Термическая длина волны де Бройля

В физике тепловая длина волны де Бройля ( $\lambda _{\mathrm {th} }$ , иногда также обозначаемый $\Lambda$ ) — это примерно средняя длина волны де Бройля частиц в идеальном газе при указанной температуре. можно принять Среднее расстояние между частицами в газе $примерно равным (V / N) 1/3$ где $V$ — объем, а $N$ — количество частиц. Когда тепловая длина волны де Бройля намного меньше расстояния между частицами, газ можно считать классическим газом или газом Максвелла – Больцмана . С другой стороны, когда тепловая длина волны де Бройля порядка или превышает расстояние между частицами, квантовые эффекты будут доминировать, и газ следует рассматривать как ферми-газ или бозе-газ , в зависимости от природы частиц газа. . Критическая температура является точкой перехода между этими двумя режимами, и при этой критической температуре тепловая длина волны будет примерно равна расстоянию между частицами. То есть квантовая природа газа будет очевидна для $\displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\leq 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\leq \lambda _{\mathrm {th} }$

т.е. когда расстояние между частицами меньше тепловой длины волны де Бройля; в этом случае газ будет подчиняться статистике Бозе-Эйнштейна или статистике Ферми-Дирака , в зависимости от того, что подходит. Это, например, имеет место для электронов в типичном металле при T = 300 К , где электронный газ подчиняется статистике Ферми-Дирака , или в конденсате Бозе-Эйнштейна . С другой стороны, для $\displaystyle {\frac {V}{N\lambda _{\mathrm {th} }^{3}}}\gg 1\ ,{\rm {or}}\ \left({\frac {V}{N}}\right)^{1/3}\gg \lambda _{\mathrm {th} }$

т. е. когда расстояние между частицами намного больше тепловой длины волны де Бройля, газ будет подчиняться статистике Максвелла – Больцмана . ^[1] Так обстоит дело с молекулярными или атомарными газами при комнатной температуре, а также с тепловыми нейтронами, производимыми источником нейтронов .

Массивные частицы

Для массивных невзаимодействующих частиц тепловая длина волны де Бройля может быть получена путем расчета статистической суммы . Предполагая одномерный ящик длиной $L$ , статистическая сумма (с использованием энергетических состояний одномерной частицы в ящике ) равна $Z=\sum _{n}e^{-E_{n}/k_{\mathrm {B} }T}=\sum _{n}e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}.$

Поскольку уровни энергии расположены очень близко друг к другу, мы можем аппроксимировать эту сумму интегралом: ^[2] $Z=\int _{0}^{\infty }e^{-h^{2}n^{2}/8mL^{2}k_{\mathrm {B} }T}dn={\sqrt {\frac {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}{h^{2}}}}L\equiv {\frac {L}{\lambda _{\rm {th}}}}.$

Следовательно, $\lambda _{\rm {th}}={\frac {h}{\sqrt {2\pi mk_{\mathrm {B} }T}}},$ где $h$ – постоянная Планка , $m$ – масса частицы газа, $k_{\mathrm {B} }$ – постоянная Больцмана , $T$ – температура газа. ^[1]Это также можно выразить с помощью приведенной постоянной Планка $\hbar ={\frac {h}{2\pi }}$ как $\lambda _{\mathrm {th} }={\sqrt {\frac {2\pi \hbar ^{2}}{mk_{\mathrm {B} }T}}}.$

Безмассовые частицы

Для безмассовых (или высокорелятивистских ) частиц тепловая длина волны определяется как $\lambda _{\mathrm {th} }={\frac {hc}{2\pi ^{1/3}k_{\mathrm {B} }T}}={\frac {\pi ^{2/3}\hbar c}{k_{\mathrm {B} }T}},$

где с — скорость света. Как и тепловая длина волны массивных частиц, она порядка средней длины волны частиц в газе и определяет критическую точку, в которой квантовые эффекты начинают доминировать. Например, при наблюдении длинноволнового спектра излучения черного тела можно применить классический закон Рэлея-Джинса , но когда наблюдаемые длины волн приближаются к тепловой длине волны фотонов в излучателе черного тела, квантовый закон Планка необходимо использовать . .

Общее определение

Можно ввести общее определение тепловой длины волны для идеального газа, состоящего из частиц, имеющих произвольную степенную зависимость между энергией и импульсом (дисперсионное соотношение) в любом количестве измерений. ^[3] Если $n$ — количество измерений, а связь между энергией ( $E$ ) и импульсом ( $p$ ) определяется выражением $E=ap^{s}$ (где $a$ и $s$ являются постоянными), тогда тепловая длина волны определяется как $\lambda _{\mathrm {th} }={\frac {h}{\sqrt {\pi }}}\left({\frac {a}{k_{\mathrm {B} }T}}\right)^{1/s}\left[{\frac {\Gamma (n/2+1)}{\Gamma (n/s+1)}}\right]^{1/n},$ где $Γ$ – гамма-функция . В частности, для трехмерного ( $n = 3$ ) газа массивных или безмассовых частиц имеем $E = p 2 /2 m (a = 1/2 m, s = 2)$ и $E = pc (a = c, s = 1)$ соответственно, что дает выражения, перечисленные в предыдущих разделах. Обратите внимание, что для массивных нерелятивистских частиц ( s = 2) выражение не зависит от n . Это объясняет, почему приведенный выше вывод 1D согласуется со случаем 3D.

Примеры

Некоторые примеры тепловой длины волны де Бройля при 298 К приведены ниже.

Разновидность	Масса (кг)	$\lambda _{\mathrm {th} }$ (м)
Электрон	9.1094 × 10 ⁻³¹	4.3179 × 10 ⁻⁹
Фотон	0	1.6483 × 10 ⁻⁵
Ч ₂	3.3474 × 10 ⁻²⁷	7.1228 × 10 ⁻¹¹
Около ₂	5.3135 × 10 ⁻²⁶	1.7878 × 10 ⁻¹¹

Ссылки

^ Jump up to: ^а ^б Чарльз Киттель; Герберт Кремер (1980). Теплофизика (2-е изд.). У. Х. Фриман. п. 73 . ISBN 978-0716710882 .
^ Шредер, Дэниел (2000). Введение в теплофизику . США: Эддисон Уэсли Лонгман. стр. 253 . ISBN 0-201-38027-7 .
^ Ян, Цзыджун (2000). «Общая тепловая длина волны и ее применение» . Европейский журнал физики . 21 (6): 625–631. Бибкод : 2000EJPh...21..625Y . дои : 10.1088/0143-0807/21/6/314 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250870934 . Проверено 17 августа 2021 г.

Ву-Куок, Л., Конфигурационный интеграл (статистическая механика) , 2008. Этот вики-сайт недоступен; эту статью смотрите в веб-архиве от 28 апреля 2012 года .

[Kittel-1] Jump up to: ^а ^б Чарльз Киттель; Герберт Кремер (1980). Теплофизика (2-е изд.). У. Х. Фриман. п. 73 . ISBN 978-0716710882 .

[2] Шредер, Дэниел (2000). Введение в теплофизику . США: Эддисон Уэсли Лонгман. стр. 253 . ISBN 0-201-38027-7 .

[3] Ян, Цзыджун (2000). «Общая тепловая длина волны и ее применение» . Европейский журнал физики . 21 (6): 625–631. Бибкод : 2000EJPh...21..625Y . дои : 10.1088/0143-0807/21/6/314 . ISSN 0143-0807 . S2CID 250870934 . Проверено 17 августа 2021 г.

[1]

[2]

[3]