Атомные единицы

Не путать с атомными единицами массы .

Атомные единицы — это система естественных единиц измерения, которая особенно удобна для расчетов в атомной физике и смежных научных областях, таких как вычислительная химия и атомная спектроскопия . Первоначально они были предложены и названы физиком Дугласом Хартри . Атомные единицы часто обозначаются сокращением «au» или «au», не путать с аналогичными сокращениями, используемыми для астрономических единиц , произвольных единиц и единиц поглощения в других контекстах.

Мотивация

В контексте атомной физики использование системы атомных единиц может быть удобным ярлыком, позволяющим исключить ненужные символы и числа с очень маленькими порядками.Например, оператор Гамильтона в уравнении Шрёдингера для атома гелия со стандартными величинами, например, при использовании единиц СИ, равен

${\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m_{\text{e}}}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{1}}}-{\frac {2e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{2}}}+{\frac {e^{2}}{4\pi \epsilon _{0}r_{12}}},$

но, приняв соглашение, связанное с атомными единицами, которое преобразует количества в безразмерные эквиваленты, становится

${\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\nabla _{1}^{2}-{\frac {1}{2}}\nabla _{2}^{2}-{\frac {2}{r_{1}}}-{\frac {2}{r_{2}}}+{\frac {1}{r_{12}}}.$

В этом соглашении константы ⁠ $\hbar$⁠ , ⁠ $m_{\text{e}}$⁠ , ⁠ $4\pi \epsilon _{0}$⁠ и ⁠ $e$⁠ все соответствуют значению ⁠ $1$⁠ (см. § Определение ниже). Расстояния, соответствующие физике, выраженные в единицах СИ, естественно, имеют порядок ⁠. $10^{-10}\,\mathrm {m}$⁠ , выраженные в атомных единицах, расстояния порядка ⁠ $1a_{0}$⁠ (один радиус Бора , атомная единица длины). Дополнительным преимуществом выражения величин с использованием атомных единиц является то, что их значения, рассчитанные и сообщаемые в атомных единицах, не изменяются при пересмотре значений фундаментальных констант. Фундаментальные константы встроены в коэффициенты перевода между атомными единицами и СИ.

История

Хартри определил единицы измерения на основе трех физических констант:

Как для того, чтобы исключить из уравнений различные универсальные константы, так и для того, чтобы избежать высоких степеней 10 в числовых работах, удобно выражать величины в единицах, которые можно назвать «атомными единицами», определяемыми следующим образом:

Единица длины , ⁠ $a_{\text{H}}=h^{2}\,/\,4\pi ^{2}me^{2}$⁠ , по орбитальной механике радиус 1-квантовой круговой орбиты атома H с неподвижным ядром.

Единица заряда , ⁠ $e$⁠ , величина заряда электрона.

Единица массы , ⁠ $m$⁠ , масса электрона.

Им соответствуют:

Единица действия , ⁠ $h\,/\,2\pi$⁠ .

Единица энергии , ⁠ $e^{2}/a_{\text{H}}=2hcR=$⁠ [...]

Единица времени , ⁠ $1\,/\,4\pi cR$⁠ .
 

- Д. Р. Хартри, Волновая механика атома с некулоновским центральным полем. Часть I. Теория и методы

Здесь современный эквивалент ⁠ $R$⁠ — постоянная Ридберга ⁠ $R_{\infty }$⁠ , из ⁠ $m$⁠ — масса электрона ⁠ $m_{\text{e}}$⁠ , из ⁠ $a_{\text{H}}$⁠ — радиус Бора ⁠ $a_{0}$⁠ и ⁠ $h/2\pi$⁠ — приведенная постоянная Планка ⁠ $\hbar$⁠ . Выражения Хартри, содержащие ⁠ $e$⁠ отличаются от современной формы из-за изменения определения ⁠ $e$⁠ , как описано ниже.

В 1957 году вышла книга Бете и Солпитера « Квантовая механика одно- и двухэлектронных атомов». построены на единицах Хартри, которые они назвали атомными единицами, сокращенно «ау». Они решили использовать ⁠ $\hbar$⁠ , их единицы действия и угловой момент вместо длины Хартри в качестве основных единиц. Они отметили, что единицей длины в этой системе является радиус первой орбиты Бора , а их скорость — скорость электрона в модели первой орбиты Бора.

В 1959 году Шулл и Холл выступал за атомные единицы, основанные на модели Хартри, но снова решил использовать ⁠ $\hbar$⁠ как определяющая единица. Они прямо назвали единицу расстояния « радиусом Бора »; кроме того, они записали единицу энергии как ⁠ $H=me^{4}/\hbar ^{2}$⁠ и назвал его Хартри . Эти термины стали широко использоваться в квантовой химии.

В 1973 году МакВини расширил систему Шулла и Холла, добавив диэлектрическую проницаемость в виде ⁠ $\kappa _{0}=4\pi \epsilon _{0}$⁠ как определяющая или базовая единица. Одновременно он принял определение ⁠ в системе СИ. $e$⁠ так что его выражение энергии в атомных единицах равно ⁠ $e^{2}/(4\pi \epsilon _{0}a_{0})$⁠ , что соответствует выражению в брошюре 8-го СИ.

Определение

Набором основных единиц в атомной системе, как в одном предложении, являются масса покоя электрона, величина электронного заряда, постоянная Планка и диэлектрическая проницаемость. В системе атомных единиц каждая из них принимает значение 1; соответствующие значения в Международной системе единиц приведены в таблице.

Базовые атомные единицы

Символ и имя	Количество (размеры)	Атомный единицы	единицы СИ
⁠ $\hbar$⁠ , приведенная постоянная Планка	действие (ML 2 Т −1 )	1	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s
⁠ $e$⁠ , элементарный заряд	заряд (Q)	1	1.602 176 634 × 10 −19 С
⁠ $m_{\text{e}}$⁠ , масса покоя электрона	масса (М)	1	9.109 383 7139 (28) × 10 −31 кг
⁠ $4\pi \epsilon _{0}$⁠ , диэлектрическая проницаемость	диэлектрическая проницаемость (Q 2 В −1 л −1 )	1	1.112 650 056 20 (17) × 10 −10  F⋅m −1

Примечания к таблице

• ^   *: Этот произвольный выбор базовых единиц был предложен МакВини.
  
• ^   †: См. Анализ размеров . W представляет собой размерность энергии, ML ² Т ⁻² .
  
• ^   ‡: В столбце «Атомные единицы» применено соглашение, использующее безразмерные эквиваленты.
  

Единицы

Три из определяющих констант (приведенная постоянная Планка, элементарный заряд и масса покоя электрона) сами являются атомными единицами – действия , электрический заряд , и масса , соответственно. Две названные единицы — это единицы длины ( радиус Бора ⁠ $a_{0}\equiv 4\pi \epsilon _{0}\hbar ^{2}/m_{\text{e}}e^{2}$⁠ ) и энергия ( Хартри ⁠ $E_{\text{h}}\equiv \hbar ^{2}/m_{\text{e}}a_{0}^{2}$⁠ ).

Определенные атомные единицы

Атомная единица	Выражение	Значение в единицах СИ	Другие эквиваленты
плотность электрического заряда	$e/a_{0}^{3}$	1.081 202 386 77 (51) × 10 12  C⋅m −3
электрический ток	$eE_{\text{h}}/\hbar$	6.623 618 237 5082 (72) × 10 −3 А
электрический заряд	$e$	1.602 176 634 × 10 −19 С
электрический дипольный момент	$ea_{0}$	8.478 353 6198 (13) × 10 −30  C⋅m	≘ 2.541 746 473   Д
электрический квадрупольный момент	$ea_{0}^{2}$	4.486 551 5185 (14) × 10 −40  C⋅m 2
электрический потенциал	$E_{\text{h}}/e$	27.211 386 245 981 (30) V
электрическое поле	$E_{\text{h}}/ea_{0}$	5.142 206 751 12 (80) × 10 11  V⋅m −1
градиент электрического поля	$E_{\text{h}}/ea_{0}^{2}$	9.717 362 4424 (30) × 10 21  V⋅m −2
диэлектрическая проницаемость	$e^{2}/a_{0}E_{\text{h}}$	1.112 650 056 20 (17) × 10 −10  F⋅m −1	⁠ $4\pi \epsilon _{0}$⁠
электрическая поляризуемость	$e^{2}a_{0}^{2}/E_{\text{h}}$	1.648 777 272 12 (51) × 10 −41 С 2 ⋅m 2 ⋅J −1
1-я гиперполяризуемость	$e^{3}a_{0}^{3}/E_{\text{h}}^{2}$	3.206 361 2996 (15) × 10 −53 С 3 ⋅m 3 ⋅J −2
2-я гиперполяризуемость	$e^{4}a_{0}^{4}/E_{\text{h}}^{3}$	6.235 379 9735 (39) × 10 −65 С 4 ⋅m 4 ⋅J −3
магнитный дипольный момент	$\hbar e/m_{\text{e}}$	1.854 802 013 15 (58) × 10 −23  J⋅T −1	⁠ $2\mu _{\text{B}}$⁠
плотность магнитного потока	$\hbar /ea_{0}^{2}$	2.350 517 570 77 (73) × 10 5 Т	≘ 2.3505 × 10 9  Г
намагничиваемость	$e^{2}a_{0}^{2}/m_{\text{e}}$	7.891 036 5794 (49) × 10 −29  J⋅T −2
действие	$\hbar$	1.054 571 817 ... × 10 −34  J⋅s
энергия	$E_{\text{h}}$	4.359 744 722 2060 (48) × 10 −18 Дж	⁠ $2hcR_{\infty }$⁠ , ⁠ $\alpha ^{2}m_{\text{e}}c^{2}$, ( 27,211 386 245 988 53) эВ
сила	$E_{\text{h}}/a_{0}$	8.238 723 5038 (13) × 10 −8 Н	82,387 нН , 51,421 эВ·Å −1
длина	$a_{0}$	5.291 772 105 44 (82) × 10 −11 м	⁠ $\hbar /\alpha m_{\text{e}}c$⁠ , 0,529 177   Å
масса	$m_{\text{e}}$	9.109 383 7139 (28) × 10 −31 кг
импульс	$\hbar /a_{0}$	1.992 851 915 45 (31) × 10 −24  kg⋅m⋅s −1
время	$\hbar /E_{\text{h}}$	2.418 884 326 5864 (26) × 10 −17 с
скорость	$a_{0}E_{\text{h}}/\hbar$	2.187 691 262 16 (34) × 10 6  m⋅s −1	⁠ $\alpha c$⁠
⁠ $c$⁠ : скорость света , ⁠ $\epsilon _{0}$⁠ : диэлектрическая проницаемость вакуума , ⁠ $R_{\infty }$⁠ : постоянная Ридберга , ⁠ $h$⁠ : постоянная Планка , ⁠ $\alpha$⁠ : постоянная тонкой структуры , ⁠ $\mu _{\text{B}}$⁠ : магнетон Бора , ≘ : переписка

Конвенции

При использовании атомарных единиц приняты различные соглашения, которые различаются по представлению, формальности и удобству.

Явные единицы

• Многие тексты (например, Джеррард и МакНилл, Шулл и Холл ) определяют атомные единицы как величины без преобразования используемых уравнений. По существу, они не предлагают рассматривать какие-либо величины как безразмерные или менять форму каких-либо уравнений. Это согласуется с выражением величин через размерные величины, где атомная единица явно указывается как символ (например, ⁠ $m=3.4~m_{\text{e}}$⁠ , ⁠ $m=3.4~{\text{a.u. of mass}}$⁠ или, что более двусмысленно, ⁠ $m=3.4~{\text{a.u.}}$⁠ ) и сохранение неизмененных уравнений с явными константами.
• Предлагается также возможность выбора более удобных, тесно связанных величин, более подходящих для решения задачи в качестве единиц, чем универсальные фиксированные единицы, например, на основе приведенной массы электрона, хотя и с тщательным ее определением там, где они используются (например, единица измерения). ⁠ $H_{M}=\mu e^{4}/\hbar ^{2}$⁠ , где ⁠ $\mu =m_{\text{e}}M/(m_{\text{e}}+M)$⁠ для указанной массы ⁠ $M$⁠ ).

Соглашение, исключающее единицы

В атомной физике принято упрощать математические выражения путем преобразования всех величин:

• Хартри предположил, что выражение в атомных единицах позволяет нам «исключить из уравнений различные универсальные константы», что равносильно неформальному предложению преобразования величин и уравнений таким образом, чтобы все количества были заменены соответствующими безразмерными величинами. Он не выходит за рамки примеров.
• МакВини предполагает, что «... их принятие позволяет записать все фундаментальные уравнения в безразмерной форме, в которой такие константы, как ⁠ $e$⁠ , ⁠ $m$⁠ и ⁠ $h$⁠ отсутствуют и вообще не должны учитываться при математических выводах или процессах численного решения; единицы, в которых должна выражаться любая рассчитанная величина, неявно указаны в ее физических размерах и могут быть указаны в конце». заданная система единиц: в этом случае уравнения содержат только чистые числа или безразмерные переменные; ... соответствующие единицы указываются в конце расчета со ссылкой на физические размеры рассчитываемой величины. [Это] соглашение имеет много оснований для его рекомендации, и оно молчаливо принимается в атомной и молекулярной физике всякий раз, когда вводятся атомные единицы, например, для удобства вычислений».
• Часто используется неформальный подход, при котором «уравнения выражаются в атомных единицах, просто устанавливая ⁠ $\hbar =m_{\text{e}}=e=4\pi \epsilon _{0}=1$⁠ ". Это своего рода сокращение более формального процесса преобразования величин, предложенного другими, например, МакВини.

Физические константы

Безразмерные физические константы сохраняют свои значения в любой системе единиц. Следует отметить константу тонкой структуры ⁠ $\alpha ={e^{2}}/{(4\pi \epsilon _{0})\hbar c}\approx 1/137$⁠ , который появляется в выражениях вследствие выбора единиц измерения. Например, числовое значение скорости света , выраженное в атомных единицах, равно ⁠ $c=1/\alpha \,{\text{a.u.}}\approx 137\,{\text{a.u.}}$⁠

Некоторые физические константы, выраженные в атомных единицах

Имя	Символ/Определение	Значение в атомных единицах
скорость света	$c$	$(1/\alpha )\,a_{0}E_{\text{h}}/\hbar \approx 137\,a_{0}E_{\text{h}}/\hbar$
классический радиус электрона	$r_{\text{e}}={\frac {1}{4\pi \epsilon _{0}}}{\frac {e^{2}}{m_{\text{e}}c^{2}}}$	$\alpha ^{2}\,a_{0}\approx 0.0000532\,a_{0}$
уменьшенная комптоновская длина волны электрона	ƛ е $={\frac {\hbar }{m_{\text{e}}c}}$	$\alpha \,a_{0}\approx 0.007297\,a_{0}$
масса протона	$m_{\text{p}}$	$\approx 1836\,m_{\text{e}}$

Модель Бора в атомных единицах

Атомные единицы выбираются с учетом свойств электронов в атомах, что особенно ясно видно в классической модели Бора атома водорода для связанного электрона в основном состоянии :

• Масса = 1 а.е. массы
• Заряд = −1 а.е. заряда
• Радиус орбиты = 1 а.е. длины
• Орбитальная скорость = 1 а.е. скорости
• Орбитальный период = 2 π а.е. времени
• Орбитальная угловая скорость = 1 радиан на а.е. времени.
• Орбитальный момент = 1 а.е. импульса
• Энергия ионизации = ⁠ 1/2 ​ ⁠ а.е. энергии
• Электрическое поле (из-за ядра) = 1 а.е. электрического поля
• Сила Лоренца (из-за ядра) = 1 а.е. силы