}+v_{1}\right)\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}+u_{2}\right)\left(v_{2}-u_{2}\right)$ Из второго уравнения $m_{1}\left(u_{1}-v_{1}\right)=m_{2}\left(v_{2}-u_{2}\right)$ После разделения, $u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}$ $u_{1}-u_{2}=-(v_{1}-v_{2})$ ${\frac {\left|v_{2}-v_{1}\right|}{\left|u_{1}-u_{2}\right|}}=1$ Приведенное выше уравнение представляет собой уравнение восстановления, а коэффициент восстановления равен 1, что соответствует идеально упругому столкновению.

Спортивное оборудование

Водители клюшек для гольфа с тонкими лицами используют «эффект батута», который создает удары на большее расстояние в результате изгиба и последующего высвобождения накопленной энергии, что придает мячу больший импульс. Тесты USGA (руководящего органа Америки по гольфу) ^[6] драйверы для COR и установил верхний предел на уровне 0,83. COR является функцией скорости головки клюшки и уменьшается по мере увеличения скорости головки клюшки. ^[7] В отчете COR колеблется от 0,845 на скорости 90 миль в час до 0,797 на скорости 130 миль в час. Вышеупомянутый «эффект батута» показывает это, поскольку он снижает степень напряжения при столкновении за счет увеличения времени столкновения. Согласно одной статье (касающейся COR в теннисных ракетках ), «[f] или Базовые условия, используемый коэффициент восстановления составляет 0,85 для всех ракеток, исключая переменные натяжения струны и жесткости рамы, которые могут добавить или вычесть коэффициент коэффициента реституция». ^[8]

Международная федерация настольного тенниса указывает, что мяч должен подпрыгивать на 24–26 см при падении с высоты 30,5 см на стандартный стальной блок, таким образом, коэффициент COR составляет от 0,887 до 0,923. ^[9]

COR баскетбольного мяча определяется требованием, чтобы мяч отскакивал на высоту от 960 до 1160 мм при падении с высоты 1800 мм, в результате чего COR составляет 0,73–0,80. ^[10]^{[ не удалось пройти проверку ]}

Уравнения

В случае одномерного столкновения двух объектов, объекта A и объекта B, коэффициент восстановления определяется по формуле:

$e={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}},$ где:

$v_{\text{a}}$ конечная скорость объекта А после удара
$v_{\text{b}}$ конечная скорость объекта B после удара
$u_{\text{a}}$ - начальная скорость объекта А перед ударом
$u_{\text{b}}$ - начальная скорость объекта B перед ударом

Хотя e не зависит явно от массы объектов, важно отметить, что конечные скорости зависят от массы. Для двух- и трехмерных столкновений твердых тел используемые скорости представляют собой компоненты, перпендикулярные касательной линии/плоскости в точке контакта, т. е. вдоль линии удара.

Для объекта, отскакивающего от неподвижной цели, e определяется как отношение скорости объекта после удара к скорости до удара:

$e={\frac {v}{u}},$ где

$v$ скорость объекта после удара
$u$ это скорость объекта до удара

В случае, когда силами трения можно пренебречь и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, это эквивалентно:

$e={\sqrt {\frac {h}{H}}},$ где

$h$ это высота отскока
$H$ это высота падения

Коэффициент восстановления можно рассматривать как меру степени сохранения механической энергии при отскоке объекта от поверхности. В случае отскока объекта от неподвижной цели изменение гравитационной потенциальной энергии E p _в ходе удара практически равно нулю; таким образом, e представляет собой сравнение кинетической энергии E _k объекта непосредственно перед ударом с энергией сразу после удара:

$e={\sqrt {\frac {E_{\text{k, (after impact)}}}{E_{\text{k, (before impact)}}}}}={\sqrt {\frac {{\frac {1}{2}}mv^{2}}{{\frac {1}{2}}mu^{2}}}}={\sqrt {\frac {v^{2}}{u^{2}}}}={\frac {v}{u}}$

В тех случаях, когда силами трения можно пренебречь (практически каждая студенческая лабораторная работа по этой теме ^[11]), и объект падает из состояния покоя на горизонтальную поверхность, вышеописанное эквивалентно сравнению . _{E p} объекта на высоте падения с E p на высоте отскока В этом случае изменение E _k равно нулю (объект по существу покоится в ходе удара, а также покоится в вершине отскока); таким образом: $e={\sqrt {\frac {E_{\text{p, (at bounce height)}}}{E_{\text{p, (at drop height)}}}}}={\sqrt {\frac {mgh}{mgH}}}={\sqrt {\frac {h}{H}}}$

Скорость после удара

Уравнения для одномерных столкновений между упругими частицами можно изменить, чтобы использовать COR, что делает их применимыми также и к неупругим столкновениям, а также к каждой возможности между ними.

$v_{\text{a}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$ и $v_{\text{b}}={\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{a}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}$ где

$v_{\text{a}}$ конечная скорость первого объекта после удара
$v_{\text{b}}$ конечная скорость второго объекта после удара
$u_{\text{a}}$ - начальная скорость первого объекта перед ударом
$u_{\text{b}}$ - начальная скорость второго объекта перед ударом
$m_{\text{a}}$ это масса первого объекта
$m_{\text{b}}$ это масса второго объекта

Вывод

Приведенные выше уравнения могут быть получены из аналитического решения системы уравнений, образованной определением КОР и закона сохранения импульса (который справедлив для всех столкновений). Используя обозначения сверху, где $u$ представляет скорость до столкновения и $v$ после этого получается:

${\begin{aligned}&m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}=m_{\text{a}}v_{\text{a}}+m_{\text{b}}v_{\text{b}}\\&C_{R}={\frac {\left|v_{\text{b}}-v_{\text{a}}\right|}{\left|u_{\text{a}}-u_{\text{b}}\right|}}\\\end{aligned}}$

Решение уравнения сохранения импульса для $v_{\text{a}}$ и определение коэффициента реституции $v_{\text{b}}$ дает:

${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}v_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&v_{\text{b}}=C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})+v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$

Далее, подставив в первое уравнение $v_{\text{b}}$ а затем решая для $v_{\text{a}}$ дает:

${\begin{aligned}&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}-m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{a}}-u_{\text{b}})-m_{\text{b}}v_{\text{a}}}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}}}=v_{\text{a}}\left[1+{\frac {m_{\text{b}}}{m_{\text{a}}}}\right]\\&\\&{\frac {m_{\text{a}}u_{\text{a}}+m_{\text{b}}u_{\text{b}}+m_{\text{b}}C_{R}(u_{\text{b}}-u_{\text{a}})}{m_{\text{a}}+m_{\text{b}}}}=v_{\text{a}}\\\end{aligned}}$

Аналогичный вывод дает формулу для $v_{\text{b}}$ .

Изменение COR из-за формы объекта и столкновений вне центра

Когда сталкивающиеся объекты не имеют направления движения, совпадающего с их центрами тяжести и точкой удара, или если их контактные поверхности в этой точке не перпендикулярны этой линии, некоторая энергия, которая была бы доступна для столба -Разница скоростей столкновения будет потеряна из-за вращения и трения. Потери энергии на вибрацию и возникающий в результате звук обычно незначительны.

Столкновение различных материалов и практические измерения

Когда мягкий объект сталкивается с более твердым объектом, большая часть энергии, доступной для скорости после столкновения, будет сохранена в мягком объекте. COR будет зависеть от того, насколько эффективно мягкий объект сохраняет энергию при сжатии, не теряя ее из-за тепла и пластической деформации. Резиновый мяч будет лучше отскакивать от бетона, чем стеклянный, но коэффициент теплового сопротивления стекло-стекло намного выше, чем резина-резина, потому что часть энергии резины теряется на тепло при ее сжатии. При столкновении резинового шарика со стеклянным шариком COR будет полностью зависеть от резины. По этой причине определение COR материала, когда нет идентичного материала для столкновения, лучше всего выполнять с использованием гораздо более твердого материала.

Поскольку не существует идеально жесткого материала, COR твердых материалов, таких как металлы и керамика, теоретически определяется с учетом столкновения между идентичными сферами. с двумя шариками, На практике можно использовать люльку Ньютона но такая установка не способствует быстрому испытанию образцов.

Испытание на твердость по отскоку по Либу — единственный общедоступный тест, связанный с определением COR. В нем используется наконечник из карбида вольфрама, одного из самых твердых материалов, который падает на тестовые образцы с определенной высоты. Но форма наконечника, скорость удара и карбид вольфрама — все это переменные, влияющие на результат, выраженный в единицах 1000*COR. Он не дает объективного COR для материала, независимого от испытания.

Комплексное исследование коэффициентов восстановления в зависимости от свойств материала (модулей упругости, реологии), направления удара, коэффициента трения и адгезионных свойств ударяющихся тел можно найти в Willert (2020). ^[12]

Прогнозирование на основе свойств материала

COR не является свойством материала, поскольку он меняется в зависимости от формы материала и особенностей столкновения, но его можно предсказать на основе свойств материала и скорости удара, если упростить особенности столкновения. Чтобы избежать осложнений, связанных с потерями на вращение и трение, мы можем рассмотреть идеальный случай идентичной пары сферических объектов, сталкивающихся так, что их центры масс и относительная скорость находятся на одной линии.

Многие материалы, такие как металлы и керамика (но не резина и пластмасса), считаются абсолютно эластичными, если их предел текучести не достигается при ударе. Энергия удара теоретически сохраняется только за счет пружинящего эффекта упругого сжатия и приводит к e = 1. Но это применимо только при скоростях менее примерно от 0,1 м/с до 1 м/с. Диапазон упругости может быть превышен при более высоких скоростях, поскольку вся кинетическая энергия сосредоточена в точке удара. В частности, предел текучести обычно превышается в части площади контакта, при этом энергия теряется из-за пластической деформации, поскольку не остается в упругой области. Чтобы учесть это, ниже оценивается COR путем оценки процента начальной энергии удара, которая не была потеряна в результате пластической деформации. Приблизительно он делит то, насколько легко объем материала может хранить энергию при сжатии ( $1/{\text{elastic modulus}}$ ) от того, насколько хорошо он может оставаться в диапазоне эластичности ( $1/{\text{yield strength}}$ ):

$\%{\text{impact energy available for restitution}}\propto {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}$

Для заданной плотности и скорости материала это приводит к: ${\text{coefficient of restitution}}\propto {\sqrt {\frac {\text{yield strength}}{\text{elastic modulus}}}}$

Высокий предел текучести позволяет большей части «контактного объема» материала оставаться в упругой области при более высоких энергиях. Более низкий модуль упругости позволяет увеличить площадь контакта во время удара, поэтому энергия распределяется в большем объеме под поверхностью в точке контакта. Это помогает предотвратить превышение предела текучести.

Более точная теоретическая разработка ^[13] показывает, что скорость и плотность материала также важны при прогнозировании COR при умеренных скоростях, превышающих упругое столкновение (более 0,1 м / с для металлов) и медленнее, чем большая остаточная пластическая деформация (менее 100 м / с). Более низкая скорость увеличивает коэффициент, поскольку для поглощения требуется меньше энергии. Более низкая плотность также означает, что необходимо поглощать меньше начальной энергии. Вместо массы используется плотность, поскольку объем сферы уравновешивается объемом затронутого объема в области контакта. Таким образом, радиус сферы не влияет на коэффициент. Пара сталкивающихся сфер разного размера, но из одного и того же материала, имеет тот же коэффициент, что и ниже, но умноженный на ${\textstyle \left({\frac {R_{1}}{R_{2}}}\right)^{{3}/{8}}}$

Объединив эти четыре переменные, можно сделать теоретическую оценку коэффициента восстановления, когда мяч падает на поверхность того же материала. ^[14]

e = коэффициент реституции
S _y = динамический предел текучести (динамический «предел упругости»)
E ′ = эффективный модуль упругости
ρ = плотность
v = скорость при ударе
μ = коэффициент Пуассона

$e=3.1\left({\frac {S_{\text{y}}}{1}}\right)^{5/8}\left({\frac {1}{E'}}\right)^{1/2}\left({\frac {1}{v}}\right)^{1/4}\left({\frac {1}{\rho }}\right)^{1/8}$ $E'={\frac {E}{1-\mu ^{2}}}$

Это уравнение завышает фактический COR. Для металлов это применимо, когда v находится примерно между 0,1 м/с и 100 м/с и, как правило, когда: $0.001<{\frac {\rho v^{2}}{S_{\text{y}}}}<0.1$

При более низких скоростях COR выше, чем предсказывает приведенное выше уравнение, теоретически достигая e=1, когда указанная выше доля меньше $10^{-6}$ РС. Это дает следующий теоретический коэффициент восстановления для твердых сфер, упавших с высоты 1 метр ( v = 4,5 м/с). Значения больше 1 указывают на то, что уравнение содержит ошибки. Вместо динамического предела текучести использовался предел текучести.

Металлы и керамика:	Прогнозируемый COR, e
кремний	1.79
глинозем	от 0,45 до 1,63
нитрид кремния	от 0,38 до 1,63
карбид кремния	от 0,47 до 1,31
высший аморфный металл	1.27
карбид вольфрама	от 0,73 до 1,13
нержавеющая сталь	от 0,63 до 0,93
магниевые сплавы	от 0,5 до 0,89
титановый сплав марки 5	0.84
алюминиевый сплав 7075-Т6	0.75
стекло (натриево-известковое)	0.69
стекло (боросиликатное)	0.66
никелевые сплавы	от 0,15 до 0,70
цинковые сплавы	от 0,21 до 0,62
чугун	от 0,3 до 0,6
медные сплавы	от 0,15 до 0,55
титан 2 класса	0.46
вольфрам	0.37
алюминиевые сплавы 3003, 6061, 7075-0	0.35
цинк	0.21
никель	0.15
медь	0.15
алюминий	0.1
вести	0.08

COR для пластмасс и резин превышает их фактические значения, поскольку они не ведут себя так идеально эластично, как металлы, стекла и керамика, из-за нагрева при сжатии. Таким образом, нижеследующее является лишь руководством по ранжированию полимеров.

Полимеры (оценка завышена по сравнению с металлами и керамикой):

полибутадиен (оболочка мячей для гольфа)
бутилкаучук
Ева
силиконовые эластомеры
поликарбонат
нейлон
полиэтилен
Тефлон
полипропилен
АБС
акрил
ДОМАШНИЙ ПИТОМЕЦ
полистирол
ПВХ

Для металлов диапазон скоростей, к которым может применяться эта теория, составляет от 0,1 до 5 м/с, что представляет собой падение от 0,5 мм до 1,25 метра (стр. 366). ^[15]).

См. также

Ссылки

^ Вейр, Г.; МакГэвин, П. (8 мая 2008 г.). «Коэффициент восстановления идеализированного удара сферической наноразмерной частицы о твердую плоскость». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 464 (2093): 1295–1307. Бибкод : 2008RSPSA.464.1295W . дои : 10.1098/rspa.2007.0289 . S2CID 122562612 .
^ Луж, Мишель; Адамс, Майкл (2002). «Аномальное поведение нормальной кинематической реституции при косых ударах твердой сферы по упругопластической пластине». Физический обзор E . 65 (2): 021303. Бибкод : 2002PhRvE..65b1303L . дои : 10.1103/PhysRevE.65.021303 . ПМИД 11863512 .
^ Кунинака, Хирото; Хаякава, Хисао (2004). «Аномальное поведение коэффициента нормальной реституции при косом ударе». Письма о физических отзывах . 93 (15): 154301. arXiv : cond-mat/0310058 . Бибкод : 2004PhRvL..93o4301K . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.154301 . PMID 15524884 . S2CID 23557976 .
^ Кальсамилья, Дж.; Кеннеди, Юго-Запад; Чаттерджи, А.; Руина, А.; Дженкинс, Дж. Т. (1999). «Аномальное фрикционное поведение при столкновениях тонких дисков». Журнал прикладной механики . 66 (1): 146. Бибкод : 1999JAM....66..146C . CiteSeerX 10.1.1.467.8358 . дои : 10.1115/1.2789141 .
^ «ИЗУЧЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ЧИСТЫЕ МЕТАЛЛЫ» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 марта 2015 года.
↑ Соответствующий гольф-клуб usga.org. Архивировано 16 июня 2021 г. в Wayback Machine.
^ «Получают ли длинные нападающие несправедливое преимущество?» . УСГА . 14 февраля 2015 года . Проверено 1 июня 2023 г.
^ «Коэффициент реституции» . Архивировано из оригинала 23 ноября 2016 года.
^ «Ресурсы теннисных технологий | ITF» . Архивировано из оригинала 3 декабря 2019 года.
^ «ФИБА.баскетбол» . ФИБА.баскетбол . Проверено 28 мая 2023 г.
^ Мохаззаби, Пируз (2011). «Когда сопротивление воздуха становится значительным при свободном падении?». Учитель физики . 49 (2): 89–90. Бибкод : 2011PhTea..49...89M . дои : 10.1119/1.3543580 .
^ Виллерт, Эмануэль (2020). Проблемы воздействия в физике, технике и медицине: основы и приложения (на немецком языке). Спрингер Вьюег. дои : 10.1007/978-3-662-60296-6 . ISBN 978-3-662-60295-9 . S2CID 212954456 .
^ «Справочник материалов» (PDF) . cam.ac.uk. 2003 . Проверено 1 июня 2023 г.
^ Джексон, Роберт Л.; Грин, Ицхак; Маргиту, Дэн Б. (27 сентября 2009 г.). «Прогнозирование коэффициента восстановления ударных упруго-идеальнопластических сфер». Нелинейная динамика . 60 (3): 217–229. дои : 10.1007/s11071-009-9591-z . ISSN 0924-090X .
^ «Дом | Ренсселер за работой» (PDF) .

Цитируемые работы

Кросс, Род (2006). «Отскок мяча» (PDF) . Физический факультет Сиднейского университета, Австралия . Проверено 16 января 2008 г. {{cite journal}}: Для цитирования журнала требуется |journal= ( помощь )
Уокер, Джерл (2011). Основы физики (9-е изд.). Дэвид Холлидей, Роберт Резник, Джерл Уокер. ISBN 978-0-470-56473-8 .

Внешние ссылки

Статья Wolfram о COR
Беннетт и Мипагала (2006). «Коэффициенты реституции» . Справочник по физике .
Введение в физику Криса Хекера
«Получение дополнительного отскока» Челси Уолд
Концепции качества FIFA для футбольных мячей – равномерный отскок
Боули, Роджер (2009). «Коэффициент реституции» . Шестьдесят символов . Брэди Харан из Ноттингемского университета .
Брольято, Бернар (2016). Негладкая механика. Модели, динамика и управление . Инж.Связь и Управление. Спрингер Международный. Паб. Швейцария. ISBN 978-3-319-28662-4 .

[1] Вейр, Г.; МакГэвин, П. (8 мая 2008 г.). «Коэффициент восстановления идеализированного удара сферической наноразмерной частицы о твердую плоскость». Труды Королевского общества A: Математические, физические и технические науки . 464 (2093): 1295–1307. Бибкод : 2008RSPSA.464.1295W . дои : 10.1098/rspa.2007.0289 . S2CID 122562612 .

[2] Луж, Мишель; Адамс, Майкл (2002). «Аномальное поведение нормальной кинематической реституции при косых ударах твердой сферы по упругопластической пластине». Физический обзор E . 65 (2): 021303. Бибкод : 2002PhRvE..65b1303L . дои : 10.1103/PhysRevE.65.021303 . ПМИД 11863512 .

[3] Кунинака, Хирото; Хаякава, Хисао (2004). «Аномальное поведение коэффициента нормальной реституции при косом ударе». Письма о физических отзывах . 93 (15): 154301. arXiv : cond-mat/0310058 . Бибкод : 2004PhRvL..93o4301K . doi : 10.1103/PhysRevLett.93.154301 . PMID 15524884 . S2CID 23557976 .

[4] Кальсамилья, Дж.; Кеннеди, Юго-Запад; Чаттерджи, А.; Руина, А.; Дженкинс, Дж. Т. (1999). «Аномальное фрикционное поведение при столкновениях тонких дисков». Журнал прикладной механики . 66 (1): 146. Бибкод : 1999JAM....66..146C . CiteSeerX 10.1.1.467.8358 . дои : 10.1115/1.2789141 .

[5] «ИЗУЧЕНИЕ ВОЗДЕЙСТВИЯ НА ЧИСТЫЕ МЕТАЛЛЫ» (PDF) . Архивировано из оригинала (PDF) 19 марта 2015 года.

[6] Соответствующий гольф-клуб usga.org. Архивировано 16 июня 2021 г. в Wayback Machine.

[7] «Получают ли длинные нападающие несправедливое преимущество?» . УСГА . 14 февраля 2015 года . Проверено 1 июня 2023 г.

[8] «Коэффициент реституции» . Архивировано из оригинала 23 ноября 2016 года.

[9] «Ресурсы теннисных технологий | ITF» . Архивировано из оригинала 3 декабря 2019 года.

[10] «ФИБА.баскетбол» . ФИБА.баскетбол . Проверено 28 мая 2023 г.

[11] Мохаззаби, Пируз (2011). «Когда сопротивление воздуха становится значительным при свободном падении?». Учитель физики . 49 (2): 89–90. Бибкод : 2011PhTea..49...89M . дои : 10.1119/1.3543580 .

[12] Виллерт, Эмануэль (2020). Проблемы воздействия в физике, технике и медицине: основы и приложения (на немецком языке). Спрингер Вьюег. дои : 10.1007/978-3-662-60296-6 . ISBN 978-3-662-60295-9 . S2CID 212954456 .

[13] «Справочник материалов» (PDF) . cam.ac.uk. 2003 . Проверено 1 июня 2023 г.

[14] Джексон, Роберт Л.; Грин, Ицхак; Маргиту, Дэн Б. (27 сентября 2009 г.). «Прогнозирование коэффициента восстановления ударных упруго-идеальнопластических сфер». Нелинейная динамика . 60 (3): 217–229. дои : 10.1007/s11071-009-9591-z . ISSN 0924-090X .

[15] «Дом | Ренсселер за работой» (PDF) .

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]