Частица в сферически-симметричном потенциале

водорода Орбитали атомов разных энергетических уровней. В более непрозрачных областях в любой момент времени наиболее вероятно обнаружить электрон.

В квантовой механике сферически-симметричный потенциал — это система, потенциал которой зависит только от радиального расстояния сферы от центра и местоположения в пространстве. Частица в сферически-симметричном потенциале будет вести себя соответственно этому потенциалу и поэтому может быть использована в качестве приближения, например, электрона в атоме водорода или образования химических связей .

В общем нестационарном случае динамика частицы в сферически-симметричном потенциале определяется гамильтонианом следующего вида: $${\hat {H}}={\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}+V({r})$$ Здесь, $m_{0}$ - масса частицы, ${\hat {p}}$ — оператор импульса , а потенциал $V(r)$ зависит только от векторной величины вектора положения, т. е. радиального расстояния от начала координат (отсюда и сферическая симметрия задачи).

Для описания частицы в сферически-симметричной системе удобно использовать сферические координаты ; обозначается $r$, $\theta$ и $\phi$. уравнение Тогда независимое от времени Шредингера для системы представляет собой разделимое производных уравнение в частных . Это означает, что решения угловых размеров уравнения можно найти независимо от радиальных размеров. Это оставляет обыкновенное дифференциальное уравнение только с точки зрения радиуса: $r$, который определяет собственные состояния для конкретного потенциала, $V(r)$.

Структура собственных функций

Если решить методом разделения переменных , собственные состояния системы будут иметь вид: $$\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)\Theta (\theta )\Phi (\phi )$$ в котором сферические углы $\theta$ и $\phi$ представляют полярный и азимутальный угол соответственно. Эти два фактора $\psi$ часто группируются как сферические гармоники , так что собственные функции принимают вид: $$\psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).$$

Дифференциальное уравнение, характеризующее функцию $R(r)$ называется радиальным уравнением .

Вывод радиального уравнения

Оператор кинетической энергии в сферических полярных координатах : $${\frac {{\hat {p}}^{2}}{2m_{0}}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}\nabla ^{2}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}\,r^{2}}}\left[{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)-{\hat {L}}^{2}\right].$$Сферические гармоники удовлетворяют $${\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\equiv \left\{-{\frac {1}{\sin ^{2}\theta }}\left[\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \phi ^{2}}}\right]\right\}Y_{\ell m}(\theta ,\phi )=\ell (\ell +1)Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).$$ Подставив это в уравнение Шрёдингера, мы получаем одномерное уравнение на собственные значения: $${\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d}{dr}}\left(r^{2}{\frac {dR}{dr}}\right)-{\frac {\ell (\ell +1)}{r^{2}}}R+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V(r)\right]R=0.$$Это уравнение можно свести к эквивалентному одномерному уравнению Шредингера, заменив $R(r)=u(r)/r$, где $u(r)$ удовлетворяет $${d^{2}u \over dr^{2}}+{\frac {2m_{0}}{\hbar ^{2}}}\left[E-V_{\mathrm {eff} }(r)\right]u=0$$что представляет собой в точности одномерное уравнение Шредингера с эффективным потенциалом, определяемым формулой $$V_{\mathrm {eff} }(r)=V(r)+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}},$$где $r\in [0,\infty )$. Поправка к потенциалу V ( r ) называется центробежным барьерным членом .

Если ${\textstyle \lim _{r\to 0}r^{2}V(r)=0}$, то вблизи начала координат $R\sim r^{\ell }$.

Сферически симметричные гамильтонианы

Поскольку гамильтониан сферически симметричен, его называют инвариантным относительно вращения, т. е.:

${U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)={\hat {H}}$

Поскольку операторы углового момента являются генераторами вращения, применяя лемму Бейкера-Кэмпбелла-Хаусдорфа, получаем:

${U(R)}^{\dagger }{\hat {H}}U(R)=e^{\frac {i{\hat {n}}\cdot {\vec {L}}\theta }{\hbar }}{\hat {H}}e^{\frac {-i{\hat {n}}\cdot {\vec {L}}\theta }{\hbar }}={\hat {H}}+i{\frac {\theta }{\hbar }}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},{\hat {H}}\right]+{\frac {1}{2!}}\left(i{\frac {\theta }{\hbar }}\right)^{2}\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},\left[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},{\hat {H}}\right]\right]+\cdots ={\hat {H}}$

Поскольку это уравнение справедливо для всех значений $\theta$, мы поняли это $[{\hat {n}}\cdot {\vec {L}},{\hat {H}}]=0$или что каждая компонента углового момента коммутирует с гамильтонианом.

С $L_{z}$ и $L^{2}$ являются такими взаимно коммутирующими операторами, которые также коммутируют с гамильтонианом, волновые функции можно выразить как $|\alpha ;\ell ,m\rangle$ или $\psi _{\alpha ;\ell ,m}(r,\theta ,\phi )$ где $\alpha$ используется для обозначения различных волновых функций.

С ${\textstyle L_{\pm }=L_{x}\pm iL_{y}}$ также коммутирует с гамильтонианом, собственные значения энергии в таких случаях всегда не зависят от $m$.

$${\hat {H}}|\alpha ;\ell ,m\rangle =E_{\alpha ;\ell }|\alpha ;\ell ,m\rangle$$

В сочетании с тем, что ${\textstyle L_{\pm }}$ дифференциальные операторы действуют только на функции $\theta$ и $\phi$, это показывает, что если предполагается, что решения разделимы как ${\textstyle \psi (r,\theta ,\phi )=R(r)Y(\theta ,\phi )}$, радиальная волновая функция $R(r)$ всегда можно выбрать независимо от $m$ ценности. Таким образом, волновая функция выражается как:

$$\psi _{\alpha ;\ell ,m}(r,\theta ,\phi )=R(r)_{\alpha ;\ell }Y_{\ell m}(\theta ,\phi ).$$

Решения для потенциальных интересов

Есть пять случаев особой важности:

1. $V(r)=0$, или решение вакуума на основе сферических гармоник, что служит основой для других случаев.
2. $V(r)=V_{0}$ (конечный) для $r<r_{0}$ и ноль в другом месте.
3. $V(r)=0$ для $r<r_{0}$ и бесконечный в других местах, сферический эквивалент квадратной ямы , полезный для описания связанных состояний в ядре или квантовой точке.
4. $V(r)\propto r^{2}$для трехмерного изотропного гармонического осциллятора.
5. $V(r)\propto {\frac {1}{r}}$ для описания связанных состояний водородоподобных атомов .

В этих случаях намечаются решения, которые следует сравнить с их аналогами в декартовых координатах , ср. частица в ящике .

Состояние вакуумного корпуса

Давайте теперь рассмотрим $V(r)=0$. Вводя безразмерные переменные $$\rho \ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ kr,\qquad k\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {2m_{0}E \over \hbar ^{2}}},$$уравнение становится уравнением Бесселя для $J(\rho )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\rho }}R(r)$: $$\rho ^{2}{\frac {d^{2}J}{d\rho ^{2}}}+\rho {\frac {dJ}{d\rho }}+\left[\rho ^{2}-\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)^{2}\right]J=0$$где регулярные решения для положительных энергий задаются так называемыми функциями Бесселя первого рода $J_{\ell +1/2}(\rho )$ так что решения, написанные для $R(r)$ представляют собой так называемую сферическую функцию Бесселя

${\textstyle R(r)=j_{l}(kr)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\pi /(2kr)}}J_{\ell +1/2}(kr)}$.

Таким образом, решения уравнения Шредингера в полярных координатах в вакууме обозначаются тремя квантовыми числами: дискретными индексами ℓ и m и k , непрерывно меняющимися в $[0,\infty )$: $$\psi (\mathbf {r} )=j_{\ell }(kr)Y_{\ell m}(\theta ,\phi )$$Эти решения представляют собой состояния с определенным угловым моментом, а не с определенным (линейным) моментом, которые обеспечивают плоские волны. $\exp(i\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} )$.

Сфера с конечным «квадратным» потенциалом.

Рассмотрите потенциал $V(r)=V_{0}$ для $r<r_{0}$ и $V(r)=0$ в другом месте - то есть внутри сферы радиуса $r_{0}$ потенциал равен $V_{0}$ и он равен нулю вне сферы. Потенциал с таким конечным разрывом называется квадратным потенциалом.

Сначала мы рассматриваем связанные состояния, т.е. состояния, в которых частица находится преимущественно внутри ящика (ограниченные состояния). У них есть энергия $E$ меньше потенциала вне сферы, т. е. имеют отрицательную энергию. Также стоит отметить, что в отличие от кулоновского потенциала, имеющего бесконечное количество дискретных связанных состояний, сферическая квадратная яма имеет только конечное число (если таковое имеется) из-за его конечного диапазона.

Разрешение по существу соответствует разрешению описанного выше случая вакуума с добавлением нормализации полной волновой функции, решая два уравнения Шредингера - внутри и вне сферы - предыдущего типа, то есть с постоянным потенциалом. Для нормируемой физической волновой функции должны выполняться следующие ограничения:

1. Волновая функция должна быть регулярной в начале координат.
2. Волновая функция и ее производная должны быть непрерывными на разрыве потенциала.
3. Волновая функция должна сходиться на бесконечности.

Первое ограничение связано с тем, что Неймана и функции Ханкеля сингулярны в начале координат. Физическое требование, которое $\psi$ Везде должна быть определена выбранная функция Бесселя первого рода среди остальных возможностей в вакуумном случае. По этой же причине решение внутри сферы будет такого вида: $$R(r)=Aj_{\ell }\left({\sqrt {\frac {2m_{0}(E-V_{0})}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r<r_{0}.$$Обратите внимание, что для связанных состояний $V_{0}<E<0$. Связанные состояния привносят новизну по сравнению с вакуумным случаем теперь, когда $E<0$. Это, наряду с третьим ограничением, выбирает функцию Ганкеля первого рода в качестве единственного сходящегося решения на бесконечности (особенность в начале координат этих функций не имеет значения, поскольку мы теперь находимся вне сферы): $$R(r)=Bh_{\ell }^{(1)}\left(i{\sqrt {\frac {-2m_{0}E}{\hbar ^{2}}}}r\right),\qquad r>r_{0}$$Второе ограничение непрерывности $\psi$ в $r=r_{0}$ наряду с нормализацией позволяет определить константы $A$ и $B$. Непрерывность производной (или для удобства логарифмической производной ) требует квантования энергии.

Сфера с бесконечным «квадратным» потенциалом.

В случае, когда потенциальная яма бесконечно глубока, так что мы можем принять $V_{0}=0$ внутри сферы и $\infty$ снаружи возникает проблема сопоставления волновой функции внутри сферы ( сферических функций Бесселя ) с тождественно нулевой волновой функцией вне сферы. Разрешенными энергиями являются те, для которых радиальная волновая функция обращается в нуль на границе. Таким образом, мы используем нули сферических функций Бесселя для нахождения энергетического спектра и волновых функций. Вызов $u_{\ell ,k}$ к ​ ^й ноль $j_{\ell }$, у нас есть: $$E_{kl}={\frac {u_{\ell ,k}^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}$$так что задача сводится к вычислению этих нулей $u_{\ell ,k}$, обычно с помощью таблицы или калькулятора, поскольку эти нули не разрешимы в общем случае.

В особом случае $\ell =0$ (сферические симметричные орбитали), сферическая функция Бесселя равна ${\textstyle j_{0}(x)={\frac {\sin x}{x}}}$, нули которого можно легко записать как $u_{0,k}=k\pi$. Их собственные значения энергии таковы: $$E_{k0}={\frac {(k\pi )^{2}\hbar ^{2}}{2m_{0}r_{0}^{2}}}={\frac {k^{2}h^{2}}{8m_{0}r_{0}^{2}}}$$

3D изотропный гармонический генератор

Потенциал трехмерного изотропного гармонического осциллятора равен $$V(r)={\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}.$$ N -мерный изотропный гармонический осциллятор имеет энергии $$E_{n}=\hbar \omega \left(n+{\frac {N}{2}}\right)\quad {\text{with}}\quad n=0,1,\ldots ,\infty ,$$ то есть $n$ – неотрицательное целое число; $\omega$ (та же самая) основная частота $N$ режимы генератора. В этом случае $N=3$, так что радиальное уравнение Шредингера принимает вид $$\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{0}}}{\frac {d^{2}}{dr^{2}}}+{\hbar ^{2}\ell (\ell +1) \over 2m_{0}r^{2}}+{\frac {1}{2}}m_{0}\omega ^{2}r^{2}-\hbar \omega \left(n+{\tfrac {3}{2}}\right)\right]u(r)=0.$$

Представляем $$\gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }}$$ и напоминая об этом $u(r)=rR(r)$, мы покажем, что радиальное уравнение Шредингера имеет нормированное решение: $$R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}),$$ где функция $L_{k}^{(\alpha )}(\gamma r^{2})$ является обобщенным полиномом Лагерра от $yr^{2}$ порядка $k$.

Константа нормализации $N_{nl}$ является, $$N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}{\pi ^{\frac {1}{2}}}}\right]^{\frac {1}{2}}\left[{\frac {\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!\;\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}{(n+\ell +1)!}}\right]^{\frac {1}{2}}.$$

Собственная функция $R_{nl}(r)$ связан с энергией $E_{n}$, где $$\ell =n,n-2,\ldots ,\ell _{\min }\quad {\text{with}}\quad \ell _{\min }={\begin{cases}1&{\text{if}}~n~{\text{odd}}\\0&{\text{if}}~n~{\text{even}}\end{cases}}$$ Это тот же результат, что и у квантового гармонического генератора , с $\gamma =2\nu$.

Вывод

Сначала мы преобразуем радиальное уравнение несколькими последовательными заменами в обобщенное дифференциальное уравнение Лагерра, которое имеет известные решения: обобщенные функции Лагерра. Затем нормируем обобщенные функции Лагерра к единице. Эта нормализация проводится с обычным элементом объема r ² д р .

Сначала масштабируем радиальную координату $$y={\sqrt {\gamma }}r\quad {\text{with}}\quad \gamma \equiv {\frac {m_{0}\omega }{\hbar }},$$ и тогда уравнение становится $$\left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-y^{2}+2n+3\right]v(y)=0$$ с ${\textstyle v(y)=u\left(y/{\sqrt {\gamma }}\right)}$.

Рассмотрение предельного поведения v ( y ) в начале координат и на бесконечности предполагает следующую замену v ( y ) : $$v(y)=y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}f(y).$$ Эта замена преобразует дифференциальное уравнение к $$\left[{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+2\left({\frac {\ell +1}{y}}-y\right){\frac {d}{dy}}+2n-2\ell \right]f(y)=0,$$ где мы разделились с $y^{\ell +1}e^{-y^{2}/2}$, что можно сделать, пока y не равно нулю.

Преобразование к полиномам Лагерра

Если замена $x=y^{2}$ используется, $y={\sqrt {x}}$, и дифференциальные операторы становятся $${\frac {d}{dy}}={\frac {dx}{dy}}{\frac {d}{dx}}=2y{\frac {d}{dx}}=2{\sqrt {x}}{\frac {d}{dx}},$$ и $${\frac {d^{2}}{dy^{2}}}={\frac {d}{dy}}\left(2y{\frac {d}{dx}}\right)=4x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+2{\frac {d}{dx}}.$$

Выражение в квадратных скобках, умножающее $f(y)$ становится дифференциальным уравнением, характеризующим обобщенное уравнение Лагерра (см. также уравнение Куммера ): $$x{\frac {d^{2}g}{dx^{2}}}+\left(\left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)+1-x\right){\frac {dg}{dx}}+{\frac {1}{2}}(n-\ell )g(x)=0$$ с $g(x)\equiv f({\sqrt {x}})$.

Предоставил $k\equiv (n-\ell )/2$ – целое неотрицательное число, решениями этого уравнения являются обобщенные (присоединенные) полиномы Лагерра $$g(x)=L_{k}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(x).$$

Из условий на $k$ следующее: (i) $n\geq \ell$ и (ii) $n$ и $l$ либо оба нечетные, либо оба четные. Это приводит к состоянию $l$ приведено выше.

Восстановление нормированной радиальной волновой функции

Вспоминая это $u(r)=rR(r)$, получим нормированное радиальное решение: $$R_{n\ell }(r)=N_{n\ell }\,r^{\ell }\,e^{-{\frac {1}{2}}\gamma r^{2}}\;L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(\gamma r^{2}).$$

Условие нормировки радиальной волновой функции : $$\int _{0}^{\infty }r^{2}|R(r)|^{2}\,dr=1.$$

Замена $q=\gamma r^{2}$, дает $dq=2\gamma r\,dr$ и уравнение становится: $${\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\int _{0}^{\infty }q^{\ell +{1 \over 2}}e^{-q}\left[L_{{\frac {1}{2}}(n-\ell )}^{\scriptscriptstyle \left(\ell +{\frac {1}{2}}\right)}(q)\right]^{2}\,dq=1.$$

Используя свойства ортогональности обобщенных полиномов Лагерра , это уравнение упрощается до: $${\frac {N_{n\ell }^{2}}{2\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}}}\cdot {\frac {\Gamma {\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell +1)+1\right]}}{\left[{\frac {1}{2}}(n-\ell )\right]!}}=1.$$

Следовательно, константу нормализации можно выразить как: $$N_{n\ell }={\sqrt {\frac {2\,\gamma ^{\ell +{\frac {3}{2}}}\,\left({\frac {n-\ell }{2}}\right)!}{\Gamma {\left({\frac {n+\ell }{2}}+{\frac {3}{2}}\right)}}}}$$

Другие формы константы нормализации можно получить, используя свойства гамма-функции , отмечая при этом, что $n$ и $l$ оба имеют одинаковую четность. Это означает, что $n+l$ всегда четен, так что гамма-функция принимает вид: $$\Gamma \left[{\frac {1}{2}}+\left({\frac {n+\ell }{2}}+1\right)\right]={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!!}{2^{{\frac {n+\ell }{2}}+1}}}={\frac {{\sqrt {\pi }}(n+\ell +1)!}{2^{n+\ell +1}\left[{\frac {1}{2}}(n+\ell )\right]!}},$$ где мы использовали определение двойного факториала . Следовательно, константа нормализации также определяется выражением: $$N_{n\ell }=\left[{\frac {2^{n+\ell +2}\,\gamma ^{\ell +{3 \over 2}}\left[{1 \over 2}(n-\ell )\right]!\left[{1 \over 2}(n+\ell )\right]!}{\;\pi ^{1 \over 2}(n+\ell +1)!}}\right]^{1 \over 2}={\sqrt {2}}\left({\frac {\gamma }{\pi }}\right)^{1 \over 4}\,({2\gamma })^{\ell \over 2}\,{\sqrt {\frac {2\gamma (n-\ell )!!}{(n+\ell +1)!!}}}.$$

Водородоподобные атомы

Основная статья: водородоподобный атом

Водородный (водородоподобный) атом представляет собой двухчастичную систему, состоящую из ядра и электрона. Две частицы взаимодействуют посредством потенциала, определяемого законом Кулона : $$V(r)=-{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}{\frac {Ze^{2}}{r}}$$ где

• ε ₀ — диэлектрическая проницаемость вакуума,
• Z – атомный номер ( eZ – заряд ядра),
• e — элементарный заряд (заряд электрона),
• r — расстояние между электроном и ядром.

Чтобы упростить уравнение Шредингера, введем следующие константы, определяющие атомную единицу энергии и длины:

$$E_{\textrm {h}}=\mu \left({\frac {e^{2}}{4\pi \varepsilon _{0}\hbar }}\right)^{2}\quad {\text{and}}\quad a_{0}={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}.$$

где $\mu \approx m_{e}$ представляет собой приведенную массу в $m_{e}\ll m_{nucleus}$ предел. Заменять $y=Zr/a_{0}$ и $W=E/(Z^{2}E_{\textrm {h}})$ в радиальное уравнение Шредингера, приведенное выше. Это дает уравнение, в котором скрыты все естественные константы: $$\left[-{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}}{dy^{2}}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\ell (\ell +1)}{y^{2}}}-{\frac {1}{y}}\right]u_{\ell }=Wu_{\ell }.$$ Существуют два класса решений этого уравнения:

(я) $W$ отрицательно, соответствующие собственные функции интегрируемы с квадратом и значения $W$ квантованы (дискретный спектр).

(ii) $W$ неотрицательно, каждое действительное неотрицательное значение $W$ физически разрешен (непрерывный спектр), соответствующие собственные функции неинтегрируемы с квадратом. Рассмотрение только решений класса (i) ограничивает решения волновыми функциями, которые являются связанными состояниями , в отличие от решений класса (ii), которые известны как состояния рассеяния .

Для решений класса (i) с отрицательным W величина $\alpha \equiv 2{\sqrt {-2W}}$ является реальным и позитивным. Масштабирование $y$, т. е. замена $x\equiv \alpha y$ дает уравнение Шредингера: $$\left[{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}+{\frac {2}{\alpha x}}-{\frac {1}{4}}\right]u_{\ell }=0,\quad {\text{with }}x\geq 0.$$

Для $x\rightarrow \infty$ обратные степени x пренебрежимо малы, и нормируемое (и, следовательно, физическое) решение для больших $x$ является $\exp[-x/2]$. Аналогично, для $x\rightarrow 0$ доминирует степень обратного квадрата и физическое решение для малых $x$ это х ^{ℓ +1} . Следовательно, чтобы получить полнодиапазонное решение, мы заменяем $$u_{l}(x)=x^{\ell +1}e^{-x/2}f_{\ell }(x).$$

Уравнение для $f_{l}(x)$ становится, $$\left[x{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+(2\ell +2-x){\frac {d}{dx}}+(n-\ell -1)\right]f_{\ell }(x)=0\quad {\text{with}}\quad n=(-2W)^{-1/2}={\frac {2}{\alpha }}.$$

Предоставил $n-\ell -1$ является неотрицательным целым числом, это уравнение имеет полиномиальные решения, записанные в виде $$L_{k}^{(2\ell +1)}(x),\qquad k=0,1,\ldots ,$$ которые являются обобщенными полиномами Лагерра порядка $k$. Энергия становится $$W=-{\frac {1}{2n^{2}}}\quad {\text{with}}\quad n\equiv k+\ell +1.$$

Главное квантовое число $n$ удовлетворяет $n\geq \ell +1$. С $\alpha =2/n$, полная радиальная волновая функция равна $$R_{n\ell }(r)={\frac {u(r)}{r}}=N_{n\ell }\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right)^{\ell }\;e^{-{\tfrac {Zr}{na_{0}}}}\;L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{0}}}\right),$$ с нормализацией, которая поглощает дополнительные члены из ${\textstyle {\frac {1}{r}}}$ $$N_{n\ell }=\left[\left({\frac {2Z}{na_{0}}}\right)^{3}\cdot {\frac {(n-\ell -1)!}{2n[(n+\ell )!]^{3}}}\right]^{1 \over 2},$$ с помощью

$$\int _{0}^{\infty }x^{2\ell +2}e^{-x}\left[L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)\right]^{2}dx={\frac {2n(n+\ell )!}{(n-\ell -1)!}}.$$

Соответствующая энергия $$E=-{\frac {Z^{2}}{2n^{2}}}E_{\textrm {h}},\qquad n=1,2,\ldots .$$