Среднее расстояние между частицами

Среднее расстояние между частицами (или среднее расстояние между частицами) — это среднее расстояние между микроскопическими частицами (обычно атомами или молекулами ) в макроскопическом теле.

Двусмысленность

Из самых общих соображений среднее расстояние между частицами пропорционально размеру объема, приходящегося на одну частицу. $1/n$, то есть,

$\langle r\rangle \sim 1/n^{1/3},$

где $n=N/V$ – плотность частиц . Однако, за исключением нескольких простых случаев, таких как модель идеального газа , точные расчеты коэффициента пропорциональности аналитически невозможны. Поэтому часто используются приближенные выражения. Одной из таких оценок является радиус Вигнера – Зейтца.

$\left({\frac {3}{4\pi n}}\right)^{1/3},$

что соответствует радиусу сферы, имеющей объем на частицу $1/n$. Другое популярное определение:

$1/n^{1/3}$,

соответствующую длине ребра куба с объемом, приходящимся на одну частицу $1/n$. Эти два определения различаются примерно в $1.61$, поэтому следует проявлять осторожность, если в статье не удается точно определить параметр. С другой стороны, он часто используется в качественных утверждениях, где такой числовой коэффициент либо не имеет значения, либо играет незначительную роль, например:

• «потенциальная энергия... пропорциональна некоторой степени n расстояния между частицами r» ( теорема Вириала )
• «расстояние между частицами намного больше тепловой длины волны де Бройля » ( Кинетическая теория )

Идеальный газ

Распределение по ближайшему соседу

PDF NN-расстояний в идеальном газе.

Мы хотим вычислить функцию распределения вероятностей расстояния до ближайшей соседней (NN) частицы. (Эта проблема была впервые рассмотрена Полом Герцем ; современный вывод см., например, . ) Предположим $N$ частицы внутри сферы, имеющие объём $V$, так что $n=N/V$. Обратите внимание: поскольку частицы в идеальном газе не взаимодействуют, вероятность найти частицу на определенном расстоянии от другой частицы такая же, как вероятность найти частицу на том же расстоянии от любой другой точки; мы будем использовать центр сферы.

Частица NN на расстоянии $r$ означает ровно один из $N$ частицы находятся на этом расстоянии, а остальные $N-1$ частицы находятся на больших расстояниях, т. е. находятся где-то вне сферы с радиусом $r$.

Вероятность найти частицу на расстоянии от начала координат между $r$ и $r+dr$ является $(4\pi r^{2}/V)dr$плюс у нас есть $N$ различные способы выбора частицы, в то время как вероятность найти частицу за пределами этой сферы равна $1-4\pi r^{3}/3V$. Тогда искомое выражение будет

$P_{N}(r)dr=4\pi r^{2}dr{\frac {N}{V}}\left(1-{\frac {4\pi }{3}}r^{3}/V\right)^{N-1}={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}dr\left(1-\left({\frac {r}{a}}\right)^{3}{\frac {1}{N}}\right)^{N-1}\,$

где мы заменили

${\frac {1}{V}}={\frac {3}{4\pi Na^{3}}}.$

Обратите внимание, что $a$ — радиус Вигнера-Зейтца . Наконец, взяв $N\rightarrow \infty$ ограничивать и использовать $\lim _{x\rightarrow \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e$, мы получаем

$P(r)={\frac {3}{a}}\left({\frac {r}{a}}\right)^{2}e^{-(r/a)^{3}}\,.$

Это можно сразу проверить

$\int _{0}^{\infty }P(r)dr=1\,.$

Распределение достигает максимума

$r_{\text{peak}}=\left(2/3\right)^{1/3}a\approx 0.874a\,.$

Среднее расстояние и высшие моменты

$\langle r^{k}\rangle =\int _{0}^{\infty }P(r)r^{k}dr=3a^{k}\int _{0}^{\infty }x^{k+2}e^{-x^{3}}dx\,,$

или, используя $t=x^{3}$ замена,

$\langle r^{k}\rangle =a^{k}\int _{0}^{\infty }t^{k/3}e^{-t}dt=a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,,$

где $\Gamma$ это гамма-функция . Таким образом,

$\langle r^{k}\rangle =a^{k}\Gamma (1+{\frac {k}{3}})\,.$

В частности,

$\langle r\rangle =a\Gamma ({\frac {4}{3}})={\frac {a}{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})\approx 0.893a\,.$

См. также

• Радиус Вигнера – Зейтца