Вероятностный ток

В квантовой механике поток вероятности (иногда называемый вероятности потоком ) — это математическая величина, описывающая поток вероятностей . В частности, если рассматривать вероятность как гетерогенную жидкость, то ток вероятности — это скорость течения этой жидкости. Это реальный вектор , который меняется в пространстве и времени. Токи вероятности аналогичны токам массы в гидродинамике и электрическим токам в электромагнетизме . Как и в этих полях, ток вероятности (т.е. плотность тока вероятности) связан с функцией плотности вероятности посредством уравнения непрерывности . Вероятностный ток инвариантен относительно калибровочного преобразования .

Понятие тока вероятности также используется за пределами квантовой механики, когда речь идет о функциях плотности вероятности, которые изменяются со временем, например, в броуновском движении и уравнении Фоккера-Планка .

Определение (нерелятивистский 3-ток)

Частица со свободным спином 0

В нерелятивистской квантовой механике ток вероятности j волновой функции Ψ частицы массы m в одном измерении определяется как $$j={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}-\Psi {\frac {\partial \Psi ^{*}}{\partial x}}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}{\frac {\partial \Psi }{\partial x}}\right\},$$где

• $\hbar$ – приведенная постоянная Планка ;
• $\Psi ^{*}$ обозначает комплексно-сопряженную волновую функцию ;
• $\Re$ обозначает действительную часть ;
• $\Im$ обозначает мнимую часть .

Обратите внимание, что ток вероятности пропорционален вронскиану $W(\Psi ,\Psi ^{*}).$

В трех измерениях это обобщается до $$\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)={\frac {\hbar }{m}}\Re \left\{\Psi ^{*}{\frac {\nabla }{i}}\Psi \right\}={\frac {\hbar }{m}}\Im \left\{\Psi ^{*}\nabla \Psi \right\}\,,$$где $\nabla$ обозначает del или градиента оператор . Это можно упростить с помощью оператора кинетического импульса , $$\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$$чтобы получить $$\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)\,.$$

В этих определениях используется позиционный базис (т. е. для волновой функции в позиционном пространстве ), но импульсное пространство возможно и .

Частица со спином 0 в электромагнитном поле

Основные статьи: электромагнитное поле и кинетический момент

Приведенное выше определение следует видоизменить для системы, находящейся во внешнем электромагнитном поле . В единицах СИ массы заряженная частица m и электрического заряда q включает член, обусловленный взаимодействием с электромагнитным полем; $$\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]$$где A = A ( r , t ) — векторный магнитный потенциал . Член q A имеет размерность импульса. Обратите внимание, что $\mathbf {\hat {p}} =-i\hbar \nabla$ здесь используется канонический импульс , который не является калибровочно-инвариантным , в отличие от оператора кинетического импульса $\mathbf {\hat {P}} =-i\hbar \nabla -q\mathbf {A}$.

В гауссовских единицах : $$\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2{\frac {q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]$$где с — скорость света .

Спиновая частица в электромагнитном поле

Если частица имеет спин , она имеет соответствующий магнитный момент , поэтому необходимо добавить дополнительный член, включающий взаимодействие спина с электромагнитным полем.

Согласно Курсу теоретической физики Ландау-Лифшица плотность электрического тока измеряется в гауссовских единицах: $$\mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-{\frac {2q}{c}}\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}c}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )$$

И в единицах СИ: $$\mathbf {j} _{e}={\frac {q}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{s\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )$$

Следовательно, ток вероятности (плотность) измеряется в единицах СИ: $$\mathbf {j} =\mathbf {j} _{e}/q={\frac {1}{2m}}\left[\left(\Psi ^{*}\mathbf {\hat {p}} \Psi -\Psi \mathbf {\hat {p}} \Psi ^{*}\right)-2q\mathbf {A} |\Psi |^{2}\right]+{\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )$$

где S — вектор спина частицы с соответствующим спиновым магнитным моментом µ _S и спиновым квантовым числом s .

Сомнительно, что эта формула справедлива для частиц с внутренней структурой. Нейтрон поэтому имеет нулевой заряд, но ненулевой магнитный момент, ${\frac {\mu _{S}}{qs\hbar }}$ было бы невозможно (за исключением $\nabla \times (\Psi ^{*}\mathbf {S} \Psi )$ в этом случае также будет равно нулю). Для составных частиц с ненулевым зарядом – например, протона , имеющего спиновое квантовое число s=1/2 и µ _S = 2,7927· µ _N , или дейтрона (ядра H-2), имеющего s=1 и µ _S =0,8574. ·мк _Н – математически возможно, но сомнительно.

Связь с классической механикой

Волновую функцию можно записать и в комплексной экспоненциальной ( полярной ) форме: $$\Psi =Re^{iS/\hbar }$$где R, S — действительные функции r и t .

Записанная таким образом, плотность вероятности равна $$\rho =\Psi ^{*}\Psi =R^{2}$$ а ток вероятности равен: $${\begin{aligned}\mathbf {j} &={\frac {\hbar }{2mi}}\left(\Psi ^{*}\mathbf {\nabla } \Psi -\Psi \mathbf {\nabla } \Psi ^{*}\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left(Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{iS/\hbar }-Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } Re^{-iS/\hbar }\right)\\[5pt]&={\frac {\hbar }{2mi}}\left[Re^{-iS/\hbar }\left(e^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R+{\frac {i}{\hbar }}Re^{iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)-Re^{iS/\hbar }\left(e^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } R-{\frac {i}{\hbar }}Re^{-iS/\hbar }\mathbf {\nabla } S\right)\right].\end{aligned}}$$

Экспоненты и члены R ∇ R сокращаются: $$\mathbf {j} ={\frac {\hbar }{2mi}}\left[{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S+{\frac {i}{\hbar }}R^{2}\mathbf {\nabla } S\right].$$

Наконец, объединив и сократив константы и заменив R ² с ρ , $$\mathbf {j} =\rho {\frac {\mathbf {\nabla } S}{m}}.$$Следовательно, говорят, что пространственное изменение фазы волновой функции характеризует поток вероятности волновой функции. Если взять знакомую формулу потока массы в гидродинамике: $$\mathbf {j} =\rho \mathbf {v} ,$$

где $\rho$ - массовая плотность жидкости, а v - ее скорость (также групповая скорость волны). В классическом пределе мы можем связать скорость с ${\tfrac {\nabla S}{m}},$ это то же самое, что приравнивать ∇ S к классическому импульсу p = m v , однако оно не представляет физическую скорость или импульс в точке, поскольку одновременное измерение положения и скорости нарушает принцип неопределенности . Эта интерпретация соответствует теории Гамильтона – Якоби , в которой $$\mathbf {p} =\nabla S$$в декартовых координатах определяется как ∇ S , где S — главная функция Гамильтона .

Теория де Бройля-Бома приравнивает скорость к ${\tfrac {\nabla S}{m}}$ вообще (не только в классическом пределе), поэтому оно всегда корректно определено. Это интерпретация квантовой механики.

Мотивация

Уравнение непрерывности квантовой механики

Основная статья: уравнение неразрывности

Определение вероятностного тока и уравнение Шрёдингера можно использовать для вывода уравнения непрерывности , которое имеет точно такие же формы, как и для гидродинамики и электромагнетизма .

Для некоторой волновой функции Ψ пусть:

$$\rho (\mathbf {r} ,t)=|\Psi |^{2}=\Psi ^{*}(\mathbf {r} ,t)\Psi (\mathbf {r} ,t).$$быть плотностью вероятности (вероятность на единицу объема, * обозначает комплексно-сопряженную величину ). Затем,

${\begin{aligned}{\frac {d}{dt}}\int _{\mathcal {V}}dV\,\rho &=\int _{\mathcal {V}}dV\,(\psi '^{*}\psi +\psi ^{*}\psi ')\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\left(-{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi +V\psi \right)\psi ^{*}+{\frac {i}{\hbar }}\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\psi ^{*}+V\psi ^{*}\right)\psi \right)\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,{\frac {i\hbar }{2m}}(\nabla ^{2}\psi \psi ^{*}-\psi \nabla ^{2}\psi ^{*})\\&=\int _{\mathcal {V}}dV\,\nabla \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\&=\int _{\mathcal {S}}d\mathbf {a} \cdot \left({\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})\right)\\\end{aligned}}$

где V — любой объем, а — граница V. S

Это закон сохранения вероятности в квантовой механике. Интегральная форма записывается как:

$$\int _{V}\left({\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}\right)\mathrm {d} V+\int _{V}\left(\mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {j} \right)\mathrm {d} V=0$$где $$\mathbf {j} ={\frac {1}{2m}}\left(\Psi ^{*}{\hat {\mathbf {p} }}\Psi -\Psi {\hat {\mathbf {p} }}\Psi ^{*}\right)=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\nabla \psi -\psi \nabla \psi ^{*})={\frac {\hbar }{m}}\operatorname {Im} (\psi ^{*}\nabla \psi )$$— ток вероятности или поток вероятности (поток на единицу площади).

Здесь приравнивание членов внутри интеграла дает уравнение непрерывности вероятности: $${\frac {\partial }{\partial t}}\rho \left(\mathbf {r} ,t\right)+\nabla \cdot \mathbf {j} =0,$$и интегральное уравнение также можно переформулировать с использованием теоремы о дивергенции как:

${\frac {\partial }{\partial t}}\int _{V}|\Psi |^{2}\mathrm {d} V+$ $\scriptstyle S$ $\mathbf {j} \cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0$.

В частности, если Ψ — волновая функция, описывающая одну частицу, интеграл в первом члене предыдущего уравнения без производной по времени представляет собой вероятность получения значения в пределах V при измерении положения частицы. с которой вероятность вытекает из объема V. Тогда второй член представляет собой скорость , В целом уравнение утверждает, что производная по времени вероятности измеряемой частицы в V равна скорости, с которой вероятность втекает в V .

Если принять предел объемного интеграла, включающий все области пространства, то волновая функция с хорошим поведением, стремящаяся к нулю на бесконечности в термине поверхностного интеграла, подразумевает, что производная полной вероятности по времени равна нулю, т.е. условие нормировки сохраняется. Этот результат согласуется с унитарной природой операторов эволюции во времени, которые по определению сохраняют длину вектора.

Передача и отражение через потенциалы

Основные статьи: Коэффициент передачи и Коэффициент отражения .

В областях, где возникает ступенчатый потенциал или потенциальный барьер , ток вероятности связан с коэффициентами передачи и отражения, соответственно T и R ; они измеряют степень отражения частиц от потенциального барьера или прохождения через него. Оба удовлетворяют: $$T+R=1\,,$$где T и R могут быть определены следующим образом: $$T={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,\quad R={\frac {|\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }|}{|\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }|}}\,,$$где j _inc , j _ref , j _trans — падающий, отраженный и переданный токи вероятности соответственно, а вертикальные полосы обозначают величины векторов тока. Связь между T и R может быть получена из сохранения вероятности: $$\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }+\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }=\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\,.$$

С точки зрения единичного вектора n, нормального к барьеру, это эквивалентно: $$T=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {trans} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,\qquad R=\left|{\frac {\mathbf {j} _{\mathrm {ref} }\cdot \mathbf {n} }{\mathbf {j} _{\mathrm {inc} }\cdot \mathbf {n} }}\right|\,,$$где абсолютные значения необходимы для предотвращения T и R. отрицательных значений

Примеры

Плоская волна

Основная статья: плоская волна

Для плоской волны, распространяющейся в пространстве: $$\Psi (\mathbf {r} ,t)=\,Ae^{i(\mathbf {k} \cdot {\mathbf {r} }-\omega t)}$$плотность вероятности везде постоянна; $$\rho (\mathbf {r} ,t)=|A|^{2}\rightarrow {\frac {\partial |\Psi |^{2}}{\partial t}}=0$$(то есть плоские волны являются стационарными состояниями ), но ток вероятности не равен нулю – квадрат абсолютной амплитуды волны, умноженный на скорость частицы; $$\mathbf {j} \left(\mathbf {r} ,t\right)=\left|A\right|^{2}{\hbar \mathbf {k} \over m}=\rho {\frac {\mathbf {p} }{m}}=\rho \mathbf {v}$$

иллюстрирующий, что частица может находиться в движении, даже если ее пространственная плотность вероятности не имеет явной зависимости от времени.

Частица в коробке

Для частицы в ящике в одном пространственном измерении и длиной L , ограниченной областью $0<x<L$, собственные энергетические состояния $$\Psi _{n}={\sqrt {\frac {2}{L}}}\sin \left({\frac {n\pi }{L}}x\right)$$и ноль в другом месте. Соответствующие токи вероятности: $$j_{n}={\frac {i\hbar }{2m}}\left(\Psi _{n}^{*}{\frac {\partial \Psi _{n}}{\partial x}}-\Psi _{n}{\frac {\partial \Psi _{n}^{*}}{\partial x}}\right)=0$$с $$\Psi _{n}=\Psi _{n}^{*}$$

Дискретное определение

Для частицы в одном измерении на $\ell ^{2}(\mathbb {Z} ),$ у нас есть гамильтониан $H=-\Delta +V$ где $-\Delta \equiv 2I-S-S^{\ast }$ — дискретный лапласиан, где S — оператор правого сдвига на $\ell ^{2}(\mathbb {Z} ).$ Тогда ток вероятности определяется как $j\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}iv\Psi \right\},$ с v оператором скорости, равным $v\equiv -i[X,\,H]$ и X — оператор позиции на $\ell ^{2}\left(\mathbb {Z} \right).$ Поскольку V обычно является оператором умножения на $\ell ^{2}(\mathbb {Z} ),$ мы сможем безопасно писать $$-i[X,\,H]=-i[X,\,-\Delta ]=-i\left[X,\,-S-S^{\ast }\right]=iS-iS^{\ast }.$$

В результате мы находим: $${\begin{aligned}j\left(x\right)\equiv 2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)iv\Psi (x)\right\}&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left((-S\Psi )(x)+\left(S^{\ast }\Psi \right)(x)\right)\right\}\\&=2\Im \left\{{\bar {\Psi }}(x)\left(-\Psi (x-1)+\Psi (x+1)\right)\right\}\end{aligned}}$$

Дальнейшее чтение

• Резник, Р.; Айсберг, Р. (1985). Квантовая физика атомов, молекул, твердых тел, ядер и частиц (2-е изд.). Джон Уайли и сыновья. ISBN  0-471-87373-Х .