Частица в кольце

В квантовой механике случай частицы в одномерном кольце аналогичен случаю частицы в ящике . Уравнение Шредингера для свободной частицы , ограниченной кольцом (технически, конфигурационное пространство которого представляет собой круг $S^{1}$) является

$-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi =E\psi$

Волновая функция

Анимированная волновая функция «когерентного» состояния, состоящая из собственных состояний n=1 и n=2.

Используя полярные координаты на одномерном кольце радиуса R, волновая функция зависит только от угловой координаты , и поэтому

$\nabla ^{2}={\frac {1}{R^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \theta ^{2}}}$

Требование, чтобы волновая функция была периодической по $\ \theta$ с периодом $2\pi$ (из требования, чтобы волновые функции были однозначными функциями на окружности ), и чтобы они были нормированы, приводит к условиям

$\int _{0}^{2\pi }\left|\psi (\theta )\right|^{2}\,d\theta =1\$,

и

$\ \psi (\theta )=\ \psi (\theta +2\pi )$

В этих условиях решение уравнения Шредингера имеет вид

$\psi _{\pm }(\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }$

Собственные значения энергии

энергии Собственные значения $E$ квантованы из -за периодических граничных условий , и они должны удовлетворять

$e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}\theta }=e^{\pm i{\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}(\theta +2\pi )}$, или

$e^{\pm i2\pi {\frac {R}{\hbar }}{\sqrt {2mE}}}=1=e^{i2\pi n}$

Собственная функция и собственные энергии равны

$\psi (\theta )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{\pm in\theta }$

$E_{n}={\frac {n^{2}\hbar ^{2}}{2mR^{2}}}$ где $n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\ldots$

существует два вырожденных квантовых состояния . Следовательно, для каждого значения $n>0$ (соответствует $\ e^{\pm in\theta }$). Следовательно, существует 2 n +1 состояний с энергиями до энергии, индексируемой номером n .

Случай частицы в одномерном кольце является поучительным примером при изучении квантования , углового момента скажем, электрона, вращающегося вокруг ядра . Азимутальные волновые функции в этом случае идентичны собственным энергетическим функциям частицы на кольце.

Утверждение о том, что любую волновую функцию частицы на кольце можно записать в виде суперпозиции энергетических функций собственных , в точности идентично теореме Фурье о развитии любой периодической функции в ряд Фурье .

Эту простую модель можно использовать для определения приблизительных уровней энергии некоторых кольцевых молекул, таких как бензол.

Приложение

В органической химии ароматические соединения содержат атомные кольца, такие как бензольные кольца ( структура Кекуле ), состоящие из пяти или шести атомов, обычно углерода . То же самое происходит и с поверхностью « бакиболов » (бакминстерфуллерена). Это кольцо ведет себя как круглый волновод , в котором валентные электроны вращаются в обоих направлениях. Для заполнения всех энергетических уровней до n требуется $2\times (2n+1)=4n+2$ электроны, поскольку электроны имеют дополнительно две возможные ориентации своих спинов. Это дает исключительную стабильность («ароматический») и известно как правило Хюккеля .

В дальнейшем в вращательной спектроскопии эту модель можно использовать как аппроксимацию вращательных уровней энергии.

См. также

• Угловой момент
• Гармонический анализ
• Одномерный периодический случай
• Полукруглая потенциальная яма
• Сферическая потенциальная яма